Proiectarea și verificarea elementelor din beton se realizează în mod obișnuit la nivel de secțiune (element 1D) sau punctual (element 2D). Această procedură este descrisă în toate standardele de proiectare structurală, de exemplu în (EN 1992-1-1 sau ACI 318-19) și este utilizată în practica curentă a ingineriei structurale. Totuși, nu se cunoaște sau nu se respectă întotdeauna faptul că procedura este acceptabilă numai în zonele în care se aplică ipoteza Bernoulli-Navier a distribuției plane a deformațiilor (denumite zone B). Locurile în care această ipoteză nu se aplică se numesc zone de discontinuitate sau zone perturbate (zone D). Exemple de zone B și D pentru elementele 1D sunt prezentate în (Fig. 1). Acestea sunt, de exemplu, zonele de reazem, zonele în care se aplică forțe concentrate, locurile în care apare o schimbare bruscă a secțiunii transversale, golurile etc. La proiectarea structurilor din beton întâlnim numeroase alte zone D, cum ar fi pereții, diafragmele de pod, consolele etc. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}$$

În trecut, pentru dimensionarea zonelor de discontinuitate se utilizau reguli de proiectare semiempirice. Din fericire, aceste reguli au fost în mare parte înlocuite în ultimele decenii de modelele bielă-tiranți (Schlaich et al., 1987) și de câmpurile de tensiuni (Marti 1985), care sunt incluse în codurile de proiectare actuale și sunt utilizate frecvent de proiectanți în prezent. Aceste modele sunt instrumente puternice și coerente din punct de vedere mecanic. De reținut că, în general, câmpurile de tensiuni pot fi continue sau discontinue, iar modelele bielă-tiranți reprezintă un caz particular de câmpuri de tensiuni discontinue.

În ciuda evoluției instrumentelor de calcul în ultimele decenii, modelele bielă-tiranți sunt în continuare utilizate, în esență, ca metode de calcul manual. Aplicarea lor la structurile reale este anevoioasă și consumă mult timp, deoarece sunt necesare iterații și trebuie luate în considerare mai multe cazuri de încărcare. În plus, această metodă nu este adecvată pentru verificarea criteriilor de exploatare (deformații, deschiderea fisurilor etc.).

Interesul inginerilor structuriști pentru un instrument fiabil și rapid de proiectare a zonelor D a condus la decizia de a dezvolta noua Metodă a Câmpului de Tensiuni Compatibil, o metodă de proiectare asistată de calculator bazată pe câmpuri de tensiuni, care permite proiectarea și verificarea automată a elementelor structurale din beton solicitate în plan.

Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil (CSFM) este o metodă de analiză a câmpurilor de tensiuni continue, bazată pe EF, în care soluțiile clasice ale câmpurilor de tensiuni sunt completate cu considerații cinematice, adică starea de deformație este evaluată în întreaga structură. Astfel, rezistența efectivă la compresiune a betonului poate fi calculată automat pe baza stării de deformație transversală, într-un mod similar analizelor câmpului de compresiune care iau în considerare rezistența redusă a betonului comprimat  (Vecchio și Collins 1986; Kaufmann și Marti 1998) și metodei EPSF (Fernández Ruiz și Muttoni 2007). În plus, CSFM ia în considerare participarea betonului întins, oferind elementelor rigidități realiste, și acoperă toate prevederile codurilor de proiectare (inclusiv aspectele privind exploatarea și capacitatea de deformare) care nu au fost abordate în mod consecvent de metodele anterioare. CSFM utilizează legile constitutive uniaxiale uzuale furnizate de standardele de proiectare pentru beton și armătură. Acestea sunt cunoscute în etapa de proiectare, ceea ce permite utilizarea metodei coeficienților parțiali de siguranță. Astfel, proiectanții nu trebuie să introducă proprietăți suplimentare ale materialelor, adesea arbitrare, așa cum sunt necesare de obicei în analizele EF neliniare, ceea ce face metoda perfect adecvată pentru practica inginerească.

Pentru a încuraja utilizarea câmpurilor de tensiuni asistate de calculator de către inginerii structuriști, aceste metode trebuie implementate în medii software ușor de utilizat. În acest scop, CSFM a fost implementată în IDEA StatiCa Detail; un nou software comercial ușor de utilizat, dezvoltat în comun de ETH Zurich și compania de software IDEA StatiCa în cadrul proiectului DR-Design Eurostars-10571.

CSFM consideră tensiunea principală maximă din beton în compresiune (σ_c2r) și tensiunile din armătură (σ_sr) în dreptul fisurilor, neglijând rezistența la întindere a betonului (σ_c1r = 0), cu excepția participării betonului întins la comportarea armăturii. Luarea în considerare a participării betonului întins permite simularea deformațiilor medii ale armăturii (ε_m). Se consideră fisuri fictive, rotative, fără tensiuni, care se deschid fără alunecare (Fig. 2a), iar echilibrul în dreptul fisurilor este luat în considerare împreună cu deformațiile medii ale armăturii. 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}$

În ciuda simplității lor, s-a demonstrat că ipoteze similare conduc la predicții precise pentru elementele din beton armat solicitate în planul lor (Kaufmann 1998; Kaufmann și Marti 1998), dacă armătura prevăzută evită cedările fragile la fisurare. În plus, neluarea în considerare a oricărei contribuții a rezistenței la întindere a betonului la încărcarea ultimă este în concordanță cu principiile codurilor moderne de proiectare, care se bazează în mare parte pe teoria plasticității.

Cu toate acestea, CSFM nu este adecvată pentru elementele zvelte fără armătură transversală, deoarece mecanisme relevante pentru astfel de elemente, precum angrenarea agregatelor, tensiunile reziduale de întindere de la vârful fisurii și efectul de dorn – toate bazându-se direct sau indirect pe rezistența la întindere a betonului – sunt ignorate. Deși unele standarde de proiectare permit dimensionarea unor astfel de elemente pe baza unor prevederi semi-empirice, CSFM nu este destinată acestui tip de structură cu potențial de cedare fragilă.

