Le dimensionnement et la vérification des éléments en béton sont normalement effectués au niveau de la section (élément 1D) ou du point (élément 2D). Cette procédure est décrite dans toutes les normes de calcul des structures, par exemple dans (EN 1992-1-1 ou ACI 318-19), et elle est utilisée dans la pratique courante de l'ingénierie des structures. Cependant, on ignore ou on néglige parfois que cette procédure n'est acceptable que dans les zones où l'hypothèse de Bernoulli-Navier de distribution plane des déformations s'applique (appelées régions B). Les zones où cette hypothèse ne s'applique pas sont appelées régions de discontinuité ou régions perturbées (régions D). Des exemples de régions B et D d'éléments 1D sont donnés à la (Fig. 1). Il s'agit, par exemple, des zones d'appui, des parties où des charges concentrées sont appliquées, des endroits où se produit une variation brusque de la section, des ouvertures, etc. Lors de la conception des structures en béton, nous rencontrons de nombreuses autres régions D, telles que les voiles, les entretoises de ponts, les corbeaux, etc. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}$$

Par le passé, des règles de calcul semi-empiriques étaient utilisées pour dimensionner les régions de discontinuité. Heureusement, ces règles ont été en grande partie remplacées au cours des dernières décennies par les modèles bielle-et-tirant (Schlaich et al., 1987) et les champs de contraintes (Marti 1985), qui figurent dans les codes de calcul actuels et sont fréquemment utilisés par les projeteurs aujourd'hui. Ces modèles sont des outils puissants et mécaniquement cohérents. Notez que les champs de contraintes peuvent généralement être continus ou discontinus, et que les modèles bielle-et-tirant sont un cas particulier de champs de contraintes discontinus.

Malgré l'évolution des outils de calcul au cours des dernières décennies, les modèles Bielle-et-Tirant sont encore essentiellement utilisés comme calculs manuels. Leur application à des structures réelles est fastidieuse et chronophage, car des itérations sont nécessaires et plusieurs cas de charge doivent être pris en compte. De plus, cette méthode n'est pas adaptée à la vérification des critères d'aptitude au service (déformations, ouvertures de fissures, etc.).

L'intérêt des ingénieurs structure pour un outil fiable et rapide de dimensionnement des régions D a conduit à la décision de développer la nouvelle Méthode du Champ de Contraintes Compatible, une méthode de dimensionnement par champs de contraintes assistée par ordinateur, qui permet le dimensionnement et la vérification automatiques des éléments en béton de structure soumis à des charges dans leur plan.

La Méthode du Champ de Contraintes Compatible (CSFM) est une méthode d'analyse par champs de contraintes continus basée sur les éléments finis, dans laquelle les solutions classiques de champs de contraintes sont complétées par des considérations cinématiques, c'est-à-dire que l'état de déformation est évalué dans l'ensemble de la structure. Ainsi, la résistance effective en compression du béton peut être calculée automatiquement à partir de l'état de déformation transversale, de manière similaire aux analyses par champs de compression qui tiennent compte de l'adoucissement en compression  (Vecchio et Collins 1986 ; Kaufmann et Marti 1998) et à la méthode EPSF (Fernández Ruiz et Muttoni 2007). De plus, la CSFM prend en compte le raidissement en traction, ce qui confère aux éléments des rigidités réalistes, et couvre toutes les prescriptions des codes de calcul (y compris les aspects d'aptitude au service et de capacité de déformation) qui n'étaient pas traitées de manière cohérente par les approches précédentes. La CSFM utilise les lois constitutives uniaxiales courantes fournies par les normes de calcul pour le béton et le ferraillage. Celles-ci sont connues au stade du projet, ce qui permet d'utiliser la méthode des coefficients partiels de sécurité. Ainsi, les projeteurs n'ont pas à fournir de propriétés de matériaux supplémentaires, souvent arbitraires, comme c'est généralement le cas pour les analyses éléments finis non linéaires, ce qui rend la méthode parfaitement adaptée à la pratique de l'ingénierie.

Pour favoriser l'utilisation des champs de contraintes assistés par ordinateur par les ingénieurs structure, ces méthodes doivent être implémentées dans des environnements logiciels conviviaux. À cette fin, la CSFM a été implémentée dans IDEA StatiCa Detail ; un nouveau logiciel commercial convivial développé conjointement par l'ETH Zurich et la société de logiciels IDEA StatiCa dans le cadre du projet DR-Design Eurostars-10571.

La CSFM considère la contrainte principale maximale de compression du béton (σ_c2r) et les contraintes du ferraillage (σ_sr) au droit des fissures, tout en négligeant la résistance en traction du béton (σ_c1r = 0), à l'exception de son effet de raidissement sur le ferraillage. La prise en compte du raidissement en traction permet de simuler les déformations moyennes du ferraillage (ε_m). Des fissures fictives, rotatives et sans contrainte, qui s'ouvrent sans glissement (Fig. 2a), sont considérées. L'équilibre au droit des fissures est également pris en compte, ainsi que les déformations moyennes du ferraillage. 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}$

Malgré leur simplicité, des hypothèses similaires ont démontré qu'elles permettent de prédire avec précision le comportement des éléments en béton armé soumis à un chargement dans leur plan (Kaufmann 1998 ; Kaufmann et Marti 1998), à condition que le ferraillage mis en place évite les ruptures fragiles à la fissuration. Par ailleurs, la non-prise en compte de toute contribution de la résistance en traction du béton à la charge ultime est cohérente avec les principes des normes de calcul modernes, qui reposent pour la plupart sur la théorie de la plasticité.

Toutefois, la CSFM n'est pas adaptée aux éléments élancés sans ferraillage transversal, car les mécanismes pertinents pour ces éléments, tels que l'engrènement des granulats, les contraintes de traction résiduelles à la pointe de la fissure et l'effet de goujon, qui dépendent tous directement ou indirectement de la résistance en traction du béton, sont ignorés. Si certaines normes de calcul autorisent le dimensionnement de tels éléments sur la base de dispositions semi-empiriques, la CSFM n'est pas destinée à ce type de structure potentiellement fragile.

Béton

Le modèle de béton implémenté dans la CSFM repose sur les lois de comportement uniaxiales en compression prescrites par les normes de calcul pour le dimensionnement des sections, qui ne dépendent que de la résistance en compression. Le diagramme parabole-rectangle (Fig. 2c) est utilisé par défaut dans la CSFM, mais les concepteurs peuvent également choisir une relation élastique parfaitement plastique plus simplifiée. Lors d'une vérification selon le code ACI, seul le diagramme contrainte-déformation parabole-rectangle peut être utilisé. Comme mentionné précédemment, la résistance en traction est négligée, comme dans le calcul classique du béton armé.

La résistance effective en compression est évaluée automatiquement pour le béton fissuré à partir de la déformation principale de traction (ε₁) au moyen du coefficient de réduction k_c2, comme indiqué sur les Fig. 2c et 2e. La relation de réduction implémentée (Fig. 2e) est une généralisation de la proposition du fib Model Code 2010 pour les vérifications au cisaillement, qui contient une valeur limite de 0,65 pour le rapport maximal entre la résistance effective du béton et sa résistance en compression, valeur qui n'est pas applicable aux autres cas de charge.

La CSFM dans IDEA StatiCa Detail ne considère pas de critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c'est-à-dire qu'elle considère une branche plastique infinie après l'atteinte de la contrainte maximale). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures qui ruinent en compression. Toutefois, leur capacité ultime est correctement prédite lorsque, en plus du coefficient du béton fissuré (k_c2) défini sur la (Fig. 2e), l'augmentation de la fragilité du béton avec l'accroissement de sa résistance est prise en compte au moyen du coefficient de réduction $\eta_{fc}$ défini dans le fib Model Code 2010 comme suit :

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

où :

k_c est le coefficient de réduction global de la résistance en compression

k_c2 est le coefficient de réduction dû à la présence de fissuration transversale

f_c est la résistance caractéristique du béton sur cylindre (en MPa pour la définition de $\eta_{fc}$).

Le coefficient k_c2 fait également l'objet d'une réduction pour des raisons de stabilité du calcul. Cette réduction n'influence pas la résistance totale des éléments. En considérant la valeur f_cd comme la résistance de calcul du béton (valeur de calcul), la valeur de k_c2 est réduite selon les règles suivantes.

σ_c2r < 0,11f_cd                                           k_c2=1,0
0,11f_cd < σ_c2r < 0,37f_cd                          k_c2 correspond à une interpolation linéaire entre 1,0 et la valeur issue du
                                                              graphique de la Fig. 2f
σ_c2r > 0,37f_cd                                            k_c2 est directement tiré du graphique de la Fig. 2f

Ferraillage

Le diagramme contrainte-déformation bilinéaire idéalisé des barres d'armature nues, généralement défini par les normes de calcul (Fig. 2d), est considéré. La définition de ce diagramme nécessite uniquement de connaître les propriétés de base du ferraillage lors de la phase de conception (résistance et classe de ductilité). Une relation contrainte-déformation définie par l'utilisateur peut également être utilisée.

Le raidissement en traction est pris en compte en modifiant la relation contrainte-déformation d'entrée de la barre d'armature nue afin de représenter la rigidité moyenne des barres noyées dans le béton (ε_m).

Modèle d'adhérence

Le glissement d'adhérence entre le ferraillage et le béton est introduit dans le modèle aux éléments finis en considérant la relation de comportement simplifiée rigide parfaitement plastique présentée sur la Fig. 2f, où f_bd est la valeur de calcul (valeur pondérée) de la contrainte d'adhérence ultime spécifiée par la norme de calcul pour les conditions d'adhérence considérées.

Il s'agit d'un modèle simplifié dont le seul but est de vérifier les prescriptions d'adhérence selon les normes de calcul (c'est-à-dire l'ancrage du ferraillage). La réduction de la longueur d'ancrage lors de l'utilisation de crochets, de boucles et de formes de barres similaires peut être prise en compte en définissant une certaine capacité à l'extrémité du ferraillage,comme cela sera décrit plus loin. 

Déroulement et objectifs

L'objectif des outils de calcul du ferraillage dans la CSFM est d'aider les concepteurs à déterminer efficacement l'emplacement et la quantité requise d'armatures. Les outils suivants sont disponibles pour aider / guider l'utilisateur dans cette démarche : le calcul linéaire et l'optimisation topologique.

Les outils de calcul du ferraillage utilisent des modèles de comportement plus simplifiés que ceux employés pour la vérification finale de la structure. Par conséquent, la définition du ferraillage à cette étape doit être considérée comme un pré-dimensionnement, à confirmer/affiner lors de l'étape de vérification finale. L'utilisation des différents outils de calcul du ferraillage est illustrée sur le modèle présenté à la Fig. 3, qui correspond à l'extrémité d'une poutre sur appuis simples à hauteur variable, soumise à une charge uniformément répartie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}$$

Analyse linéaire

L'analyse linéaire considère des propriétés de matériau linéaires élastiques et néglige le ferraillage dans la région en béton. Il s'agit donc d'un calcul très rapide, qui donne un premier aperçu de l'emplacement des zones tendues et comprimées. Un exemple d'un tel calcul est présenté à la Fig. 4.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

Optimisation topologique

L'optimisation topologique est une méthode qui vise à trouver la répartition optimale de matière dans un volume donné pour une configuration de charges donnée. L'optimisation topologique implémentée dans Idea StatiCa Detail utilise un modèle d'éléments finis linéaire. Chaque élément fini peut avoir une densité relative comprise entre 0 et 100 %, représentant la quantité relative de matière utilisée. Ces densités d'éléments sont les paramètres d'optimisation du problème d'optimisation. La répartition de matière obtenue est considérée comme optimale pour l'ensemble de charges donné si elle minimise l'énergie de déformation totale du système. Par définition, la répartition optimale correspond également à la géométrie présentant la plus grande rigidité possible pour les charges données.

Le processus d'optimisation itératif démarre avec une répartition de densité homogène. Le calcul est effectué pour plusieurs fractions de volume total (20 %, 40 %, 60 % et 80 %), ce qui permet à l'utilisateur de sélectionner le résultat le plus pratique. La forme obtenue est constituée de treillis composés de bielles et de tirants, et représente la forme optimale pour les cas de charge donnés (Fig. 5).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

La CSFM considère des champs de contraintes continus dans le béton (éléments finis 2D), complétés par des éléments discrets de type « barre » représentant le ferraillage (éléments finis 1D). Ainsi, le ferraillage n'est pas réparti de manière diffuse dans les éléments finis 2D du béton, mais modélisé explicitement et relié à ceux-ci. Un état plan de contraintes est considéré dans le modèle de calcul.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Il est possible de modéliser aussi bien des voiles et des poutres entières que des détails (parties) de poutres (région de discontinuité isolée, également appelée extrémité tronquée). Dans le cas des voiles et des poutres entières, les appuis doivent être définis de manière à obtenir une structure (extérieurement) isostatique (statiquement déterminée) ou hyperstatique (statiquement indéterminée). Le transfert des charges aux extrémités tronquées des poutres est introduit au moyen d'une zone de transfert de Saint-Venant spécifique, qui garantit une distribution réaliste des contraintes dans la région de détail analysée.

Pour modéliser la plupart des situations rencontrées durant le processus de construction, de nombreux types d'appuis (Fig. 7) et d'éléments de transmission des charges (Fig. 8) sont disponibles dans la CSFM.

Appuis

Un appui ponctuel peut être modélisé de plusieurs façons afin que les contraintes ne soient pas localisées en un seul point mais réparties sur une surface plus large. La première option est l'appui ponctuel réparti (Fig. 7a), qui répartit uniformément la charge sur le bord de l'élément, sur la largeur spécifiée.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Various types of supports:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}$$

L'appui patch (Fig. 7d), en revanche, ne peut être placé qu'à l'intérieur d'un volume de béton, avec un rayon effectif défini. Il est alors relié par des éléments rigides aux nœuds du maillage de ferraillage situés dans ce rayon. Il est donc nécessaire de définir une cage d'armatures autour de l'appui patch.

Pour une modélisation plus précise de certains cas réels, deux autres options existent pour l'appui ponctuel. Premièrement, l'appui ponctuel avec plaque d'appui de largeur et d'épaisseur définies (Fig. 7b). Le matériau de la plaque d'appui peut être spécifié, et l'ensemble de la plaque d'appui est maillé indépendamment. Deuxièmement, un appui suspendu est disponible (Fig. 7e) ; il peut être utilisé pour modéliser des ancrages de levage ou des goujons de levage.

L'appui linéaire (Fig. 7c) peut être défini sur un bord (en spécifiant sa longueur) ou à l'intérieur d'un élément (par une polyligne). Il est également possible de spécifier sa rigidité et/ou son comportement non linéaire (appui en compression/traction ou uniquement en compression).

• Consultez les descriptions détaillées dans Types d'appuis dans IDEA StatiCa Detail

Éléments de transmission des charges

L'introduction des charges dans la structure peut également être modélisée de plusieurs façons. Pour les charges ponctuelles, une plaque d'appui (Fig. 8a) peut être utilisée de la même manière que pour un appui ponctuel : elle répartit la charge concentrée sur une surface plus large grâce à une plaque d'acier de largeur et d'épaisseur définies. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Various types of load transfer components:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}$$

La charge ponctuelle peut être appliquée soit directement sur la surface de la structure avec un rayon d'action défini (la charge est appliquée aux éléments en béton), soit par l'intermédiaire d'un dispositif de transmission spécial appelé charge patch (Fig. 8b et Fig. 9). La charge patch permet de transmettre la charge directement au ferraillage défini situé dans la zone du rayon effectif. Pour garantir le bon fonctionnement de la charge patch, il est nécessaire de définir (dans les propriétés du ferraillage) un groupe de barres qui seront reliées à la charge. Lorsque le ferraillage relié n'est pas défini, le mécanisme de transfert de charge est identique à celui d'une charge ponctuelle placée sur la surface d'un élément : la charge est transmise par les contraintes aux éléments en béton, et non directement au ferraillage. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars (a group of bars for the load transfer is defined);}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) load transferred through concrete (a group of bars for the load transfer is not defined).}}}$$

Les ancrages de levage ou les goujons de levage peuvent être modélisés par une charge suspendue (Fig. 8c). L'utilisateur peut recourir à une surface partiellement chargée (Fig. 8d), ce qui permet d'augmenter la capacité portante du béton en compression selon l'Eurocode (ce type d'élément de transmission des charges ne peut pas être utilisé lorsque l'ACI est sélectionné). La structure peut également être chargée par des charges linéiques sur les bords, par une polyligne quelconque ou par des charges surfaciques. L'application Detail est capable de prendre automatiquement en compte le poids propre dans l'analyse.

Dans de nombreux cas, il est nécessaire de ne modéliser qu'une partie d'un élément structurel, par exemple un appui de poutre ou une ouverture au milieu de la poutre. Cette approche peut conduire à des configurations d'appui instables mais admissibles dans IDEA StatiCa Detail (y compris le cas sans appuis). Dans de tels cas, il est toutefois également nécessaire de modéliser la section représentant la liaison avec la région B adjacente, ainsi que les efforts internes dans cette section qui satisfont l'équilibre. Dans certains cas (par exemple, lors de la modélisation d'un appui de poutre), ces efforts internes peuvent être déterminés automatiquement par le programme.

Entre la région B et la région de discontinuité analysée, une zone de transfert de Saint-Venant est créée automatiquement afin de garantir une distribution réaliste des contraintes dans la région analysée. La largeur de la zone de transfert est déterminée comme la moitié de la hauteur de la section. La zone de Saint-Venant ayant pour seul objectif d'obtenir une distribution correcte des contraintes dans le reste du modèle, aucun résultat de cette zone n'est affiché dans la vérification et aucun critère d'arrêt n'y est pris en compte.

Le bord de la zone de Saint-Venant qui représente l'extrémité recoupée de la poutre est modélisé comme rigide, c'est-à-dire qu'il peut tourner mais doit rester plan. Pour cela, tous les nœuds EF du bord sont reliés à un nœud distinct situé au centre d'inertie de la section à l'aide d'un élément de corps rigide (RBE2). Les efforts internes de l'élément peuvent alors être appliqués à ce nœud, comme illustré à la Fig. 10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}$$

La réduction de la section transversale est effectuée automatiquement pour les structures définies comme une poutre ou un assemblage de portique (définies par l'axe x et une section transversale). Cette modification est appliquée automatiquement aux sections transversales comportant des ailes très larges (Fig. 11) et repose sur l'hypothèse qu'un champ de contraintes de compression se diffuserait depuis le voile selon un angle de 45°, de sorte que la largeur réduite mentionnée ci-dessus correspond à la largeur maximale capable de transmettre les charges

Notez que la méthode de détermination de la largeur d'aile effective implémentée dans la CSFM diffère de celle indiquée au 5.3.2.1 de l'EN 1992-1-1 (2015) ou au 9.2.4.4 de l'ACI 318-19. Outre la géométrie, la largeur d'aile effective selon l'Eurocode dépend explicitement des portées et des conditions aux limites de la structure.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}$$

Dans le cas de jarrets situés dans le plan horizontal (Fig. 12), chaque jarret est divisé en cinq tronçons sur sa longueur. Chacun de ces tronçons est ensuite modélisé comme un voile d'épaisseur constante, égale à l'épaisseur réelle au milieu du tronçon considéré.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}$$

Le modèle d'analyse non linéaire (inélastique) par éléments finis est constitué de plusieurs types d'éléments finis utilisés pour modéliser le béton, le ferraillage et l'adhérence entre les deux. Les éléments de béton et de ferraillage sont d'abord maillés indépendamment, puis reliés entre eux par des contraintes multipoints (éléments MPC). Cela permet au ferraillage d'occuper une position relative arbitraire par rapport au béton. Si la vérification de la longueur d'ancrage doit être calculée, des éléments d'adhérence et des éléments ressorts d'extrémité d'ancrage sont insérés entre le ferraillage et les éléments MPC.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Béton

Le béton est modélisé à l'aide d'éléments coques quadrilatéraux et triangulaires, CQUAD4 et CTRIA3. Ceux-ci peuvent être définis respectivement par quatre ou trois nœuds. Seul un état de contraintes planes est supposé exister dans ces éléments, c'est-à-dire que les contraintes ou les déformations dans la direction z ne sont pas prises en compte.

Chaque élément comporte quatre ou trois points d'intégration, placés approximativement à 1/4 de sa dimension. En chaque point d'intégration de chaque élément, les directions des déformations principales α₁, α₂ sont calculées. Dans ces deux directions, les contraintes principales σ_c1, σ_c2 et les rigidités E₁, E₂ sont évaluées selon le diagramme contrainte-déformation du béton spécifié, conformément à la Fig. 2. Il convient de noter que l'effet de l'adoucissement en compression couple le comportement de la direction principale comprimée à l'état réel de l'autre direction principale.

Ferraillage

Les armatures sont modélisées par des éléments 1D « barres » à deux nœuds (CROD), qui possèdent uniquement une rigidité axiale. Ces éléments sont reliés à des éléments d'« adhérence » spéciaux, développés afin de modéliser le comportement de glissement entre une barre d'armature et le béton environnant. Ces éléments d'adhérence sont ensuite reliés par des éléments MPC (contraintes multipoints) au maillage représentant le béton. Cette approche permet le maillage indépendant du ferraillage et du béton, tandis que leur liaison est assurée ultérieurement.

Éléments d'adhérence

La longueur d'ancrage est vérifiée en introduisant les contraintes de cisaillement d'adhérence entre les éléments de béton (2D) et les éléments de barre d'armature (1D) dans le modèle par éléments finis. À cette fin, un type d'élément fini d'« adhérence » a été développé.

La définition de l'élément d'adhérence est similaire à celle d'un élément coque (CQUAD4). Il est également défini par 4 nœuds, mais contrairement à une coque, il ne possède une rigidité non nulle qu'en cisaillement entre les deux nœuds supérieurs et les deux nœuds inférieurs. Dans le modèle, les nœuds supérieurs sont reliés aux éléments représentant le ferraillage et les nœuds inférieurs à ceux représentant le béton. Le comportement de cet élément est décrit par la contrainte d'adhérence, τ_b, sous la forme d'une fonction bilinéaire du glissement entre les nœuds supérieurs et inférieurs, δ_u, voir Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

Le module de rigidité élastique de la relation adhérence-glissement, G_b, est défini comme suit :

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

où :

k_g            coefficient dépendant de la surface de la barre d'armature (par défaut k_g = 0,2)

E_c            module d'élasticité du béton (pris égal à E_cm dans le cas de l'EN)

Ø             le diamètre de la barre d'armature

Les valeurs de calcul (valeurs pondérées) de la contrainte de cisaillement d'adhérence ultime, f_bd, fournies par les normes de calcul sélectionnées, EN 1992-1-1 ou ACI 318-19, sont utilisées pour vérifier la longueur d'ancrage. L'écrouissage de la branche plastique est calculé par défaut comme G_b/10⁵.

Ressort d'ancrage

La mise en place d'extrémités d'ancrage sur les barres d'armature (c'est-à-dire coudes, crochets, boucles…), conformes aux prescriptions des normes de calcul, permet de réduire la longueur d'ancrage de base des barres (l_b,net) d'un certain facteur β (appelé « coefficient d'ancrage » ci-dessous). La valeur de calcul de la longueur d'ancrage (l_b) est alors calculée comme suit :

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

La réduction visée de l_b,net équivaut à l'activation de la barre d'armature à son extrémité, à un pourcentage de sa capacité maximale donné par le coefficient de réduction d'ancrage, comme illustré à la Fig. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

La réduction de la longueur d'ancrage est introduite dans le modèle par éléments finis au moyen d'un élément ressort à l'extrémité de la barre (Fig. 15), défini par le modèle constitutif présenté à la Fig. 15b. L'effort maximal transmis par ce ressort (F_au) est :

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

où :

β             le coefficient d'ancrage selon le type d'ancrage,

A_s            la section de la barre d'armature,

f_yd           la valeur de calcul (valeur pondérée) de la limite d'élasticité du ferraillage.

Les éléments finis sont implémentés en interne et le modèle d'analyse est généré automatiquement, sans nécessiter l'intervention d'un utilisateur expérimenté. Le maillage constitue une étape importante de ce processus.

Béton

Tous les éléments en béton sont maillés ensemble. L'application calcule automatiquement une taille d'élément recommandée à partir des dimensions et de la forme de la structure, en tenant compte du diamètre de la plus grande barre de ferraillage. De plus, cette taille d'élément recommandée garantit la génération d'au moins 4 éléments dans les parties minces de la structure, telles que les poteaux élancés ou les dalles minces, afin d'obtenir des résultats fiables dans ces zones. Le nombre maximal d'éléments de béton est limité à 5000, mais cette valeur est suffisante pour atteindre la taille d'élément recommandée pour la plupart des structures. L'ingénieur peut toujours définir sa propre taille d'élément de béton en modifiant le multiplicateur de la taille de maillage par défaut.

Ferraillage

Le ferraillage est divisé en éléments dont la longueur est approximativement égale à la taille des éléments de béton. Une fois les maillages du ferraillage et du béton générés, ils sont reliés entre eux par des éléments d'adhérence, comme illustré sur la Fig. 13.