Beton

Modelul de beton implementat în CSFM se bazează pe legile constitutive uniaxiale în compresiune prescrise de codurile de proiectare pentru dimensionarea secțiunilor transversale, care depind doar de rezistența la compresiune. Diagrama parabolă-dreptunghi (Fig. 2c) este utilizată implicit în CSFM, dar utilizatorii pot alege și o relație elastic-plastic ideală, mai simplificată. La verificarea conform codului ACI, se poate utiliza numai diagrama efort-deformație de tip parabolă-dreptunghi. După cum s-a menționat anterior, rezistența la întindere este neglijată, ca în proiectarea clasică a betonului armat.

Rezistența efectivă la compresiune este evaluată automat pentru betonul fisurat pe baza deformației principale de întindere (ε₁) prin intermediul factorului de reducere k_c2, așa cum se arată în Fig. 2c și e. Relația de reducere implementată (Fig. 2e) este o generalizare a propunerii din fib Model Code 2010 pentru verificările la forfecare, care conține o valoare limită de 0,65 pentru raportul maxim dintre rezistența efectivă a betonului și rezistența la compresiune a betonului, valoare care nu este aplicabilă altor cazuri de încărcare.

CSFM din IDEA StatiCa Detail nu consideră un criteriu explicit de cedare în termeni de deformații pentru betonul în compresiune (adică considera o ramură plastică infinită după atingerea tensiunii maxime). Această simplificare nu permite verificarea capacității de deformare a structurilor care cedează prin compresiune. Cu toate acestea, capacitatea lor ultimă este prognozată corect atunci când, pe lângă factorul pentru betonul fisurat (k_c2) definit în (Fig. 2e), se ia în considerare și creșterea fragilității betonului odată cu creșterea rezistenței sale, prin intermediul factorului de reducere $\eta_{fc}$ definit în fib Model Code 2010 astfel:

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

unde:

k_c este factorul global de reducere a rezistenței la compresiune

k_c2 este factorul de reducere datorat prezenței fisurilor transversale

f_c este rezistența caracteristică a betonului determinată pe cilindru (în MPa pentru definirea lui $\eta_{fc}$).

Există, de asemenea, o reducere a factorului k_c2 din motive de stabilitate a calculului. Această reducere nu influențează rezistența totală a elementelor. Considerând valoarea f_cd ca rezistență redusă a betonului (valoare de calcul), valoarea k_c2 este redusă conform următoarelor reguli.

σ_c2r < 0.11f_cd                                           k_c2=1.0
0.11f_cd < σ_c2r < 0.37f_cd                          k_c2 reprezintă o interpolare liniară între 1,0 și valoarea preluată din
                                                              graficul prezentat în Fig. 2f
σ_c2r > 0.37f_cd                                            k_c2 se preia direct din graficul din Fig. 2f

Armătură

Se consideră diagrama efort-deformație bilineară idealizată pentru barele de armătură neîmbetonate, definită de obicei în codurile de proiectare (Fig. 2d). Definirea acestei diagrame necesită cunoașterea, în faza de proiectare, doar a proprietăților de bază ale armăturii (rezistență și clasă de ductilitate). Poate fi definită și o relație efort-deformație stabilită de utilizator.

Participarea betonului întins este luată în considerare prin modificarea relației efort-deformație de intrare a barei de armătură neîmbetonate,pentru a surprinde rigiditatea medie a barelor înglobate în beton (ε_m).

Modelul de aderență

Alunecarea prin aderență dintre armătură și beton este introdusă în modelul cu elemente finite prin considerarea relației constitutive simplificate de tip rigid-perfect plastic prezentate în Fig. 2f, în care f_bd reprezintă valoarea de calcul (valoarea redusă) a tensiunii ultime de aderență specificate de codul de proiectare pentru condițiile specifice de aderență.

Acesta este un model simplificat, având ca unic scop verificarea prevederilor privind aderența conform codurilor de proiectare (de exemplu, ancorarea armăturii). Reducerea lungimii de ancoraj în cazul utilizării cârligelor, buclelor și a formelor similare de bare poate fi luată în considerare prin definirea unei anumite capacități la capătul armăturii, după cum va fi descris în continuare. 

Flux de lucru și obiective

Scopul instrumentelor de proiectare a armăturii în CSFM este de a ajuta proiectanții să determine eficient poziția și cantitatea necesară de bare de armătură. Pentru a ghida utilizatorul în acest proces, sunt disponibile următoarele instrumente: calculul liniar și optimizarea topologică.

Instrumentele de proiectare a armăturii utilizează modele constitutive mai simplificate decât cele folosite pentru verificarea finală a structurii. Prin urmare, definirea armăturii în această etapă trebuie considerată o predimensionare, care urmează să fie confirmată sau detaliată în etapa de verificare finală. Utilizarea diferitelor instrumente de proiectare a armăturii este ilustrată pe modelul din Fig. 3, care reprezintă un capăt al unei grinzi simplu rezemate, cu înălțime variabilă, încărcată cu o sarcină uniform distribuită.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}$$

Analiza liniară

Analiza liniară utilizează proprietăți liniar-elastice ale materialului și neglijează armătura din zona de beton. Prin urmare, este un calcul foarte rapid, care oferă o primă imagine asupra poziției zonelor întinse și comprimate. Un exemplu de astfel de calcul este prezentat în Fig. 4.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

Optimizarea topologică

Optimizarea topologică este o metodă care urmărește găsirea distribuției optime a materialului într-un volum dat, pentru o anumită configurație de încărcări. Optimizarea topologică implementată în Idea StatiCa Detail utilizează un model liniar cu elemente finite. Fiecare element finit poate avea o densitate relativă de la 0 la 100 %, care reprezintă cantitatea relativă de material utilizat. Aceste densități ale elementelor sunt parametrii de optimizare din problema de optimizare. Distribuția rezultată a materialului este considerată optimă pentru setul dat de încărcări dacă minimizează energia totală de deformație a sistemului. Prin definiție, distribuția optimă este și geometria care are cea mai mare rigiditate posibilă pentru încărcările date.