Plaques d'appui

Les parties structurelles auxiliaires, telles que les plaques d'appui, sont maillées indépendamment. La taille de ces éléments est calculée comme étant égale à 2/3 de la taille des éléments de béton dans la zone d'assemblage. Les nœuds du maillage de la plaque d'appui sont ensuite reliés aux nœuds de bord du maillage du béton à l'aide d'éléments de contrainte d'interpolation (RBE3).

Charges et appuis

Les charges surfaciques et les appuis surfaciques sont reliés uniquement au ferraillage, comme illustré sur la Fig. 16. Il est donc nécessaire de définir du ferraillage autour de ceux-ci. La liaison avec tous les nœuds du ferraillage situés dans le rayon d'influence est assurée par des éléments RBE3 de poids égal.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}$$

Les appuis linéiques et les charges linéiques sont reliés aux nœuds du maillage du béton à l'aide d'éléments RBE3, en fonction de la largeur spécifiée ou du rayon d'influence. Le poids des liaisons est inversement proportionnel à la distance par rapport à l'appui ou à l'impulsion de charge.

• Pour en savoir plus sur la liaison entre les charges individuelles et le maillage, consultez Description générale des impulsions de charge dans l'application Detail

Un algorithme de Newton-Raphson (NR) complet standard est utilisé pour résoudre le problème non linéaire de la Méthode des Éléments Finis (FEM). 

En général, l'algorithme NR converge rarement lorsque la charge totale est appliquée en une seule étape. Une approche usuelle, également adoptée ici, consiste à appliquer la charge de manière séquentielle en plusieurs incréments et à utiliser le résultat de l'incrément de charge précédent comme point de départ de la résolution de Newton de l'incrément suivant. Dans ce but, un algorithme de pilotage en charge a été implémenté au-dessus de l'algorithme de Newton-Raphson. Si les itérations NR ne convergent pas, l'incrément de charge courant est réduit de moitié et les itérations NR sont relancées.

Le second objectif de l'algorithme de pilotage en charge est de déterminer la charge critique, qui correspond à certains « critères d'arrêt » : plus précisément, la déformation maximale du béton, le glissement maximal dans les éléments d'adhérence, le déplacement maximal dans les éléments d'ancrage et la déformation maximale des barres de ferraillage. La charge critique est déterminée par la méthode de dichotomie. Si le critère d'arrêt est dépassé en un point quelconque du modèle, les résultats du dernier incrément de charge sont rejetés et un nouvel incrément, de taille égale à la moitié du précédent, est calculé. Ce processus est répété jusqu'à ce que la charge critique soit déterminée avec une certaine tolérance d'erreur.

Pour le béton, le critère d'arrêt a été fixé à une déformation de 5 % en compression (soit environ un ordre de grandeur au-dessus de la déformation de rupture réelle du béton) et de 7 % en traction aux points d'intégration des éléments coque. En traction, cette valeur a été choisie pour que la déformation limite du ferraillage, qui est généralement d'environ 5 % sans prise en compte du raidissement en traction, soit atteinte en premier. En compression, la valeur a été retenue parmi plusieurs alternatives comme étant suffisamment élevée pour que les effets de l'écrasement soient visibles dans les résultats, mais suffisamment faible pour ne pas causer trop de problèmes de stabilité numérique.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}$$

Pour le ferraillage, le critère d'arrêt est défini en termes de contraintes. Comme les contraintes sont modélisées au niveau de la fissure, le critère en traction correspond à la résistance en traction du ferraillage, compte tenu du coefficient de sécurité. La même valeur est utilisée pour le critère en compression.

Le critère d'arrêt dans les éléments d'adhérence et les ressorts d'ancrage est α·δu_max, où δu_max est le glissement maximal utilisé dans les vérifications normatives et α = 10.

Les résultats sont présentés séparément pour le béton et pour les éléments de ferraillage. Les valeurs de contrainte et de déformation dans le béton sont calculées aux points d'intégration des éléments coque. Cependant, comme il n'est pas pratique de présenter les données de cette manière, les résultats sont présentés par défaut aux nœuds, sous la forme de la valeur maximale de contrainte de compression issue des points d'intégration de Gauss adjacents dans les éléments connectés (Fig. 18). Il convient de noter que cette représentation peut sous-estimer localement les résultats aux bords comprimés des éléments lorsque la taille de l'élément fini est similaire à la hauteur de la zone comprimée.

Fig. 18 - Élément fini de béton avec points d'intégration et nœuds : présentation des résultats pour le béton aux nœuds et dans les éléments finis.

Les résultats pour les éléments finis de ferraillage sont soit constants pour chaque élément (une seule valeur – par ex. pour les contraintes dans l'acier), soit linéaires (deux valeurs – pour les résultats d'adhérence). Pour les éléments auxiliaires, tels que les éléments des plaques d'appui, seules les déformations sont présentées.

La vérification de la structure par la CSFM s'effectue au moyen de deux analyses distinctes : l'une pour les combinaisons de charges à l'état limite de service, l'autre pour celles à l'état limite ultime. L'analyse à l'état limite de service suppose que le comportement ultime de l'élément est satisfaisant et que les conditions de plastification du matériau ne seront pas atteintes aux niveaux de charge de service. Cette approche permet d'utiliser des modèles constitutifs simplifiés (avec une branche linéaire du diagramme contrainte-déformation du béton) pour l'analyse à l'ELS, afin d'améliorer la stabilité numérique et la vitesse de calcul. Il est donc recommandé d'appliquer la procédure présentée ci-dessous, dans laquelle l'analyse à l'état limite ultime est réalisée en premier.

Analyse à l'état limite ultime

Les différentes vérifications exigées par les normes de calcul spécifiques sont évaluées à partir des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications à l'ELU portent sur la résistance du béton, la résistance du ferraillage et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).

Pour garantir qu'un élément structurel est conçu de manière efficace, il est vivement recommandé de réaliser une analyse préliminaire qui comprend les étapes suivantes :

• Sélectionner les combinaisons de charges les plus critiques.
• Calculer uniquement les combinaisons de charges à l'état limite ultime (ELU).
• Utiliser un maillage grossier (en augmentant le multiplicateur de la taille de maillage par défaut dans Setup (Fig. 19)).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}$$

Un tel modèle se calcule très rapidement, ce qui permet aux projeteurs d'examiner efficacement le détail de l'élément structurel et de relancer l'analyse jusqu'à ce que toutes les exigences de vérification soient satisfaites pour les combinaisons de charges les plus critiques. Une fois que toutes les exigences de vérification de cette analyse préliminaire sont satisfaites, il est conseillé d'inclure l'ensemble des combinaisons de charges ultimes et d'utiliser une taille de maillage fine (la taille de maillage recommandée par le programme). L'utilisateur peut modifier la taille du maillage à l'aide du multiplicateur, qui peut prendre des valeurs de 0,5 à 5 (Fig. 19).

Les résultats et vérifications de base (contrainte, déformation et taux de travail, c'est-à-dire la valeur calculée rapportée à la valeur limite de la norme, ainsi que la direction des contraintes principales dans le cas des éléments en béton) sont affichés sous forme de différents tracés, où la compression est généralement représentée en rouge et la traction en bleu. Les valeurs minimales et maximales globales pour l'ensemble de la structure peuvent être mises en évidence, de même que les valeurs minimales et maximales pour chaque partie définie par l'utilisateur. Dans un onglet distinct du programme, il est possible d'afficher des résultats avancés tels que les valeurs tensorielles, les déformées de la structure et les taux de ferraillage (effectif et géométrique) utilisés pour calculer le raidissement en traction des barres de ferraillage. En outre, les charges et les réactions pour les combinaisons ou les cas de charge sélectionnés peuvent être présentées.

Analyse à l'état limite de service

Les vérifications à l'ELS portent sur la limitation des contraintes, l'ouverture des fissures et les limites de flèche. Les contraintes sont vérifiées dans le béton et dans le ferraillage selon la norme applicable, d'une manière similaire à celle prévue pour l'ELU.

L'analyse à l'état limite de service comporte certaines simplifications des modèles constitutifs utilisés pour l'analyse à l'état limite ultime. Une adhérence parfaite est supposée, c'est-à-dire que la longueur d'ancrage n'est pas vérifiée à l'état limite de service. De plus, la branche plastique de la courbe contrainte-déformation du béton en compression est négligée, tandis que la branche élastique est linéaire et infinie. Ces simplifications améliorent la stabilité numérique et la vitesse de calcul, et ne réduisent pas la généralité de la solution tant que les limites de contrainte résultantes des matériaux à l'état limite de service restent nettement inférieures à leurs limites d'élasticité (comme l'exigent les normes). Par conséquent, les modèles simplifiés utilisés à l'état limite de service ne sont valables que si toutes les exigences de vérification sont satisfaites.

Calcul de l'ouverture des fissures et raidissement en traction

Calcul de l'ouverture des fissures

Il existe deux méthodes de calcul de l'ouverture des fissures - fissuration stabilisée et non stabilisée. En fonction du taux de ferraillage géométrique dans chaque partie de la structure, il est décidé quel type de modèle de calcul de fissuration sera utilisé (TCM pour la fissuration stabilisée et POM pour le modèle de fissuration non stabilisée).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Calcul de l'ouverture des fissures : (a) cinématique de fissuration considérée ; (b) projection de la cinématique de fissuration dans les directions}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{principales de l'armature ; (c) ouverture de fissure dans la direction de l'armature pour une fissuration stabilisée ; (d) cas avec}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{fissuration locale non stabilisée indépendamment du taux de ferraillage ; (e) ouverture de fissure dans la direction de l'armature}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{pour une fissuration non stabilisée.}}}$

Alors que le CSFM fournit un résultat direct pour la plupart des vérifications (par ex. capacité de l'élément, flèches…), les résultats d'ouverture de fissure sont calculés à partir des résultats de déformation de l'armature directement fournis par l'analyse EF, en suivant la méthodologie décrite en Fig. 20. Une cinématique de fissuration sans glissement (ouverture pure de la fissure) est considérée (Fig. 20a), ce qui est cohérent avec les principales hypothèses du modèle. Les directions principales des contraintes et des déformations définissent l'inclinaison des fissures (θ_r = θ_s= θ_e). Selon la (Fig. 20b), l'ouverture de fissure (w) peut être projetée dans la direction de l'armature (w_b), ce qui conduit à :

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

où θ_b est l'inclinaison de la barre.

Veuillez noter que le programme affiche les valeurs de θ_r et θ_b < π/2. Cela signifie que l'équation précédente fonctionne pour les cas où l'armature et la fissure traversent des quadrants différents du système de coordonnées cartésien, comme montré en Fig. 20, où l'armature traverse les quadrants I et III et la fissure les quadrants II et IV. Pour les cas où l'armature et la fissure traversent les mêmes quadrants, l'équation doit être modifiée comme suit :

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

La composante w_b est systématiquement calculée sur la base des modèles de raidissement en traction en intégrant les déformations de l'armature. Pour les régions présentant des schémas de fissuration entièrement développés, les déformations moyennes calculées (e_m) le long des barres d'armature sont directement intégrées le long de l'espacement des fissures (s_r), comme indiqué en (Fig. 20c). Bien que cette approche de calcul des directions de fissuration ne corresponde pas à la position réelle des fissures, elle fournit néanmoins des valeurs représentatives conduisant à des résultats d'ouverture de fissure qui peuvent être comparés aux valeurs d'ouverture de fissure requises par la norme à la position de l'armature.

Des situations particulières sont observées aux angles concaves de la structure calculée. Dans ce cas, l'angle prédéfinit la position d'une fissure unique qui se comporte de manière non stabilisée avant que des fissures adjacentes supplémentaires ne se développent. Ces fissures supplémentaires se développent généralement après le domaine de service (Mata-Falcón 2015), ce qui justifie de calculer les ouvertures de fissure dans une telle région comme si elles étaient non stabilisées (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Définition de la région aux angles concaves dans laquelle l'ouverture de fissure est calculée comme si elle était non stabilisée.}}}$$

Raidissement en traction

La mise en œuvre du raidissement en traction distingue les cas de schémas de fissuration stabilisés et non stabilisés. Dans les deux cas, le béton est considéré comme entièrement fissuré avant chargement par défaut.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Modèle de raidissement en traction : (a) élément de tirant en traction pour fissuration stabilisée avec distribution du cisaillement d'adhérence,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{des contraintes dans l'acier et le béton, et des déformations de l'acier entre les fissures, en considérant un espacement moyen des fissures) ; (b) hypothèse d'arrachement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{pour la fissuration non stabilisée avec distribution du cisaillement d'adhérence et des contraintes et déformations de l'acier autour de la fissure ; (c) comportement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{résultant du tirant en traction en termes de contraintes de l'armature aux fissures et de déformations moyennes pour l'acier européen B500B ;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) détail des branches initiales de la réponse du tirant en traction.}}}$

Fissuration stabilisée

Dans les schémas de fissuration entièrement développés, le raidissement en traction est introduit à l'aide du Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998 ; Alvarez 1998) – Fig. 22a – dont il a été démontré qu'il fournit d'excellentes prédictions de réponse malgré sa simplicité (Burns 2012). Le TCM suppose une relation contrainte de cisaillement d'adhérence-glissement en escalier, rigide-parfaitement plastique, avec τ_b = τ_b0 =2 f_ctm pour σ_s ≤ f_y et τ_b =τ_b1 = f_ctm pour σ_s > f_y. En traitant chaque barre d'armature comme un tirant en traction ­– Fig. 22b et Fig. 22a – la distribution du cisaillement d'adhérence, des contraintes dans l'acier et le béton, et donc la distribution de déformation entre deux fissures, peut être déterminée pour toute valeur donnée des contraintes (ou déformations) maximales de l'acier aux fissures.

Pour s_r = s_r0, une nouvelle fissure peut ou non se former car au centre entre deux fissures σ_c1 = f_ct. Par conséquent, l'espacement des fissures peut varier d'un facteur deux, soit s_r = λs_r0, avec l = 0,5…1,0. En supposant une certaine valeur pour λ, la déformation moyenne du tirant (ε_m) peut être exprimée en fonction des contraintes maximales de l'armature (c.-à-d. les contraintes aux fissures, σ_sr). Pour le diagramme contrainte-déformation bilinéaire idéalisé des barres d'armature nues considéré par défaut dans le CSFM, les expressions analytiques explicites suivantes sont obtenues (Marti et al. 1998) :

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

où :
E_sh           le module d'écrouissage de l'acier E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            module d'élasticité de l'armature,

Ø            diamètre de la barre d'armature,

s_r                espacement des fissures,

σ_sr           contraintes de l'armature aux fissures,

σ_s            contraintes réelles de l'armature,

f_y                limite d'élasticité de l'armature.

La mise en œuvre du CSFM dans Idea StatiCa Detail considère par défaut l'espacement moyen des fissures lors de l'analyse des champs de contraintes assistée par ordinateur. L'espacement moyen des fissures est considéré comme étant 2/3 de l'espacement maximal des fissures (λ = 0,67), ce qui suit les recommandations formulées sur la base d'essais de flexion et de traction (Broms 1965 ; Beeby 1979 ; Meier 1983). Il convient de noter que les calculs d'ouverture de fissure considèrent un espacement maximal des fissures (λ = 1,0) afin d'obtenir des valeurs conservatives.

L'application du TCM dépend du taux de ferraillage, et par conséquent l'attribution d'une surface de béton appropriée agissant en traction entre les fissures à chaque barre d'armature est cruciale. Une procédure numérique automatique a été développée pour définir le taux de ferraillage effectif correspondant (ρ_eff = A_s/A_c,eff) pour toute configuration, y compris l'armature inclinée (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Surface efficace de béton en traction pour fissuration stabilisée : (a) surface maximale de béton pouvant être activée ;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) enrobage et condition de symétrie globale ; (c) surface efficace résultante.}}}$

Fissuration non stabilisée

Les fissures existant dans des régions présentant des taux de ferraillage géométrique inférieurs à ρ_cr, c'est-à-dire la quantité minimale d'armature pour laquelle l'armature est capable de reprendre la charge de fissuration sans plastifier, sont générées soit par des actions non mécaniques (par ex. le retrait), soit par la propagation de fissures contrôlées par une autre armature. La valeur de cette armature minimale est obtenue comme suit :

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

où :

f_y              limite d'élasticité de l'armature,

f_ct             résistance en traction du béton,

n              coefficient d'équivalence, n = E_s / E_c .

Pour un béton et un acier d'armature conventionnels, ρ_cr s'élève à environ 0,6 %.

Pour les étriers présentant des taux de ferraillage inférieurs à ρ_cr, la fissuration est considérée comme non stabilisée et le raidissement en traction est mis en œuvre au moyen du Pull-Out Model (POM) décrit en Fig. 22b. Ce modèle analyse le comportement d'une fissure unique en ne considérant aucune interaction mécanique entre fissures séparées, en négligeant la déformabilité du béton en traction et en supposant la même relation contrainte de cisaillement d'adhérence-glissement en escalier, rigide-parfaitement plastique, utilisée par le TCM. Cela permet d'obtenir la distribution de déformation de l'armature (ε_s) au voisinage de la fissure pour toute contrainte maximale de l'acier à la fissure (σ_sr) directement à partir de l'équilibre. Étant donné que l'espacement des fissures est inconnu pour un schéma de fissuration non entièrement développé, la déformation moyenne (ε_m) est calculée pour tout niveau de charge sur la distance entre les points à glissement nul lorsque la barre d'armature atteint sa résistance en traction (f_t) à la fissure (l_ε,avg en Fig. 22b), ce qui conduit aux relations suivantes :

Les modèles proposés permettent le calcul du comportement de l'armature adhérente, qui est finalement pris en compte dans l'analyse. Ce comportement (incluant le raidissement en traction) pour l'acier d'armature européen le plus courant (B500B, avec f_t / f_y = 1,08 et ε_u = 5 %) est illustré en Fig. 22c-d.

Béton - ELU

Le modèle de béton implémenté dans la CSFM repose sur les lois constitutives en compression uniaxiale prescrites par l'EN 1992-1-1 pour le calcul des sections transversales, qui ne dépendent que de la résistance en compression. Le diagramme parabole-rectangle spécifié dans l'EN 1992-1-1 § 3.1.7 (1) (Fig. 24a) est utilisé par défaut dans la CSFM, mais les projeteurs peuvent aussi choisir une relation élastique parfaitement plastique plus simplifiée selon l'EN 1992-1-1 § 3.1.7 (2) (Fig. 24b). La résistance en traction est négligée, comme dans le calcul classique du béton armé.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}$$

L'implémentation de la CSFM dans IDEA StatiCa Detail ne considère pas de critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c.-à-d. qu'après avoir atteint la contrainte maximale, elle considère un palier plastique avec ε_cu2 (ε_cu3) de valeur 5 %, alors que l'EN 1992-1-1 retient une déformation ultime inférieure à 0,35 %). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures qui rompent en compression. Toutefois, leur capacité ultime f_cd selon l'EN 1992-1-1 3.1.3 est correctement prédite lorsque, en plus du facteur du béton fissuré (k_c2 défini à la (Fig. 25)), l'augmentation de la fragilité du béton avec sa résistance est prise en compte au moyen du coefficient de réduction $\eta_{fc}$ défini dans le Model Code 2010 de la fib comme suit :

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

où :

α_cc est le coefficient tenant compte des effets à long terme sur la résistance en compression et des effets défavorables résultant de la manière dont la charge est appliquée. Il est conforme à l'EN 1992-1-1 § 3.1.6 (1). La valeur par défaut est 1,0.

k_c est le coefficient de réduction global de la résistance en compression

k_c2 est le coefficient de réduction dû à la présence de fissuration transversale

f_ck est la résistance caractéristique du béton sur cylindre (en MPa pour la définition de $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}$$

Béton - ELS

L'analyse à l'état limite de service comporte certaines simplifications des modèles constitutifs utilisés pour l'analyse à l'état limite ultime. Le palier plastique de la courbe contrainte-déformation du béton en compression est ignoré, tandis que la branche élastique est linéaire et infinie. La loi d'adoucissement en compression n'est pas considérée. Ces simplifications améliorent la stabilité numérique et la vitesse de calcul, et ne réduisent pas la généralité de la solution tant que les limites de contrainte résultantes des matériaux en service restent nettement inférieures à leurs points de plastification (comme l'exige l'Eurocode). Par conséquent, les modèles simplifiés utilisés en service ne sont valables que si toutes les exigences de vérification sont satisfaites.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Effets à long terme

Dans l'analyse à l'ELS, les effets à long terme du béton sont pris en compte à l'aide d'un coefficient de fluage infini effectif ($\varphi$, pris par défaut égal à 2,5) qui modifie le module d'élasticité sécant du béton (E_cm) selon l'EN 1992-1-1, section 3.1.4 (3) respectivement 7.4.3 (5), comme suit :

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

Lors de la prise en compte des effets à long terme, un pas de charge comprenant toutes les charges permanentes est d'abord calculé en considérant le coefficient de fluage (c.-à-d. en utilisant le module d'élasticité effectif du béton, E_c,eff), puis les charges additionnelles sont calculées sans le coefficient de fluage (c.-à-d. en utilisant E_cm). De plus, pour effectuer les vérifications à court terme, un autre calcul est réalisé dans lequel toutes les charges sont calculées sans le coefficient de fluage. Les deux calculs pour les vérifications à long terme et à court terme sont représentés à la Fig. 26.

Les coefficients de fluage sont définis par l'utilisateur dans les propriétés du matériau et doivent être calculés selon l'EN 1992-1-1, Fig 3.1.

Ferraillage

Par défaut, le diagramme contrainte-déformation bilinéaire idéalisé des armatures nues défini dans l'EN 1992-1-1, section 3.2.7 (Fig. 27) est considéré. La définition de ce diagramme exige seulement de connaître les propriétés de base du ferraillage lors de la phase de conception (résistance et classe de ductilité). Lorsqu'elle est connue, la relation contrainte-déformation réelle du ferraillage (laminé à chaud, écroui à froid, trempé et autorevenu, …) peut être considérée. Le diagramme contrainte-déformation du ferraillage peut être défini par l'utilisateur, mais dans ce cas, il est impossible de prendre en compte l'effet de raidissement en traction (il est impossible de calculer l'ouverture des fissures). L'utilisation du diagramme contrainte-déformation avec une branche supérieure horizontale ne permet pas de vérifier la durabilité structurelle. Par conséquent, une vérification manuelle des exigences usuelles de ductilité est nécessaire.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$

Le raidissement en traction (Fig. 28)  est pris en compte automatiquement en modifiant la relation contrainte-déformation d'entrée de l'armature nue afin de capter la rigidité moyenne des armatures noyées dans le béton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

La Méthode du Champ de Contraintes Compatible est conforme aux normes de calcul modernes. Comme les modèles de calcul n'utilisent que les propriétés usuelles des matériaux, le format des coefficients partiels de sécurité prescrit par les normes de calcul peut être appliqué sans aucune adaptation. Ainsi, les charges d'entrée sont pondérées et les propriétés caractéristiques des matériaux sont réduites à l'aide des coefficients de sécurité respectifs prescrits par les normes de calcul, exactement comme dans un calcul conventionnel du béton. Les valeurs des coefficients de sécurité des matériaux prescrites dans l'EN 1992-1-1, chap. 2.4.2.4, sont définies par défaut, mais l'utilisateur peut modifier les coefficients de sécurité dans les Paramètres de la norme et du calcul (Fig. 29).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Les coefficients de sécurité des charges doivent être définis par l'utilisateur dans les Règles de combinaison pour chaque combinaison non linéaire de cas de charge (Fig. 30). Pour tous les modèles implémentés dans Idea StatiCa Detail, les coefficients partiels de sécurité sont déjà prédéfinis.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

En utilisant des combinaisons de coefficients partiels de sécurité définies de manière appropriée par l'utilisateur, il est également possible de calculer avec la CSFM selon la méthode du facteur global de résistance (Navrátil, et al. 2017), mais cette approche est rarement utilisée dans la pratique de calcul. Certaines recommandations préconisent la méthode du facteur global de résistance pour l'analyse non linéaire. Toutefois, dans les analyses non linéaires simplifiées (telles que la CSFM), qui ne nécessitent que les propriétés des matériaux utilisées dans les calculs manuels conventionnels, il reste préférable d'utiliser le format des coefficients partiels.

Les différentes vérifications exigées par l'EN 1992-1-1 sont évaluées à partir des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications à l'ELU sont effectuées pour la résistance du béton, la résistance du ferraillage et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).

La résistance du béton en compression est évaluée comme le rapport entre la contrainte principale de compression maximale σ_c = σ_c2 obtenue par l'analyse par éléments finis et la valeur limite σ_c,lim = f_cd. 

La résistance du ferraillage est évaluée en traction et en compression comme le rapport entre la contrainte dans le ferraillage au droit des fissures σ_sr et la valeur limite spécifiée σ_s,lim :

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

où :

f_yk        est la limite d'élasticité du ferraillage selon l'EN 1992-1-1, § 3.2.3,

k          est le rapport entre la résistance en traction f_tk et la limite d'élasticité,
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             est le coefficient partiel de sécurité pour le ferraillage

La contrainte de cisaillement d'adhérence est évaluée indépendamment comme le rapport entre la contrainte d'adhérence τ_b calculée par l'analyse par éléments finis et la résistance ultime d'adhérence f_bd, selon l'EN 1992-1-1, chap. 8.4.2 :

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

où :

f_ctd      est la valeur de calcul de la résistance en traction du béton selon l'EN 1992-1-1, § 3.1.6 (2). En raison de la fragilité croissante des bétons de résistance plus élevée, f_ctk,0.05 est limitée à la valeur du C60/75 selon l'EN 1992-1-1, § 8.4.2 (2)

η₁       est un coefficient lié à la qualité des conditions d'adhérence et à la position de la barre pendant le bétonnage (Fig. 31).