Procesul iterativ de optimizare pornește de la o distribuție omogenă a densității. Calculul se efectuează pentru mai multe fracții de volum total (20 %, 40 %, 60 % și 80 %), ceea ce permite utilizatorului să aleagă cel mai practic rezultat. Forma rezultată este alcătuită din zăbrele cu biele și tiranți și reprezintă forma optimă pentru cazurile de încărcare date (Fig. 5).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

CSFM consideră câmpuri continue de tensiuni în beton (elemente finite 2D), completate de elemente discrete de tip „bară” care reprezintă armătura (elemente finite 1D). Prin urmare, armătura nu este înglobată difuz în elementele finite 2D ale betonului, ci este modelată explicit și conectată la acestea. În modelul de calcul se consideră o stare plană de tensiuni.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Pot fi modelați atât pereți întregi și grinzi, cât și detalii (părți) de grinzi (zonă de discontinuitate izolată, numită și capăt decupat). În cazul pereților și al grinzilor întregi, reazemele trebuie definite astfel încât să rezulte o structură (exterior) izostatică (static determinată) sau hiperstatică (static nedeterminată). Transferul încărcării la capetele decupate ale grinzilor se introduce prin intermediul unei zone speciale de transfer Saint-Venant, care asigură o distribuție realistă a tensiunilor în zona de detaliu analizată.

Pentru a modela majoritatea situațiilor din timpul procesului de construcție, în CSFM sunt disponibile numeroase tipuri de reazeme (Fig. 7) și de componente utilizate pentru transferul încărcărilor (Fig. 8).

Reazeme

Reazemul punctual poate fi modelat în mai multe moduri, astfel încât tensiunile să nu fie localizate într-un singur punct, ci distribuite pe o suprafață mai mare. Prima opțiune este reazemul punctual distribuit (Fig. 7a), care distribuie uniform încărcarea de pe marginea elementului pe lățimea specificată.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Various types of supports:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}$$

Reazemul tip patch (Fig. 7d), pe de altă parte, poate fi plasat numai în interiorul unui volum de beton, cu o rază efectivă definită. Acesta este apoi conectat prin elemente rigide la nodurile plasei de armătură din interiorul acestei raze. Prin urmare, este necesar să se definească o carcasă de armare în jurul reazemului tip patch.

Pentru modelarea mai precisă a unor scenarii reale, există alte două opțiuni pentru reazemul punctual. În primul rând, există reazemul punctual cu placă de reazem, cu lățime și grosime definite (Fig. 7b). Materialul plăcii de reazem poate fi specificat, iar întreaga placă de reazem este discretizată independent. În al doilea rând, este disponibil reazemul suspendat (Fig. 7e), care poate fi utilizat pentru modelarea ancorelor de ridicare sau a dornurilor de ridicare.

Reazemul liniar (Fig. 7c) poate fi definit pe o margine (prin specificarea lungimii sale) sau în interiorul unui element (printr-o polilinie). De asemenea, este posibil să se specifice rigiditatea și/sau comportamentul neliniar al acestuia (reazem la compresiune/întindere sau numai la compresiune).

• Citiți descrieri detaliate în Tipuri de reazeme în IDEA StatiCa Detail

Componente de transmitere a încărcărilor

Introducerea încărcărilor în structură poate fi, de asemenea, modelată în mai multe moduri. Pentru încărcările punctuale, se poate utiliza o placă de reazem (Fig. 8a), în mod similar reazemului punctual, care distribuie încărcarea concentrată pe o suprafață mai mare datorită unei plăci de oțel cu lățime și grosime definite. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Various types of load transfer components:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}$$

Încărcarea punctuală poate fi aplicată fie direct pe suprafața structurii, cu o rază de acțiune definită (încărcarea este aplicată elementelor de beton), fie printr-un dispozitiv special de transmitere numit încărcare tip patch (Fig. 8b și Fig. 9). Încărcarea tip patch permite transmiterea încărcării direct către armătura definită, situată în interiorul razei efective. Pentru a asigura funcționarea corectă a încărcării tip patch, este necesar să se definească (în proprietățile armăturii) un grup de bare de armătură care vor fi interconectate cu încărcarea. Atunci când armătura interconectată nu este definită, mecanismul de transfer al încărcării este același ca în cazul încărcării punctuale plasate pe suprafața unui element, iar încărcarea este transferată prin constrângeri către elementele de beton, nu direct către armătură. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars (a group of bars for the load transfer is defined);}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) load transferred through concrete (a group of bars for the load transfer is not defined).}}}$$

Ancorele de ridicare sau dornurile de ridicare pot fi modelate printr-o încărcare suspendată (Fig. 8c). Utilizatorul poate folosi o suprafață încărcată parțial (Fig. 8d), care permite creșterea capacității portante a betonului la compresiune conform Eurocode (nu este posibil să se utilizeze acest tip de componentă de transmitere a încărcării atunci când este setat ACI). Structura poate fi încărcată, de asemenea, cu încărcări liniare pe margini, prin polilinie generală sau prin încărcări de suprafață. Aplicația Detail poate lua în considerare automat greutatea proprie în analiză.

În multe cazuri, este necesar să modelăm doar un detaliu (o porțiune) dintr-un element structural, cum ar fi reazemul unei grinzi, un gol în mijlocul grinzii etc. Această abordare poate conduce la configurații de rezemare instabile, dar admisibile în IDEA StatiCa Detail (inclusiv cazul fără reazeme). În astfel de situații, este însă necesar să modelăm și secțiunea care reprezintă legătura cu zona B adiacentă, inclusiv eforturile secționale din această secțiune care satisfac echilibrul. În anumite cazuri (de exemplu, la modelarea reazemului unei grinzi), aceste eforturi secționale pot fi determinate automat de program.

Între zona B și zona de discontinuitate analizată se creează automat o zonă de transfer Saint-Venant, pentru a asigura o distribuție realistă a tensiunilor în zona analizată. Lățimea zonei de transfer se determină ca jumătate din înălțimea secțiunii. Deoarece unicul scop al zonei Saint-Venant este obținerea unei distribuții corecte a tensiunilor în restul modelului, rezultatele din această zonă nu sunt afișate în verificare, iar aici nu se iau în considerare criterii de oprire.