η₁ = 1,0 lorsque les conditions d'adhérence sont « bonnes » et

η₁ = 0,7 dans tous les autres cas, ainsi que pour les barres dans des éléments structurels réalisés en coffrage glissant, sauf s'il peut être démontré que des conditions d'adhérence « bonnes » existent

η₂        est lié au diamètre de la barre :

            η₂ = 1,0 pour Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 pour Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

Dans IDEA StatiCa Detail, les conditions d'adhérence sont prises en compte selon la Fig. 31 c) et d). La direction de bétonnage peut être définie dans l'application pour chaque élément du projet comme suit.

Ces vérifications sont effectuées par rapport aux valeurs limites appropriées pour les parties respectives de la structure (c'est-à-dire que, bien qu'il n'y ait qu'une seule nuance pour le béton et pour le ferraillage, les diagrammes contrainte-déformation finaux diffèrent dans chaque partie de la structure en raison des effets de raidissement en traction et d'adoucissement en compression).

Il est également possible de modéliser des barres lisses. Vous trouverez plus d'informations ici : Barres lisses dans Detail

Effort total F_tot et effort limite F_lim

L'effort total F_tot est un résultat de l'analyse par éléments finis et peut être défini de deux manières.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

où A_s est l'aire de la barre d'armature et σ_s est la contrainte dans la barre.

Ou comme la somme de l' effort d'ancrage F_a et de l' effort d'adhérence F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

où F_a est l'effort réel dans le ressort d'ancrage et F_bond est l'effort d'adhérence, qui peut être obtenu en intégrant la contrainte d'adhérence τ_b sur la longueur l de la barre d'armature.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s est la circonférence de la barre d'armature.

L'effort limite F_lim est l'effort maximal dans l'élément de la barre en tenant compte de la résistance ultime de la barre ainsi que des conditions d'ancrage (adhérence entre le béton et le ferraillage, crochets d'ancrage, boucles, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

où C_s est la circonférence de la barre d'armature et l est la longueur depuis le début de la barre jusqu'au point considéré.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

où F_lim,add est l'effort additionnel calculé à partir de la valeur de l'angle entre les éléments voisins. F_lim,2 doit toujours être inférieur à F_u.

Les types d'ancrage disponibles dans la CSFM comprennent la barre droite (c'est-à-dire sans réduction de l'extrémité d'ancrage), le coude, le crochet, la boucle, la barre transversale soudée, l'adhérence parfaite et la barre continue. Tous ces types, ainsi que les coefficients d'ancrage β correspondants, sont présentés à la Fig. 32 pour le ferraillage longitudinal et à la Fig. 33 pour les étriers. Les valeurs des coefficients d'ancrage adoptées sont conformes à l'EN 1992-1-1, section 8.4.4, Tab. 8.2. Il convient de noter que, malgré les différentes options disponibles, la CSFM distingue trois types d'extrémités d'ancrage : (i) aucune réduction de la longueur d'ancrage, (ii) une réduction de 30 % de la longueur d'ancrage dans le cas d'un ancrage normalisé et (iii) l'adhérence parfaite.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Afin de satisfaire aux exigences de l'EN 1992-1-1, le ressort d'ancrage doit être utilisé dans le calcul. Le ressort d'ancrage est modifié par le coefficient β ; l'utilisateur doit donc choisir l'un des types d'ancrage disponibles lors de la définition des conditions de début et de fin du ferraillage. 

Lors de la conception des structures en béton, on rencontre deux grands groupes de zones partiellement chargées (PLA) : le premier comprend les appuis, tandis que le second est constitué des zones d'ancrage. Selon les normes actuellement en vigueur pour le calcul des structures en béton armé, EN 1992-1-1, chap. 6.7 (Fig. 34), il convient de considérer l'écrasement local du béton et les efforts de traction transversaux pour les zones partiellement chargées. Pour une charge uniformément répartie sur une aire A_c0, la résistance en compression du béton peut être multipliée par trois au maximum, en fonction de l'aire de répartition de calcul A_c1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}$$

La zone partiellement chargée doit être suffisamment armée par un ferraillage transversal dimensionné pour reprendre les efforts d'éclatement qui apparaissent dans cette zone. Pour le calcul du ferraillage transversal dans les zones partiellement chargées, la méthode Bielle-et-tirant est utilisée conformément à l'Eurocode. Sans le ferraillage transversal requis, il n'est pas possible de considérer l'augmentation de la résistance en compression du béton.

Zones partiellement chargées dans la CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Avec la CSFM, il est possible de dimensionner et de vérifier des structures en béton armé en tenant compte de l'influence de l'augmentation de la résistance en compression du béton dans les zones partiellement chargées. La CSFM étant un modèle de type voile (2D) et les zones partiellement chargées relevant d'un problème spatial (3D), il a fallu trouver une solution combinant ces deux types de problèmes (Fig. 35). Si la fonction « zones partiellement chargées » est activée, la géométrie admissible du cône est créée conformément à l'Eurocode (Fig. 34). Toutes les collisions géométriques sont résolues entièrement en 3D pour la géométrie spécifiée de l'élément en béton et les dimensions de chaque PLA. Un modèle de calcul de la zone partiellement chargée est ensuite créé.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

La modification du modèle de matériau s'est avérée inadaptée, principalement parce que le transfert des propriétés vers le maillage d'éléments finis pose problème. Il a été établi qu'une approche indépendante du maillage d'éléments finis constitue une solution plus appropriée. Des bielles fictives parfaitement cohérentes sont créées pour la géométrie connue du cône de compression (Fig. 35 et Fig. 37). Ces bielles ont des propriétés matérielles identiques à celles du béton utilisé dans le modèle, y compris le diagramme contrainte-déformation. La forme du cône détermine la direction des bielles, qui répartissent progressivement la charge de la PLA vers l'aire de répartition de calcul. La densité surfacique des bielles fictives varie en chaque point du cône et ajoute une aire de béton fictive dans la direction de la charge. Au niveau de l'aire chargée (A_c0), une aire de béton fictive est ajoutée selon le rapport $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  (où A_real est l'aire de l'appui considérée dans le modèle de calcul 2D), et cette aire diminue linéairement jusqu'à zéro en direction de l'aire de répartition de calcul (A_c1). Cette solution garantit que la contrainte de compression dans le béton est constante sur tout le volume du cône.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

La résistance de la zone partiellement chargée est augmentée selon le rapport entre l'aire de répartition de calcul et l'aire chargée défini dans l'EN 1992-1-1  (6.7).  Il convient de garder à l'esprit qu'il s'agit d'un modèle de calcul qui ne peut pas décrire précisément l'état de contraintes dans une zone partiellement chargée, dont l'écoulement réel est beaucoup plus complexe. Cependant, cette solution permet une répartition correcte de la charge sur l'ensemble du modèle tout en respectant la capacité portante accrue de la zone partiellement chargée. De plus, elle introduit correctement les contraintes transversales dans cette zone.

Lors de l'utilisation de la fonction « Zones partiellement chargées » pour simuler l'augmentation de la résistance en compression du béton, il est nécessaire d'effectuer la vérification normative séparément selon l'EN 1992-1-1, section 6.7 (2). Les efforts de traction transversaux (efforts de fendage) repris par le ferraillage sont vérifiés automatiquement.

Les vérifications aux ELS sont effectuées pour la limitation des contraintes, l'ouverture des fissures et les limites de flèche. Les contraintes sont vérifiées dans le béton et dans les éléments de ferraillage selon l'EN 1992-1-1, de manière similaire à ce qui est spécifié pour les ELU.

Limitation des contraintes

La contrainte de compression dans le béton doit être limitée afin d'éviter les fissures longitudinales. Selon l'EN 1992-1-1 chap. 7.2 (2), des fissures longitudinales peuvent apparaître si le niveau de contrainte sous la combinaison caractéristique des charges dépasse une valeur k₁f_ck. La contrainte de compression dans le béton est évaluée comme le rapport entre la contrainte principale de compression maximale σ_c = σ_c2 obtenue par l'analyse EF pour les états limites de service et la valeur limite σ_c,lim. Ainsi :

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

où :

f_ck        résistance caractéristique du béton sur cylindre,

k₁         =0,6.

Si la contrainte dans le béton sous les charges quasi permanentes est inférieure à k₂f_ck selon l'EN 1992-1-1 § 7.2(3), le fluage linéaire peut être supposé. Si la contrainte dans le béton dépasse k₂f_ck, le fluage non linéaire doit être pris en compte (voir EN 1992-1-1 § 3.1.4). Dans IDEA StatiCa Detail, seul le fluage linéaire selon l'EN 1992-1-1 § 3.1.4 (3) peut être supposé (voir Modèles de matériaux (EN)).

On peut considérer qu'une fissuration ou une déformation inacceptable est évitée si, sous la combinaison caractéristique des charges, la contrainte de traction dans le ferraillage ne dépasse pas k₃f_yk (EN 1992-1-1 chap. 7.2 (5)). Le taux de travail du ferraillage est évalué comme le rapport entre la contrainte dans le ferraillage au droit des fissures σ_s = σ_sr et la valeur limite spécifiée σ_s,lim :

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

où :

f_yk        limite d'élasticité du ferraillage,

k₃        =0,8.

Flèche

Les flèches ne peuvent être évaluées que pour des voiles ou des poutres isostatiques (statiquement déterminées) ou hyperstatiques (statiquement indéterminées). Dans ces cas, la valeur absolue des flèches est considérée (par rapport à l'état initial avant chargement), et la valeur admissible maximale des flèches doit être définie par l'utilisateur. Les flèches aux extrémités tronquées ne peuvent pas être vérifiées, car il s'agit essentiellement de structures instables dont l'équilibre est assuré par l'ajout d'efforts d'extrémité, et les flèches y sont donc irréalistes. La flèche à court terme u_z,st ou à long terme u_z,lt peut être calculée et comparée à des valeurs limites définies par l'utilisateur :

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

où :

u_z         flèche à court ou à long terme calculée par l'analyse EF,

u_z,lim    valeur limite de la flèche définie par l'utilisateur.

Ouverture des fissures

Les ouvertures et les orientations des fissures sont calculées uniquement pour les effets à long terme (en utilisant E_c,eff) pour les combinaisons dans lesquelles l'évaluation de l'ouverture des fissures est activée. Les vérifications basées sur des valeurs limites spécifiées par l'utilisateur conformément à l'Eurocode sont présentées comme suit :

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

où :

w         ouverture de fissure calculée par l'analyse EF,

w_lim     valeur limite de l'ouverture de fissure définie par l'utilisateur.

Il existe deux méthodes de calcul de l'ouverture des fissures (fissuration stabilisée et fissuration non stabilisée). Dans le cas général (fissuration stabilisée), l'ouverture des fissures est calculée en intégrant les déformations sur les éléments 1D des barres d'armature. La direction des fissures est ensuite calculée à partir des trois points d'intégration les plus proches (à partir du centre de l'élément fini 1D de ferraillage considéré) des éléments de béton 2D. Bien que cette approche de calcul des directions de fissures ne corresponde pas à la position réelle des fissures, elle fournit néanmoins des valeurs représentatives qui conduisent à des résultats d'ouverture de fissures comparables aux valeurs d'ouverture de fissures exigées par la norme à la position de la barre d'armature.

Béton - Résistance

Le modèle de béton implémenté pour les calculs de résistance dans CSFM repose sur la courbe contrainte-déformation parabole-palier plastique du béton, basée sur la courbe contrainte-déformation parabolique de la Portland Cement Association décrite dans PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figure 6-8. La résistance en traction est négligée, comme dans le calcul classique du béton armé.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

L'implémentation de CSFM dans IDEA StatiCa Detail ne considère pas de critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c'est-à-dire qu'après avoir atteint la contrainte maximale, elle considère un palier plastique avec ε_c0 d'une valeur maximale de 5 %, alors que l'ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 suppose une déformation ultime inférieure à 0,3 %). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures qui ruinent en compression. Cependant, la résistance est correctement prédite lorsque, en plus du facteur de béton fissuré (k_c2 défini à la (Fig. 39)), l'augmentation de la fragilité du béton avec l'accroissement de sa résistance est prise en compte au moyen du facteur de réduction $\eta_{fc}$ défini dans le fib Model Code 2010 comme suit :

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

où :

α₁ est le facteur de réduction de la résistance en compression du béton défini dans l'ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Lors de l'utilisation d'un diagramme contrainte-déformation parabole-rectangle, il est nécessaire de réduire la contrainte de compression maximale par ce facteur. Cela moyenne la distribution des contraintes dans la zone comprimée de telle sorte que la résistance en compression résultante soit inférieure ou égale à la résistance en compression calculée à l'aide d'un diagramme contrainte-déformation avec une branche plastique décroissante.

Φ_c est le coefficient de réduction de résistance du béton. La valeur par défaut est définie selon l'ACI 318-19 Table 24.2.1 (b)(f).

k_c2 est le facteur de réduction dû à la présence de fissuration transversale.

f'_c est la résistance du béton sur cylindre (en MPa pour la définition de $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 est un facteur de réduction basé sur les mêmes hypothèses que le coefficient de zone nodale β_n donné dans l'ACI 318-19 Table 23.9.2, sauf que dans CSFM, la présence d'une contrainte principale de traction perpendiculaire à la contrainte principale de compression est vérifiée pour chaque élément fini (et pas seulement pour les nœuds du modèle Bielle et tirant).

Béton – Aptitude au service

L'analyse en service comporte certaines simplifications des modèles constitutifs utilisés pour l'analyse de résistance. La branche plastique de la courbe contrainte-déformation du béton en compression est ignorée, tandis que la branche élastique est linéaire et infinie. La loi d'adoucissement en compression n'est pas considérée. Ces simplifications améliorent la stabilité numérique et la vitesse de calcul et ne réduisent pas la généralité de la solution tant que les limites de contrainte résultantes des matériaux en service sont nettement inférieures à leurs points de plastification (comme l'exige l'ACI). Par conséquent, les modèles simplifiés utilisés pour le service ne sont valables que si toutes les exigences de vérification sont satisfaites.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Effets à long terme

Le comportement à long terme de la structure, tel que les flèches à long terme ou le calcul des largeurs de fissures dues aux charges soutenues, est influencé par le fluage du béton. L'ACI 318-19, au paragraphe 24.2.4.1.3, définit le facteur dépendant du temps pour les charges soutenues – ξ représentant l'effet du fluage pour une durée de charge soutenue spécifiée.

Dans l'application Detail, le module d'élasticité E_c est ajusté afin de déterminer le comportement à long terme de la structure au moyen du facteur ξ. Le module d'élasticité ajusté est noté E_c,eff – voir la Figure 40.

En supposant que la déformation de l'élément est exprimée par la déformation unitaire, on peut écrire que :

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

où :

ε₀ est une déformation à court terme (sans l'influence du fluage) et ε_creep est une déformation due au fluage.

En utilisant la loi de Hooke, on peut écrire :

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

En substituant $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ et $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$, on obtient :

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

La durée de la charge soutenue pour la détermination du facteur ξ peut être définie individuellement pour chaque combinaison de service à long terme.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}$$

Les flèches, contraintes et largeurs de fissures dépendant du temps sont alors calculées avec un modèle de matériau modifié, dans lequel l'effet du raffinement en compression est pris en compte automatiquement du fait de la nature de l'analyse par éléments finis. Il n'est donc pas nécessaire de les multiplier en plus par le facteur défini à l'article 24.2.4.1.1.

Effets à court terme

Pour effectuer les vérifications à court terme, un autre calcul est réalisé, dans lequel toutes les charges sont calculées sans le facteur dépendant du temps pour les charges soutenues. Les deux calculs, pour les vérifications à long terme et à court terme, sont représentés sur la Fig. 40.

Ferraillage

Un diagramme contrainte-déformation parfaitement élasto-plastique avec une limite d'élasticité définie est considéré pour le ferraillage non précontraint, voir ACI 319-19 CL. 20.2.1. La définition de ce diagramme nécessite uniquement la connaissance des propriétés de base du ferraillage – la résistance et le module d'élasticité.

Le diagramme contrainte-déformation du ferraillage peut également être défini par l'utilisateur, mais dans ce cas, il est impossible de prendre en compte l'effet de raidissement en traction (il est impossible de calculer la largeur de fissure). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

où :

Φ_s est le coefficient de réduction de résistance du ferraillage. La valeur par défaut est définie selon l'ACI 318-19 Table 24.2.1.

f_y est la limite d'élasticité du ferraillage

E_s est le module d'élasticité du ferraillage

10 % est retenu comme déformation limite à laquelle le calcul est arrêté. Cette valeur est considérée comme sûre d'après l'ASTM A955/A955M-20c Article 7.

Le raidissement en traction (Fig. 43)  est pris en compte automatiquement en modifiant la relation contrainte-déformation d'entrée de la barre d'armature nue, afin de représenter la rigidité moyenne des barres noyées dans le béton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

La Méthode du Champ de Contraintes Compatible est conforme aux normes de calcul modernes. Les modèles de calcul n'utilisant que les propriétés usuelles des matériaux, le format des coefficients partiels de sécurité prescrit par les normes de calcul peut être appliqué sans aucune adaptation. Ainsi, les charges d'entrée sont pondérées et les propriétés caractéristiques des matériaux sont réduites à l'aide des coefficients de réduction de résistance correspondants, exactement comme dans une analyse conventionnelle du béton.

Les valeurs des coefficients de réduction de résistance sont prescrites dans l'ACI 318-19 Cl. 21.2. Les valeurs par défaut pour le béton et le ferraillage sont choisies en supposant que l'exemple typique traité dans l'application est dimensionné par le cisaillement (selon le Tableau 21.2.1 (b), (f), (g)). Il est toutefois possible de modéliser n'importe quel type d'élément. Par conséquent, si un élément contrôlé par la compression ou par la traction est vérifié, l'utilisateur a la possibilité de modifier la valeur du coefficient de réduction de résistance dans les Préférences.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Les coefficients de charge pour les combinaisons de résistance doivent être définis conformément au Tableau 5.3.1 de l'ACI 318-19.

Sauf indication contraire du Chapitre 34, les combinaisons de charges de service ne sont pas définies dans l'ACI 318-19. Il est recommandé d'utiliser les règles de combinaison basées sur l'Annexe C de l'ASCE/SEI 7-16. Pour tous les modèles, les coefficients de charge sont déjà prédéfinis.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Les différentes vérifications requises par l'ACI 318-19 sont évaluées à partir des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications portent sur la résistance du béton, la résistance du ferraillage et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).

La résistance du béton en compression est évaluée comme le rapport entre la contrainte principale maximale de compression f_c (également σ₂ dans les résultats auxiliaires), obtenue par l'analyse par éléments finis, et la valeur limite f'_c,lim.

La résistance du ferraillage est évaluée en traction et en compression comme le rapport entre la contrainte dans le ferraillage au droit des fissures f_s et la valeur limite spécifiée f_y,lim.

La contrainte de cisaillement d'adhérence est évaluée indépendamment comme le rapport entre la contrainte d'adhérence τ_b calculée par l'analyse par éléments finis et la résistance d'adhérence f_bu.

Cependant, la norme ACI ne traite pas explicitement la résistance d'adhérence, mais s'appuie sur le calcul de la longueur de développement, décrit à la section 25.4.2. La résistance d'adhérence étant un paramètre d'entrée fondamental pour déterminer la longueur de développement (voir R25.4.1.1 et ACI Committee 408 1966), elle peut être calculée comme suit :

Supposons qu'une barre de ferraillage soit ancrée dans un bloc de béton sur une longueur égale ou supérieure à la longueur de développement l_d. L'arrachement du ferraillage conduit alors à la rupture de la barre et non à l'arrachement du béton. Cela s'écrit avec la formule suivante.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

où :

d_b est le diamètre de la barre de ferraillage, l_d est la longueur de développement, f_bu est la résistance d'adhérence, f_y est la limite d'élasticité du ferraillage et A_s est l'aire de la barre d'armature.

De ce qui précède, la formule de calcul de la résistance d'adhérence se déduit aisément :

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

La longueur de développement l_d est ensuite déterminée selon le Tableau 25.4.2.3 de l'ACI 318-19 comme suit :

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

où :

C = 25 (2,1 en unités métriques) pour les barres de no. 6 et plus petites et les fils déformés, C = 20 (1,7 en unités métriques) pour les barres de no. 7 et plus grandes, λ = 1,0 pour un béton de masse volumique normale, ψ_t, ψ_e, ψ_g sont déterminés selon le Tableau 25.4.2.3 de l'ACI 318-19. 

Seul le ferraillage non revêtu ou revêtu de zinc (galvanisé) est pris en charge, donc ψ_e = 1,0. ψ_g est déterminé automatiquement à partir de la nuance du ferraillage, et ψ_t est déduit automatiquement de la position du ferraillage dans le modèle et de la direction de bétonnage, qui peut être définie dans l'application pour chaque élément du projet comme suit.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

Ces vérifications sont effectuées par rapport aux valeurs limites appropriées pour les parties respectives de la structure (c'est-à-dire que, bien qu'il n'y ait qu'une seule nuance pour le béton et pour le ferraillage, les diagrammes contrainte-déformation finaux diffèrent dans chaque partie de la structure en raison des effets de raidissement en traction et d'adoucissement en compression).

Il est également possible de modéliser des barres lisses. Plus d'informations sont disponibles ici : Barres lisses dans Detail

Effort total F_tot et effort limite F_lim

L'effort total F_tot est un résultat de l'analyse par éléments finis et peut être défini de deux manières.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

où A_s est l'aire de la barre de ferraillage et f_s est la contrainte dans la barre.

Ou comme la somme de l'effort d'ancrage F_a et de l'effort d'adhérence F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

où F_a est l'effort réel dans le ressort d'ancrage et F_bond est l'effort d'adhérence, qui peut être obtenu en intégrant la contrainte d'adhérence τ_b sur la longueur de la barre de ferraillage l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s est la circonférence de la barre de ferraillage.

L'effort limite F_lim est l'effort maximal dans l'élément de la barre d'armature, compte tenu de la résistance de la barre ainsi que des conditions d'ancrage (adhérence entre le béton et le ferraillage, crochets d'ancrage, boucles, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

où C_s est la circonférence de la barre de ferraillage et l est la longueur depuis le début de la barre d'armature jusqu'au point considéré.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

où F_lim,add est l'effort supplémentaire calculé à partir de la valeur de l'angle entre les éléments voisins. F_lim,2 doit toujours être inférieur à F_u.

Les types d'ancrage disponibles dans la CSFM comprennent la barre droite (c'est-à-dire sans réduction de l'extrémité d'ancrage), le crochet à 90 degrés, le crochet à 180 degrés, l'adhérence parfaite et la barre continue. Tous ces types, ainsi que les coefficients d'ancrage β correspondants, sont présentés à la Fig. 48 pour le ferraillage longitudinal. Les valeurs des coefficients d'ancrage adoptés sont dérivées de la comparaison de l'équation de la section ACI 318-19 25.4.3.1 et des équations tirées de la section ACI 318-19 25.4.2.3. Il convient de noter que, malgré les différentes options disponibles, la CSFM distingue trois types d'extrémités d'ancrage : (i) aucune réduction de la longueur d'ancrage, (ii) une réduction de 30 % de la longueur d'ancrage dans le cas d'un ancrage normalisé, et (iii) l'adhérence parfaite.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Le coefficient d'ancrage pour les étriers est toujours β = 1,0.

Pour respecter l'ACI, le ressort d'ancrage doit être utilisé dans le calcul. Le ressort d'ancrage est modifié par le coefficient β ; l'utilisateur doit donc choisir l'un des types d'ancrage disponibles lors de la définition des conditions de début et de fin du ferraillage. 

Lors du calcul des structures en béton, on rencontre deux grands groupes de zones partiellement chargées (PLA) : le premier comprend les appuis, tandis que le second est constitué des zones d'ancrage. 

Selon les normes actuellement en vigueur pour le calcul des structures en béton armé, ACI 318-19, chap. 22.8, l'écrasement local du béton et les efforts de traction transversaux doivent être pris en compte pour les appuis. Pour une charge uniformément répartie sur une aire A_c1, la résistance en compression du béton peut être majorée jusqu'à deux fois en fonction de l'aire de répartition de calcul A_c2. Voir le tableau 22.8.3.2 de l'ACI 318-19.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Partially loaded areas for bearings according to ACI 318-19}}}$$

Pour les zones d'ancrage en post-tension, il convient de suivre l'ACI 318-19, chap. 25.9.

La zone partiellement chargée doit être suffisamment armée par un ferraillage transversal dimensionné pour transmettre les efforts de fendage qui apparaissent dans cette zone. Sans le ferraillage transversal requis, il n'est pas possible de considérer l'augmentation de la résistance en compression du béton.