Marginea zonei Saint-Venant care reprezintă capătul tăiat al grinzii este modelată ca rigidă, adică poate rota, dar trebuie să rămână plană. Aceasta se realizează prin conectarea tuturor nodurilor MEF de pe margine la un nod separat, situat în centrul de inerție al secțiunii, folosind un element rigid (RBE2). Eforturile secționale ale elementului pot fi apoi aplicate în acest nod, așa cum se arată în Fig. 10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}$$

Reducerea secțiunii transversale se efectuează automat pentru structurile definite ca grindă sau nod de cadru (definite prin axa x și o secțiune transversală). Această modificare se aplică automat secțiunilor transversale cu tălpi foarte late (Fig. 11) și se bazează pe ipoteza că un câmp de tensiuni de compresiune s-ar extinde de la perete sub un unghi de 45°, astfel încât lățimea redusă menționată ar fi lățimea maximă capabilă să transfere încărcările

Rețineți că metoda de determinare a lățimii efective a tălpii implementată în CSFM diferă de cea indicată în 5.3.2.1 din EN 1992-1-1 (2015) sau în 9.2.4.4 din ACI 318-19. Pe lângă geometrie, lățimea efectivă a tălpii conform Eurocode este influențată în mod explicit de lungimile deschiderilor și de condițiile de margine ale structurii.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}$$

În cazul vutelor situate în plan orizontal (Fig. 12), fiecare vută este împărțită în cinci secțiuni pe lungimea sa. Fiecare dintre aceste secțiuni este apoi modelată ca un perete cu grosime constantă, egală cu grosimea reală la mijlocul secțiunii respective.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}$$

Modelul de analiză neliniară (inelastică) cu elemente finite este creat din mai multe tipuri de elemente finite, utilizate pentru modelarea betonului, a armăturii și a aderenței dintre ele. Elementele de beton și de armătură sunt mai întâi discretizate independent, apoi sunt conectate între ele prin constrângeri multi-punct (elemente MPC). Astfel, armătura poate ocupa o poziție relativă arbitrară față de beton. Dacă se calculează verificarea lungimii de ancoraj, între armătură și elementele MPC se introduc elemente de aderență și elemente arc de capăt de ancoraj.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Beton

Betonul este modelat cu elemente de tip placă patrulatere și triunghiulare, CQUAD4 și CTRIA3. Acestea pot fi definite prin patru, respectiv trei noduri. În aceste elemente se presupune că există doar starea plană de tensiune, adică tensiunile sau deformațiile pe direcția z nu sunt luate în considerare.

Fiecare element are patru sau trei puncte de integrare, plasate aproximativ la 1/4 din dimensiunea sa. În fiecare punct de integrare al fiecărui element se calculează direcțiile deformațiilor principale α₁, α₂. Pe ambele direcții se evaluează tensiunile principale σ_c1, σ_c2 și rigiditățile E₁, E₂, conform diagramei efort-deformație a betonului specificate, ca în Fig. 2. Trebuie remarcat că efectul rezistenței reduse a betonului comprimat cuplează comportamentul direcției principale comprimate cu starea reală de pe cealaltă direcție principală.

Armătură

Barele de armătură sunt modelate prin elemente 1D de tip „bară” (CROD) cu două noduri, care au doar rigiditate axială. Aceste elemente sunt conectate la elemente speciale de „aderență”, dezvoltate pentru a modela comportamentul de alunecare dintre o bară de armătură și betonul înconjurător. Aceste elemente de aderență sunt apoi conectate, prin elemente MPC (constrângeri multi-punct), la plasa de elemente finite care reprezintă betonul. Această abordare permite discretizarea independentă a armăturii și a betonului, iar legătura dintre ele este asigurată ulterior.

Elemente de aderență

Lungimea de ancoraj este verificată prin introducerea tensiunilor tangențiale de aderență dintre elementele de beton (2D) și elementele barelor de armătură (1D) în modelul cu elemente finite. În acest scop, a fost dezvoltat un tip de element finit de „aderență”.

Definiția elementului de aderență este similară cu cea a unui element de tip placă (CQUAD4). Acesta este definit tot prin 4 noduri, dar, spre deosebire de placă, are rigiditate nenulă la forfecare doar între cele două noduri superioare și cele două noduri inferioare. În model, nodurile superioare sunt conectate la elementele care reprezintă armătura, iar cele inferioare la elementele care reprezintă betonul. Comportamentul acestui element este descris prin tensiunea de aderență, τ_b, ca funcție biliniară de alunecarea dintre nodurile superioare și cele inferioare, δ_u, vezi Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

Modulul de rigiditate elastică al relației aderență-alunecare, G_b, este definit astfel:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

unde:

k_g            coeficient care depinde de suprafața barei de armătură (implicit k_g = 0,2)

E_c            modulul de elasticitate al betonului (se consideră E_cm în cazul EN)

Ø             diametrul barei de armătură

Pentru verificarea lungimii de ancoraj se utilizează valorile de calcul (valorile factorizate) ale tensiunii tangențiale ultime de aderență, f_bd, furnizate de normele de calcul selectate, EN 1992-1-1 sau ACI 318-19. Consolidarea ramurii plastice este calculată implicit ca G_b/10⁵.

Arc de ancoraj

Prevederea unor capete de ancoraj la barele de armătură (adică coturi, cârlige, bucle…), conforme cu prescripțiile normelor de calcul, permite reducerea lungimii de ancoraj de bază a barelor (l_b,net) cu un anumit factor β (denumit în continuare „coeficient de ancoraj”). Valoarea de calcul a lungimii de ancoraj (l_b) se calculează astfel:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

Reducerea intenționată a lui l_b,net este echivalentă cu activarea barei de armătură la capătul ei, la un procent din capacitatea maximă dat de coeficientul de reducere a ancorajului, așa cum se arată în Fig. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

Reducerea lungimii de ancoraj este inclusă în modelul cu elemente finite prin intermediul unui element arc la capătul barei (Fig. 15), definit de modelul constitutiv prezentat în Fig. 15b. Forța maximă transmisă de acest arc (F_au) este:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

unde:

β             coeficientul de ancoraj în funcție de tipul de ancoraj,

A_s            aria secțiunii transversale a barei de armătură,

f_yd           valoarea de calcul (valoarea factorizată) a limitei de curgere a armăturii.

Elementele finite sunt implementate intern, iar modelul de calcul este generat automat, fără a necesita o intervenție avansată din partea utilizatorului. O parte importantă a acestui proces este generarea rețelei de elemente finite.

Beton

Toate elementele din beton sunt discretizate împreună. Aplicația calculează automat dimensiunea recomandată a elementului finit, pe baza dimensiunii și a formei structurii, ținând cont de diametrul celei mai mari bare de armătură. În plus, dimensiunea recomandată a elementului garantează generarea a cel puțin 4 elemente în zonele subțiri ale structurii, cum sunt stâlpii zvelți sau plăcile subțiri, pentru a asigura rezultate fiabile în aceste zone. Numărul maxim de elemente de beton este limitat la 5000, dar această valoare este suficientă pentru a obține dimensiunea recomandată a elementului în cazul majorității structurilor. Proiectantul poate selecta oricând o dimensiune definită de utilizator pentru elementul de beton, modificând multiplicatorul dimensiunii implicite a rețelei.

Armătură

Armătura este împărțită în elemente cu lungimea aproximativ egală cu dimensiunea elementului de beton. După generarea rețelelor de armătură și de beton, acestea sunt interconectate prin elemente de aderență, așa cum se arată în Fig. 13.

Plăci de reazem

Părțile structurale auxiliare, cum sunt plăcile de reazem, sunt discretizate independent. Dimensiunea acestor elemente se calculează ca 2/3 din dimensiunea elementelor de beton din zona de conectare. Nodurile rețelei plăcii de reazem sunt apoi conectate la nodurile de margine ale rețelei de beton prin elemente de constrângere cu interpolare (RBE3).

Încărcări și reazeme

Încărcările pe suprafață și reazemele pe suprafață sunt conectate numai la armătură, așa cum se arată în Fig. 16. Prin urmare, este necesar să se definească armătura în jurul acestora. Conectarea la toate nodurile armăturii din interiorul razei efective este asigurată de elemente RBE3 cu pondere egală.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}$$

Reazemele liniare și încărcările liniare sunt conectate la nodurile rețelei de beton prin elemente RBE3, pe baza lățimii specificate sau a razei efective. Ponderea conexiunilor este invers proporțională cu distanța față de reazem sau față de impulsul de încărcare.

• Citiți mai multe despre interconectarea dintre încărcările individuale și rețeaua de elemente finite în Descriere generală a impulsurilor de încărcare în aplicația Detail

Pentru găsirea soluției unei probleme MEF neliniare se utilizează un algoritm Newton-Raphson (NR) complet standard. 

În general, algoritmul NR nu converge adesea atunci când încărcarea completă este aplicată într-un singur pas. O abordare uzuală, utilizată și aici, este aplicarea încărcării secvențial, în mai multe incremente, și folosirea rezultatului din incrementul de încărcare anterior ca punct de pornire pentru soluția Newton a incrementului următor. În acest scop, deasupra algoritmului Newton-Raphson a fost implementat un algoritm de control al încărcării. În cazul în care iterațiile NR nu converg, incrementul de încărcare curent este redus la jumătate, iar iterațiile NR sunt reluate.

Un al doilea scop al algoritmului de control al încărcării este găsirea încărcării critice, care corespunde anumitor „criterii de oprire”: deformația maximă în beton, alunecarea maximă în elementele de aderență, deplasarea maximă în elementele de ancoraj și deformația maximă în barele de armătură. Încărcarea critică se determină prin metoda bisecției. În cazul în care criteriul de oprire este depășit oriunde în model, rezultatele ultimului increment de încărcare sunt eliminate și se calculează un nou increment de mărime egală cu jumătate din cel anterior. Acest proces se repetă până când încărcarea critică este găsită cu o anumită toleranță de eroare.

Pentru beton, criteriul de oprire a fost stabilit la o deformație de 5% în compresiune (adică aproximativ cu un ordin de mărime mai mare decât deformația reală de cedare a betonului) și de 7% în întindere, în punctele de integrare ale elementelor shell. În întindere, valoarea a fost stabilită astfel încât să permită atingerea mai întâi a deformației limită din armătură, care este de obicei de aproximativ 5%, fără a lua în considerare participarea betonului întins. În compresiune, valoarea a fost aleasă dintre mai multe alternative ca fiind suficient de mare pentru ca efectele strivirii să fie vizibile în rezultate, dar suficient de mică pentru a nu cauza prea multe probleme de stabilitate numerică.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}$$

Pentru armătură, criteriul de oprire este definit în termeni de tensiuni. Deoarece tensiunile sunt modelate la nivelul fisurii, criteriul în întindere corespunde rezistenței la întindere a armăturii, ținând cont de coeficientul de siguranță. Aceeași valoare este utilizată pentru criteriul în compresiune.

Criteriul de oprire în elementele de aderență și în arcurile de ancoraj este α·δu_max, unde δu_max este alunecarea maximă utilizată în verificările conform codului și α = 10.

Rezultatele sunt prezentate independent pentru beton și pentru elementele de armătură. Valorile tensiunilor și ale deformațiilor din beton sunt calculate în punctele de integrare ale elementelor de tip shell. Totuși, deoarece nu este practic să se prezinte datele în acest mod, rezultatele sunt prezentate în mod implicit în noduri, ca valoarea maximă a tensiunii de compresiune din punctele de integrare Gauss adiacente din elementele conectate (Fig. 18). Trebuie menționat că această reprezentare poate subestima local rezultatele la marginile comprimate ale elementelor, în cazul în care dimensiunea elementului finit este similară cu înălțimea zonei comprimate.

Fig. 18 - Element finit de beton cu puncte de integrare și noduri: prezentarea rezultatelor pentru beton în noduri și în elementele finite.

Rezultatele pentru elementele finite de armătură sunt fie constante pentru fiecare element (o singură valoare – de exemplu, pentru tensiunile din oțel), fie liniare (două valori – pentru rezultatele de aderență). Pentru elementele auxiliare, cum ar fi elementele plăcilor de reazem, sunt prezentate doar deformațiile.