Zones partiellement chargées dans la CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Avec la CSFM, il est possible de dimensionner et de vérifier des structures en béton armé en tenant compte de l'influence de l'augmentation de la résistance en compression du béton dans les zones partiellement chargées. La CSFM étant un modèle de type voile (2D) et les zones partiellement chargées relevant d'un problème spatial (3D), il a fallu trouver une solution combinant ces deux types de problèmes (Fig. 50). Si la fonction « zones partiellement chargées » est activée, la géométrie du cône admissible est créée conformément à l'ACI (Fig. 49). Toutes les collisions géométriques sont résolues entièrement en 3D pour la géométrie de l'élément en béton spécifiée et les dimensions de chaque PLA. Ensuite, un modèle de calcul de la zone partiellement chargée est créé.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

La modification du modèle de matériau s'est avérée une approche inadaptée, principalement parce que le transfert des propriétés vers le maillage d'éléments finis pose problème. Il a été établi qu'une approche indépendante du maillage d'éléments finis constitue une solution plus appropriée. Des bielles fictives parfaitement cohérentes sont créées pour la géométrie connue du cône de compression (Fig. 51 et Fig. 52). Ces bielles ont des propriétés de matériau identiques à celles du béton utilisé dans le modèle, y compris le diagramme contrainte-déformation. La forme du cône détermine la direction des bielles, qui répartissent progressivement la charge de la PLA jusqu'à l'aire de répartition de calcul. La densité surfacique des bielles fictives varie en chaque point du cône et ajoute une aire de béton fictive dans la direction de la charge. Au niveau de l'aire chargée (A_c1), une aire fictive de béton est ajoutée selon le rapport $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  (où A_real est l'aire de l'appui supposée dans le modèle de calcul 2D), et cette aire diminue linéairement jusqu'à zéro vers l'aire de répartition de calcul (A_c2). Cette solution garantit que la contrainte de compression dans le béton est constante sur tout le volume du cône.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

La résistance de la zone partiellement chargée est augmentée selon le rapport entre l'aire de répartition de calcul et l'aire chargée, défini dans l'ACI 318-19, chap. 22.8.  Il convient de garder à l'esprit qu'il s'agit d'un modèle de calcul qui ne peut pas décrire précisément l'état de contrainte dans une zone partiellement chargée, dont l'écoulement réel des efforts est beaucoup plus complexe. Cette solution permet toutefois une répartition correcte de la charge sur l'ensemble du modèle, tout en respectant la capacité portante accrue de la zone partiellement chargée. De plus, elle introduit correctement les contraintes transversales dans cette zone, afin de dimensionner correctement le ferraillage vis-à-vis des efforts de fendage.

La contrainte d'appui admissible de 0.85f_c' est donnée dans le tableau 22.8.3.2. La densité est limitée de sorte que la résistance maximale doublée, donnée par la formule du tableau 22.8.3.2(b), ne soit pas dépassée.  

Pour les zones d'ancrage, la PLA est utilisée dans l'application de la même manière que pour les appuis. C'est pourquoi les zones locales définies au chapitre 25.9 de l'ACI 318-19 doivent être vérifiées manuellement selon l'ACI 318-19, 25.9.3. La PLA sert donc uniquement à éviter le dépassement du critère de déformation dans la zone locale et, ainsi, l'arrêt prématuré du calcul. En revanche, selon l'ACI 318-19, art. 25.9.4.3.1 (b), le ferraillage résistant aux contraintes d'éclatement et d'écaillage dans le plan peut être directement et avantageusement vérifié dans l'application.

Les vérifications de l'aptitude au service portent sur la limitation des contraintes, l'ouverture des fissures et les limites de flèche. Les contraintes sont vérifiées dans le béton et dans les éléments de ferraillage selon l'ACI 318-19, de manière similaire à celle prescrite pour la résistance.

Limitation des contraintes

Les contraintes de compression admissibles du béton sous charges de service doivent être vérifiées pour les éléments précontraints des classes U et T. Selon le Tableau R24.5.2.1, aucune vérification de limitation des contraintes n'est requise pour un béton supposé fissuré. L'utilisateur doit définir la classe de l'élément précontraint dans les paramètres de l'élément de calcul.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}$$

La contrainte de compression admissible pour les éléments soumis à des charges transitoires est spécifiée par l'ACI 318-19 24.5.4.1 comme 0,6f_c'. La limite de contrainte de compression de 0,45f_c' a été établie afin de réduire la probabilité de rupture des éléments en béton précontraint sous charges répétées. Cette limite semblait également raisonnable pour prévenir une déformation de fluage excessive. Pour des niveaux de contrainte plus élevés, les déformations de fluage tendent à augmenter plus rapidement à mesure que la contrainte appliquée croît.

La contrainte de compression du béton est évaluée comme le rapport entre la contrainte principale de compression maximale f_c = σ_c2 obtenue par l'analyse par éléments finis à l'état de service et la valeur limite, définie selon le Tableau 24.5.4.1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

Dans l'application, Précontrainte plus charge permanente est traitée comme une combinaison à long terme, et Précontrainte plus charge totale comme une combinaison à court terme.

Flèche

Selon le type de combinaison sélectionné (long terme ou court terme), c'est la flèche à long terme ou à court terme qui est évaluée. La valeur maximale admissible de la flèche doit être déterminée par l'utilisateur et prise en compte conformément à l'ACI 138-19 24.2. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

Dans l'application, il est possible d'afficher séparément les flèches dues aux charges permanentes Δ_DL et aux charges d'exploitation Δ_LL, ainsi que la flèche totale Δ_Tot (permanentes+exploitation), tout en affichant la déformée.

Les flèches aux extrémités coupées ne peuvent pas être vérifiées.

Ouverture des fissures

Les ouvertures et les orientations des fissures sont calculées pour les combinaisons de service à court terme ou à long terme. Comme l'ACI ne prescrit pas directement de limites d'ouverture des fissures, l'utilisateur doit spécifier une ouverture limite de fissure w_lim.

Les vérifications sont présentées comme suit :

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

où :

w         ouverture de fissure à court ou à long terme calculée par l'analyse par éléments finis,

w_lim     valeur limite de l'ouverture de fissure définie par l'utilisateur.

La méthode de calcul des ouvertures de fissures utilisée dans l'application, décrite plus en détail dans ce document, est conforme à l'ACI 224R-01. Il est donc possible d'utiliser le Tableau 4.1 de l'ACI 224R-01 pour déterminer la valeur limite des ouvertures de fissures.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}$$

Il existe deux manières de calculer les ouvertures de fissures (fissuration stabilisée et non stabilisée). Dans le cas général (fissuration stabilisée), l'ouverture de fissure est calculée en intégrant les déformations sur les éléments 1D des barres de ferraillage. La direction de la fissure est ensuite calculée à partir des trois points d'intégration les plus proches des éléments de béton 2D (depuis le centre de l'élément fini 1D de ferraillage considéré). Bien que cette approche de calcul des directions de fissures ne corresponde pas à la position réelle des fissures, elle fournit néanmoins des valeurs représentatives, qui conduisent à des ouvertures de fissures comparables aux valeurs requises par la norme à la position de la barre de ferraillage.

Béton - Résistance

Le modèle de béton implémenté pour les calculs de résistance dans la CSFM repose sur les hypothèses de calcul à la résistance de l'AASHTO LRFD, à savoir l'équilibre et la compatibilité des déformations. Conformément à l'article 5.6.2.1 de l'AASHTO LRFD (2024), la résistance à la traction du béton est négligée.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

L'implémentation de la CSFM dans IDEA StatiCa Detail ne considère pas de critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c'est-à-dire qu'après avoir atteint la contrainte maximale, elle considère une branche plastique avec ε_c0 d'une valeur maximale de 5 %, alors que l'article 5.6.2.1 de l'AASHTO LRFD (2024) suppose une déformation ultime inférieure à 0,3 %). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures qui atteignent la ruine en compression. Toutefois, la résistance est correctement prédite lorsque, en plus du facteur de béton fissuré (k_c2 défini à la (Fig. 57)), l'augmentation de la fragilité du béton avec l'accroissement de sa résistance est prise en compte au moyen du facteur de réduction $\eta_{fc}$ défini dans le fib Model Code 2010 comme suit :

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

où :

α₁ est le facteur de réduction de la résistance en compression du béton défini à l'article 5.6.2.2 de l'AASHTO LRFD (2024). Lorsqu'un diagramme contrainte-déformation parabole-rectangle est utilisé, il est nécessaire de réduire la contrainte maximale de compression par ce facteur. Cela permet de moyenner la distribution des contraintes dans la zone comprimée de telle sorte que la résistance en compression obtenue soit inférieure ou égale à la résistance en compression calculée à l'aide d'un diagramme contrainte-déformation avec une branche plastique décroissante.

Φ_c est le facteur de résistance du béton. La valeur par défaut est définie selon l'article 5.5.4.2 de l'AASHTO LRFD (2024).

k_c2 est le facteur de réduction dû à la présence de fissuration transversale.

f'_c est la résistance du béton sur éprouvette cylindrique (en MPa pour la définition de $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 est un facteur de réduction fondé sur les mêmes hypothèses que le facteur d'efficacité du béton ν donné à l'article 5.8.2.5.3a et dans le Tableau 5.8.2.5.3a-1 de l'AASHTO LRFD (2024), à ceci près que, dans la CSFM, la présence d'une contrainte principale de traction perpendiculaire à la contrainte principale de compression est vérifiée pour chaque élément fini (et pas seulement pour les nœuds du modèle Bielle et tirant).

Béton – Service

L'analyse de service comporte certaines simplifications des modèles constitutifs utilisés pour l'analyse de résistance. La branche plastique de la courbe contrainte-déformation du béton en compression est ignorée, tandis que la branche élastique est linéaire et illimitée. La loi d'adoucissement en compression n'est pas considérée. Ces simplifications améliorent la stabilité numérique et la vitesse de calcul, et ne réduisent pas la généralité de la solution tant que les limites de contrainte résultantes des matériaux à l'état de service restent nettement inférieures à leurs limites d'élasticité (conformément à l'approche de l'état limite de service de l'AASHTO LRFD). Par conséquent, les modèles simplifiés utilisés pour le service ne sont valables que si toutes les exigences de vérification sont satisfaites.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Effets à long terme

La loi constitutive à long terme (la courbe rouge de la Fig. 59) est utilisée pour le calcul de l'ouverture des fissures, de la flèche totale et de la limitation des contraintes des éléments précontraints lorsque l'effet à long terme est sélectionné dans le ruban supérieur. Dans l'application IDEA StatiCa Detail, le module d'élasticité effectif est utilisé pour la vérification des effets à long terme, comme mentionné dans l'AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

où :
E_c est le module d'élasticité défini à l'article 5.4.2.4 de l'AASHTO LRFD (2024)
ψ est le coefficient de fluage défini à l'article 5.4.2.3.2 de l'AASHTO LRFD (2024)

Les coefficients de fluage sont définis par l'utilisateur dans les propriétés du matériau.

Effets à court terme

Pour effectuer les vérifications à court terme, un autre calcul est réalisé dans lequel toutes les charges sont calculées sans le coefficient de fluage. Les deux calculs, pour les vérifications à long terme et à court terme, sont représentés à la Fig. 59.

Ferraillage

Un diagramme contrainte-déformation parfaitement élasto-plastique avec une limite d'élasticité définie est considéré pour le ferraillage non précontraint, voir l'article 5.4.3 de l'AASHTO LRFD (2024). La définition de ce diagramme nécessite uniquement de connaître les propriétés de base du ferraillage : la résistance et le module d'élasticité.

Le diagramme contrainte-déformation du ferraillage peut également être défini par l'utilisateur, mais dans ce cas, il est impossible de prendre en compte l'effet de raidissement en traction (il est impossible de calculer l'ouverture des fissures). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

où :

Φ_s est le facteur de résistance du ferraillage. La valeur par défaut est définie selon l'article 5.5.4.2 de l'AASHTO LRFD (2024).

f_y est la limite d'élasticité du ferraillage

E_s est le module d'élasticité du ferraillage

Une valeur de 10 % est retenue comme déformation limite à laquelle le calcul est arrêté. Cette valeur est considérée comme sûre d'après l'article 7 de l'ASTM A955/A955M-20c.

Le raidissement en traction (Fig. 61)  est pris en compte automatiquement en modifiant la relation contrainte-déformation d'entrée de l'armature nue afin de représenter la raideur moyenne des barres noyées dans le béton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

La Méthode du Champ de Contraintes Compatible est conforme aux normes de calcul modernes. Comme les modèles de calcul n'utilisent que les propriétés standard des matériaux, le format des coefficients partiels de sécurité prescrit par les normes de calcul peut être appliqué sans aucune adaptation. De cette manière, les charges d'entrée sont pondérées et les propriétés caractéristiques des matériaux sont réduites à l'aide des coefficients de résistance correspondants, exactement comme dans l'analyse conventionnelle du béton.