Evaluarea structurii utilizând CSFM se realizează prin două analize distincte: una pentru starea limită de serviciu și una pentru combinațiile de încărcări în starea limită ultimă. Analiza în starea limită de serviciu presupune că comportarea ultimă a elementului este satisfăcătoare și că condițiile de curgere ale materialului nu vor fi atinse la nivelurile de încărcare din starea limită de serviciu. Această abordare permite utilizarea unor modele constitutive simplificate (cu o ramură liniară a diagramei efort-deformație a betonului) pentru analiza în starea limită de serviciu, în scopul îmbunătățirii stabilității numerice și a vitezei de calcul. Prin urmare, se recomandă utilizarea fluxului de lucru prezentat mai jos, în care analiza în starea limită ultimă se efectuează ca prim pas.

Analiza în starea limită ultimă

Diferitele verificări impuse de codurile de proiectare specifice se evaluează pe baza rezultatelor directe furnizate de model. Verificările în SLU se efectuează pentru rezistența betonului, rezistența armăturii și ancoraj (tensiuni de forfecare din aderență).

Pentru a asigura un calcul eficient al unui element structural, se recomandă insistent efectuarea unei analize preliminare, care ține seama de următorii pași:

• Alegeți o selecție a celor mai critice combinații de încărcări.
• Calculați doar combinațiile de încărcări în starea limită ultimă (SLU).
• Utilizați o plasă grosieră (prin creșterea multiplicatorului dimensiunii implicite a plasei în Setup (Fig. 19)).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}$$

Un astfel de model se calculează foarte rapid, permițând proiectanților să revizuiască eficient detalierea elementului structural și să repete analiza până când toate cerințele de verificare sunt îndeplinite pentru cele mai critice combinații de încărcări. După ce toate cerințele de verificare ale acestei analize preliminare sunt îndeplinite, se recomandă includerea combinațiilor complete de încărcări ultime și utilizarea unei plase fine (dimensiunea plasei recomandată de program). Utilizatorul poate modifica dimensiunea plasei prin multiplicator, care poate lua valori de la 0,5 la 5 (Fig. 19).

Rezultatele și verificările de bază (tensiune, deformație și grad de utilizare, adică valoarea calculată/valoarea limită conform codului, precum și direcția tensiunilor principale în cazul elementelor din beton) sunt afișate prin diferite diagrame în care compresiunea este în general prezentată în roșu, iar întinderea în albastru. Valorile minime și maxime globale pentru întreaga structură pot fi evidențiate, la fel ca valorile minime și maxime pentru fiecare parte definită de utilizator. Într-o filă separată a programului pot fi afișate rezultate avansate, precum valorile tensoriale, deformațiile structurii și procentele de armare (efectiv și geometric) utilizate pentru calculul participării betonului întins la armăturile din oțel. În plus, pot fi prezentate încărcările și reacțiunile pentru combinațiile sau cazurile de încărcare selectate.

Analiza în starea limită de serviciu

Evaluările în SLS se efectuează pentru limitarea tensiunilor, lățimea fisurilor și limitele săgeții. Tensiunile se verifică în beton și în armătură conform codului aplicabil, într-un mod similar cu cel specificat pentru SLU.

Analiza în starea limită de serviciu conține anumite simplificări ale modelelor constitutive utilizate pentru analiza în starea limită ultimă. Se presupune o aderență perfectă, adică lungimea de ancoraj nu se verifică în starea limită de serviciu. În plus, ramura plastică a curbei efort-deformație a betonului comprimat este neglijată, în timp ce ramura elastică este liniară și infinită. Aceste simplificări îmbunătățesc stabilitatea numerică și viteza de calcul și nu reduc generalitatea soluției, atât timp cât limitele de tensiune rezultate ale materialelor în starea limită de serviciu se situează clar sub punctele lor de curgere (conform cerințelor standardelor). Prin urmare, modelele simplificate utilizate pentru starea limită de serviciu sunt valabile doar dacă toate cerințele de verificare sunt îndeplinite.

Calculul deschiderii fisurilor și participarea betonului întins

Calculul deschiderii fisurilor

Există două moduri de calcul al deschiderii fisurilor - fisurare stabilizată și nestabilizată. În funcție de raportul geometric de armare din fiecare parte a structurii, se decide ce tip de model de calcul al fisurilor va fi utilizat (TCM pentru fisurarea stabilizată și POM pentru modelul de fisurare nestabilizată).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Calculul deschiderii fisurilor: (a) cinematica fisurii considerată; (b) proiecția cinematicii fisurii pe direcțiile}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{principale ale barei de armătură; (c) deschiderea fisurii pe direcția barei de armătură pentru fisurarea stabilizată; (d) cazuri cu}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{fisurare locală nestabilizată indiferent de cantitatea de armătură; (e) deschiderea fisurii pe direcția barei de armătură}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{pentru fisurarea nestabilizată.}}}$

În timp ce CSFM oferă un rezultat direct pentru majoritatea verificărilor (de exemplu, capacitatea elementului, săgețile...), rezultatele privind deschiderea fisurilor sunt calculate pe baza rezultatelor deformației armăturii furnizate direct de analiza cu elemente finite, conform metodologiei descrise în Fig. 20. Se consideră o cinematică a fisurii fără alunecare (deschidere pură a fisurii) (Fig. 20a), ceea ce este consistent cu ipotezele principale ale modelului. Direcțiile principale ale tensiunilor și deformațiilor definesc înclinarea fisurilor (θ_r = θ_s= θ_e). Conform (Fig. 20b), deschiderea fisurii (w) poate fi proiectată pe direcția barei de armătură (w_b), rezultând:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

unde θ_b este înclinarea barei.

Vă rugăm să rețineți că programul afișează valorile θ_r și θ_b < π/2. Aceasta înseamnă că ecuația precedentă funcționează pentru cazurile în care armătura și fisura trec prin cadrane diferite ale sistemului de coordonate cartezian, așa cum se arată în Fig. 20, unde armătura trece prin cadranele I și III, iar fisura prin cadranele II și IV. Pentru cazurile în care armătura și fisura trec prin aceleași cadrane, ecuația trebuie modificată după cum urmează:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

Componenta w_b este calculată consecvent pe baza modelelor de participare a betonului întins prin integrarea deformațiilor armăturii. Pentru zonele cu tipare de fisurare complet dezvoltate, deformațiile medii calculate (e_m) de-a lungul barelor de armătură sunt integrate direct de-a lungul distanței dintre fisuri (s_r), conform indicației din (Fig. 20c). Deși această abordare de calcul al direcțiilor fisurilor nu corespunde poziției reale a fisurilor, ea oferă totuși valori reprezentative care conduc la rezultate ale deschiderii fisurilor ce pot fi comparate cu valorile de deschidere a fisurilor impuse de cod la poziția barei de armătură.

Situații speciale sunt observate la colțurile concave ale structurii calculate. În acest caz, colțul predefinește poziția unei singure fisuri care se comportă în mod nestabilizat înainte ca fisuri adiacente suplimentare să se dezvolte. Aceste fisuri suplimentare se dezvoltă în general după depășirea domeniului de exploatare (Mata-Falcón 2015), ceea ce justifică calcularea deschiderii fisurilor în această zonă ca și cum ar fi nestabilizate (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definirea zonei la colțurile concave în care deschiderea fisurii este calculată ca și cum ar fi nestabilizată.}}}$$

Participarea betonului întins

Implementarea participării betonului întins face distincția între cazurile de tipare de fisurare stabilizate și nestabilizate. În ambele cazuri, betonul este considerat complet fisurat înainte de încărcare, în mod implicit.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Modelul de participare a betonului întins: (a) element de tip tirant de întindere pentru fisurarea stabilizată cu distribuția forfecării de aderență,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tensiunilor din oțel și beton, și deformațiilor din oțel între fisuri, luând în considerare distanța medie dintre fisuri); (b) ipoteza de smulgere}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{pentru fisurarea nestabilizată cu distribuția forfecării de aderență și tensiunilor și deformațiilor din oțel în jurul fisurii; (c) comportamentul}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{rezultat al tirantului de întindere în termeni de tensiuni ale armăturii la fisuri și deformații medii pentru oțelul european B500B;}}}$ undefined

Fisurare stabilizată

În tiparele de fisurare complet dezvoltate, participarea betonului întins este introdusă utilizând Modelul Tirantului de Întindere (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – care s-a dovedit că oferă predicții excelente ale răspunsului în ciuda simplității sale (Burns 2012). TCM presupune o relație în trepte, rigid-perfect plastică între tensiunea de forfecare de aderență și alunecare, cu τ_b = τ_b0 =2 f_ctm pentru σ_s ≤ f_y și τ_b =τ_b1 = f_ctm pentru σ_s > f_y. Tratând fiecare bară de armătură ca un tirant de întindere ­– Fig. 22b și Fig. 22a – distribuția forfecării de aderență, a tensiunilor din oțel și beton și, prin urmare, distribuția deformațiilor între două fisuri poate fi determinată pentru orice valoare dată a tensiunilor (sau deformațiilor) maxime din oțel la fisuri.

Pentru s_r = s_r0, o nouă fisură se poate forma sau nu, deoarece la centrul dintre două fisuri σ_c1 = f_ct. În consecință, distanța dintre fisuri poate varia cu un factor de doi, adică s_r = λs_r0, cu l = 0.5…1.0. Presupunând o anumită valoare pentru λ, deformația medie a tirantului (ε_m) poate fi exprimată ca funcție de tensiunile maxime din armătură (adică tensiunile la fisuri, σ_sr). Pentru diagrama biliniară idealizată efort-deformație pentru barele de armătură neaderente considerată implicit în CSFM, se obțin următoarele expresii analitice sub formă închisă (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{pentru}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{pentru}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{pentru}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

unde:
E_sh           modulul de ecruisare al oțelului E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            modulul de elasticitate al armăturii,

Ø            diametrul barei de armătură,

s_r                distanța dintre fisuri,

σ_sr           tensiunile din armătură la fisuri,

σ_s            tensiunile efective din armătură,

f_y                limita de curgere a armăturii.

Implementarea IDEA StatiCa Detail a CSFM ia în considerare implicit distanța medie dintre fisuri atunci când efectuează analiza câmpului de tensiuni asistată de calculator. Distanța medie dintre fisuri este considerată a fi 2/3 din distanța maximă dintre fisuri (λ = 0.67), ceea ce urmează recomandările făcute pe baza testelor de încovoiere și întindere (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Trebuie remarcat faptul că, pentru calculul deschiderii fisurilor, se consideră o distanță maximă între fisuri (λ = 1.0) pentru a obține valori conservative.

Aplicarea TCM depinde de raportul de armare, deci alocarea unei arii de beton adecvate care acționează în întindere între fisuri pentru fiecare bară de armătură este crucială. A fost dezvoltată o procedură numerică automată pentru a defini raportul de armare efectiv corespunzător (ρ_eff = A_s/A_c,eff) pentru orice configurație, inclusiv armătură înclinată (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Aria efectivă de beton întins pentru fisurarea stabilizată: (a) aria maximă de beton care poate fi activată;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) acoperirea cu beton și condiția de simetrie globală; (c) aria efectivă rezultantă.}}}$

Fisurare nestabilizată

Fisurile existente în zonele cu rapoarte geometrice de armare mai mici decât ρ_cr, adică cantitatea minimă de armătură pentru care armătura este capabilă să preia încărcarea de fisurare fără a curge, sunt generate fie de acțiuni non-mecanice (de exemplu, contracția), fie de propagarea fisurilor controlată de altă armătură. Valoarea acestei armături minime se obține astfel:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

unde:

f_y              limita de curgere a armăturii,

f_ct             rezistența la întindere a betonului,

n              raportul modular, n = E_s / E_c .

Pentru betonul convențional și oțelul de armătură, ρ_cr este de aproximativ 0,6%.