Les valeurs des coefficients de résistance sont prescrites dans l'article 5.5.4 de l'AASHTO LRFD (2024). Les valeurs par défaut pour le béton et le ferraillage sont choisies de manière conservatrice, en partant du principe que l'exemple type traité est une région D, cas typique pour la méthode SaT. Il est toutefois possible de modéliser n'importe quel type d'élément. Par conséquent, si un élément contrôlé en compression ou en traction est vérifié, l'utilisateur a la possibilité de modifier la valeur du coefficient de réduction de résistance dans les Préférences.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Les coefficients de charge et les combinaisons de charges doivent être définis conformément aux AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), article 3.4.1 et tableaux 3.4.1-1 à 3.4.1-6. L'AASHTO LRFD spécifie explicitement les combinaisons de charges à l'état limite de résistance (Strength I à Strength V) ainsi que les combinaisons de charges au niveau de service (Service I à Service IV), y compris les coefficients de charge correspondants pour chaque cas.

Pour chaque modèle, le programme inclut des combinaisons de base prédéfinies qui doivent être complétées en fonction de l'élément traité.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Les différentes vérifications exigées par l'AASHTO sont évaluées à partir des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications portent sur la résistance du béton, la résistance du ferraillage et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).

La résistance du béton en compression est évaluée comme le rapport entre la contrainte principale de compression maximale f_c (également σ₂ dans les résultats auxiliaires) obtenue par l'analyse EF et la valeur limite f'_c,lim.

La résistance du ferraillage est évaluée en traction et en compression comme le rapport entre la contrainte dans le ferraillage au droit des fissures f_s et la valeur limite spécifiée f_y,lim.

La contrainte de cisaillement d'adhérence est évaluée indépendamment comme le rapport entre la contrainte d'adhérence τ_b calculée par l'analyse EF et la résistance d'adhérence f_bu.

Cependant, comme la résistance d'adhérence n'est pas définie explicitement dans l'AASHTO, sa valeur doit être déterminée à l'aide des équations qui définissent la longueur de développement. La résistance d'adhérence est en effet la donnée d'entrée principale pour déterminer la longueur de développement ; voir par exemple l'article AASHTO LRFD (2024) Article C5.10.8.2 ou le NCHRP Report 733, Attachment E, page E-9.

Le calcul décrit dans AASHTO LRFD (2024) Article 5.10.8.2.1 et 5.10.8.2.2 nécessite de connaître l'espacement maximal entre axes du ferraillage transversal sur l_d, le nombre de barres ou de fils développés le long du plan de fendage, l'aire totale de la section de tout le ferraillage transversal, ainsi que d'autres grandeurs géométriques qui ne peuvent pas être déterminées de manière fiable dans le modèle de l'application Detail pour une saisie générale. Une approche tirée de AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 a donc été adoptée de la manière suivante :

Supposons que, si l'on ancre une barre de ferraillage dans un bloc de béton sur une longueur de développement l_d ou plus, l'arrachement de la barre conduit à la rupture du ferraillage et non à son arrachement du béton. Cela peut s'écrire avec la formule suivante.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

où :

• d_b est le diamètre de la barre de ferraillage
• l_d est la longueur de développement
• f_bu est la résistance d'adhérence
• f_y est la limite d'élasticité du ferraillage
• A_b est l'aire de la barre de ferraillage

De ce qui précède, la formule de calcul de la résistance d'adhérence peut être facilement déduite.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

La longueur de développement de base en traction l_db est déterminée dans AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 comme suit :

Pour les barres No. 11 et plus petites :   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Pour les barres No. 14 :   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Pour les barres No. 18 :   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

où :

• A_b est l'aire de la barre de ferraillage (in²)
• f_y est la limite d'élasticité spécifiée du ferraillage (ksi)
• f'_c est la résistance en compression spécifiée du béton à 28 jours, sauf si un autre âge est spécifié (ksi)
• d_b est le diamètre de la barre de ferraillage (in)

Ensuite, en multipliant la longueur de développement de base l_db par les facteurs décrits dans AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.2 et 5.11.2.1.3, on détermine la longueur de développement l_d utilisée comme donnée d'entrée.

Les facteurs de modification qui réduisent la longueur de développement selon 5.11.2.1.3 sont toujours égaux à 1,0 dans l'application. Le facteur de modification pour le ferraillage horizontal ou quasi horizontal en partie supérieure est égal à 1,4 pour des conditions d'adhérence « médiocres », conformément à la figure suivante :

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

Le sens de bétonnage peut être défini dans l'application.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}$$

Tous les autres facteurs déterminés dans 5.11.2.1.2 sont égaux à 1,0, car seuls le béton de masse volumique normale et le ferraillage non revêtu sont pris en charge.

La contrainte de cisaillement d'adhérence et la résistance d'adhérence des barres en compression sont calculées de manière analogue à celles des barres en traction, mais en utilisant les équations de AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.2.

Il est également possible de modéliser des barres lisses. Pour plus d'informations, voir : Barres lisses dans Detail

Effort total F_tot et effort limite F_lim

L'effort total F_tot est un résultat de l'analyse par éléments finis et peut être défini de deux manières.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

où A_b est l'aire de la barre de ferraillage et f_s est la contrainte dans la barre.

Ou comme la somme de l' effort d'ancrage F_a et de l' effort d'adhérence F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

où F_a est l'effort réel dans le ressort d'ancrage et F_bond est l'effort d'adhérence, qui peut être obtenu en intégrant la contrainte d'adhérence τ_b sur la longueur l de la barre de ferraillage.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s est le périmètre de la barre de ferraillage.

L'effort limite F_lim est l'effort maximal dans l'élément de la barre de ferraillage, compte tenu de la résistance de la barre ainsi que des conditions d'ancrage (adhérence entre le béton et le ferraillage, crochets d'ancrage, boucles, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

où C_s est le périmètre de la barre de ferraillage et l est la longueur entre le début de la barre et le point considéré.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

où F_lim,add est l'effort additionnel calculé à partir de l'angle entre éléments voisins. F_lim,2 doit toujours rester inférieur à F_u.

Les types d'ancrage disponibles dans CSFM comprennent la barre droite (c'est-à-dire sans réduction de l'extrémité d'ancrage), le crochet à 90 degrés, le crochet à 180 degrés, l'adhérence parfaite et la barre continue. Tous ces types, ainsi que les coefficients d'ancrage β correspondants, sont présentés à la Fig. 67 pour le ferraillage longitudinal. Les valeurs des coefficients d'ancrage adoptés sont déduites de la comparaison de l'équation de la section AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1 avec les équations de la section AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1. Il convient de noter que, malgré les différentes options disponibles, CSFM distingue trois types d'extrémités d'ancrage : (i) aucune réduction de la longueur d'ancrage, (ii) une réduction de 30 % de la longueur d'ancrage dans le cas d'un ancrage normalisé, et (iii) l'adhérence parfaite.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Le coefficient d'ancrage pour les étriers (disponible pour les éléments de type poutre) est toujours β = 1,0.

Pour respecter l'AASHTO, le ressort d'ancrage doit être utilisé dans le calcul. Le ressort d'ancrage est modifié par le coefficient β ; l'utilisateur doit donc choisir l'un des types d'ancrage disponibles lors de la définition des conditions de début et de fin du ferraillage. 

Lors de la conception des structures en béton, on rencontre deux grands groupes de zones partiellement chargées (PLA) : le premier comprend les appuis, tandis que le second est constitué des zones d'ancrage. 

Selon les normes actuellement en vigueur pour le calcul des structures en béton armé, l'écrasement local du béton et les efforts de traction transversaux doivent être pris en compte pour les appuis. Pour une charge uniformément répartie sur une surface A₁, la résistance en compression du béton peut être majorée jusqu'à deux fois, en fonction de la surface de répartition de calcul A₂. Voir l'article 5.6.5 de l'AASHTO LRFD (2024).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Partially loaded areas for bearings according to AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5}}}$$

Pour les zones d'ancrage en post-tension, il convient de suivre l'article 5.8.4.4 de l'AASHTO LRFD (2024).

La zone partiellement chargée doit être suffisamment renforcée par un ferraillage transversal dimensionné pour transmettre les efforts de fendage qui apparaissent dans cette zone. Sans le ferraillage transversal requis, il n'est pas possible de considérer une augmentation de la résistance en compression du béton.

Zones partiellement chargées dans la CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 69\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Avec la CSFM, il est possible de dimensionner et de vérifier des structures en béton armé en tenant compte de l'influence de l'augmentation de la résistance en compression du béton dans les zones partiellement chargées. La CSFM étant un modèle de type voile (2D) et les zones partiellement chargées relevant d'un problème spatial (3D), il a fallu trouver une solution combinant ces deux types de problèmes différents (Fig. 69). Si la fonction « zones partiellement chargées » est activée, la géométrie du cône admissible est créée selon l'ACI (Fig. 68). Toutes les collisions géométriques sont résolues entièrement en 3D pour la géométrie spécifiée de l'élément en béton et les dimensions de chaque PLA. Ensuite, un modèle de calcul de la zone partiellement chargée est créé.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 70\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

La modification du modèle de matériau s'est avérée être une approche inadaptée, principalement parce que le report des propriétés sur le maillage éléments finis pose problème. Il a été établi qu'une approche indépendante du maillage éléments finis constitue une solution plus appropriée. Des bielles fictives parfaitement cohérentes sont créées pour la géométrie connue du cône de compression (Fig. 70 et Fig. 71). Ces bielles ont des propriétés matérielles identiques à celles du béton utilisé dans le modèle, y compris le diagramme contrainte-déformation. La forme du cône détermine la direction des bielles, qui répartissent progressivement la charge de la PLA vers la surface de répartition de calcul. La densité surfacique des bielles fictives varie en chaque point du cône et ajoute une surface de béton fictive dans la direction de la charge. Au niveau de la surface chargée (A₁), une surface de béton fictive est ajoutée selon le rapport $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} - A_{real}$  (où A_real est la surface de l'appui supposée dans le modèle de calcul 2D), et cette surface diminue linéairement jusqu'à zéro en direction de la surface de répartition de calcul (A₂). Cette solution garantit que la contrainte de compression dans le béton est constante sur tout le volume du cône.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{2}}{A_{1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 71\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

La résistance de la zone partiellement chargée est majorée selon le rapport entre la surface de répartition de calcul et la surface chargée, défini à l'article 5.6.5 de l'AASHTO LRFD (2024).  Il convient de garder à l'esprit qu'il s'agit d'un modèle de calcul qui ne peut pas décrire précisément l'état de contrainte dans une zone partiellement chargée, dont l'écoulement réel est beaucoup plus complexe. Toutefois, cette solution permet une répartition correcte de la charge sur l'ensemble du modèle tout en respectant la capacité portante accrue de la zone partiellement chargée. De plus, elle introduit correctement les contraintes transversales dans cette zone afin de dimensionner correctement le ferraillage vis-à-vis des efforts de fendage.

La contrainte d'appui admissible de 0,85f_c' est indiquée à l'article 5.8.4.4 de l'AASHTO LRFD (2024). La densité est limitée de sorte que la résistance maximale doublée, donnée par la formule 5.6.5-3, ne soit pas dépassée.  

Pour les zones d'ancrage, la PLA est utilisée dans l'application de la même manière que pour les appuis. C'est pourquoi les contraintes de compression dans les zones locales et globales définies aux articles 5.8.4.4 et 5.8.4.5 doivent être vérifiées manuellement. La PLA est donc uniquement utilisée pour éviter de dépasser le critère de déformation dans la zone locale et d'interrompre ainsi prématurément le calcul. En revanche, le ferraillage résistant aux contraintes d'éclatement, d'écaillage dans le plan et de traction de rive dans les zones générales (définies à l'article 5.8.4.5) peut être vérifié directement et avantageusement dans l'application.

Les vérifications à l'état limite de service sont effectuées pour la limitation des contraintes, l'ouverture des fissures et les limites de flèche. Les contraintes sont vérifiées dans le béton et dans les éléments de ferraillage selon l'AASHTO LRFD, de manière similaire à celle prescrite pour la résistance.

Limitation des contraintes

La contrainte de compression dans le béton est évaluée uniquement pour les éléments précontraints (lorsque le cas de charge de précontrainte est présent dans le modèle), sous la forme du rapport entre la contrainte principale de compression maximale f_c = σ_c2 obtenue par l'analyse par éléments finis à l'état de service et les valeurs limites, définies d'après le Tableau 5.9.2.3.2a-1 de l'AASHTO LRFD.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 72\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

Dans l'application, Précontrainte plus charge permanente est traitée comme une charge soutenue (Sustain), et Précontrainte, charge permanente et charge transitoire comme une charge totale (Total).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 73\qquad Serviceability combination types}}}$$

De plus, il est toujours possible d'effectuer une analyse pour les effets à court terme comme à long terme, en utilisant des modèles de matériaux qui tiennent compte ou non du coefficient de fluage — voir la section « Modèles de matériaux (AASHTO) ».

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 74\qquad Serviceability material models}}}$$

Flèche