Pentru etrieri cu rapoarte de armare sub ρ_cr, fisurarea este considerată nestabilizată, iar participarea betonului întins este implementată prin intermediul Modelului de Smulgere (POM) descris în Fig. 22b. Acest model analizează comportamentul unei fisuri unice, considerând absența interacțiunii mecanice între fisuri separate, neglijând deformabilitatea betonului întins și presupunând aceeași relație în trepte, rigid-perfect plastică, între tensiunea de forfecare de aderență și alunecare, utilizată de TCM. Aceasta permite obținerea distribuției deformației armăturii (ε_s) în vecinătatea fisurii pentru orice tensiune maximă din oțel la fisură (σ_sr) direct din echilibru. Având în vedere faptul că distanța dintre fisuri este necunoscută pentru un tipar de fisurare nedezvoltat complet, deformația medie (ε_m) este calculată pentru orice nivel de încărcare pe distanța dintre punctele cu alunecare zero, atunci când bara de armătură atinge rezistența sa la întindere (f_t) la fisură (l_ε,avg în Fig. 22b), rezultând următoarele relații:

Modelele propuse permit calcularea comportamentului armăturii aderente, care este în final luat în considerare în analiză. Acest comportament (inclusiv participarea betonului întins) pentru cel mai comun oțel european de armătură (B500B, cu f_t / f_y = 1,08 și ε_u = 5%) este ilustrat în Fig. 22c-d.

Beton - SLU

Modelul de beton implementat în CSFM se bazează pe legile constitutive de compresiune uniaxială prevăzute de EN 1992-1-1 pentru calculul secțiunilor transversale, care depind doar de rezistența la compresiune. În CSFM se utilizează implicit diagrama parabolă-dreptunghi specificată în EN 1992-1-1 art. 3.1.7 (1) (Fig. 24a), dar proiectanții pot alege și o relație elastic-plastică ideală mai simplificată, conform EN 1992-1-1 art. 3.1.7 (2) (Fig. 24b). Rezistența la întindere este neglijată, ca în calculul clasic al betonului armat.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}$$

Implementarea CSFM în IDEA StatiCa Detail nu consideră un criteriu explicit de cedare în termeni de deformații pentru betonul comprimat (adică, după atingerea tensiunii de vârf, se consideră o ramură plastică cu ε_cu2 (ε_cu3) cu valoarea de 5%, în timp ce EN 1992-1-1 presupune o deformație ultimă mai mică de 0,35%). Această simplificare nu permite verificarea capacității de deformare a structurilor care cedează la compresiune. Totuși, capacitatea lor ultimă f_cd conform EN 1992-1-1 3.1.3 este prezisă corect atunci când, pe lângă factorul pentru betonul fisurat (k_c2 definit în (Fig. 25)), se ia în considerare și creșterea fragilității betonului odată cu creșterea rezistenței sale, prin intermediul factorului de reducere $\eta_{fc}$ definit în fib Model Code 2010 astfel:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

unde:

α_cc este coeficientul care ține seama de efectele de lungă durată asupra rezistenței la compresiune și de efectele nefavorabile rezultate din modul de aplicare a încărcării. Se determină conform EN 1992-1-1 art. 3.1.6 (1). Valoarea implicită este 1,0.

k_c este factorul global de reducere a rezistenței la compresiune

k_c2 este factorul de reducere datorat prezenței fisurilor transversale

f_ck este rezistența caracteristică a betonului determinată pe cilindru (în MPa pentru definirea $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}$$

Beton - SLS

Analiza la starea limită de exploatare conține anumite simplificări ale modelelor constitutive utilizate pentru analiza la starea limită ultimă. Ramura plastică a curbei efort-deformație a betonului comprimat este ignorată, în timp ce ramura elastică este liniară și infinită. Legea rezistenței reduse a betonului comprimat nu este luată în considerare. Aceste simplificări îmbunătățesc stabilitatea numerică și viteza de calcul și nu reduc generalitatea soluției, atât timp cât limitele de tensiune rezultate ale materialelor în exploatare se află clar sub punctele lor de curgere (conform cerințelor Eurocode). Prin urmare, modelele simplificate utilizate pentru exploatare sunt valabile doar dacă sunt îndeplinite toate cerințele de verificare.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Efecte de lungă durată

În analiza la starea limită de exploatare, efectele de lungă durată ale betonului sunt considerate prin intermediul unui coeficient efectiv infinit de fluaj ($\varphi$, considerat implicit cu valoarea 2,5), care modifică modulul de elasticitate secant al betonului (E_cm) conform EN 1992-1-1, secțiunea 3.1.4 (3), respectiv 7.4.3 (5), astfel:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

Când se consideră efectele de lungă durată, se calculează mai întâi un pas de încărcare cu toate încărcările permanente, luând în considerare coeficientul de fluaj (adică folosind modulul de elasticitate efectiv al betonului, E_c,eff), iar apoi încărcările suplimentare se calculează fără coeficientul de fluaj (adică folosind E_cm). În plus, pentru a efectua verificările de scurtă durată, se realizează un alt calcul în care toate încărcările sunt calculate fără coeficientul de fluaj. Ambele calcule, pentru verificările de lungă și de scurtă durată, sunt ilustrate în Fig. 26.

Coeficienții de fluaj sunt definiți de utilizator în proprietățile materialului și se calculează conform EN 1992-1-1, Fig. 3.1.

Armătură

Implicit, se consideră diagrama bilineară idealizată efort-deformație pentru barele de armătură simple, definită în EN 1992-1-1, secțiunea 3.2.7 (Fig. 27). Definirea acestei diagrame necesită doar cunoașterea proprietăților de bază ale armăturii în faza de proiectare (clasa de rezistență și de ductilitate). Atunci când este cunoscută, se poate considera relația efectivă efort-deformație a armăturii (laminată la cald, trasă la rece, călită și autorevenită, …). Diagrama efort-deformație a armăturii poate fi definită de utilizator, dar în acest caz nu este posibilă luarea în considerare a efectului de participare a betonului întins (nu este posibil să se calculeze deschiderea fisurilor). Utilizarea diagramei efort-deformație cu ramură superioară orizontală nu permite verificarea durabilității structurale. Prin urmare, este necesară verificarea manuală a cerințelor standard de ductilitate.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$

Participarea betonului întins (Fig. 28)  este luată în considerare automat prin modificarea relației de intrare efort-deformație a barei de armătură simple, astfel încât să se capteze rigiditatea medie a barelor înglobate în beton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil este conformă cu codurile de proiectare moderne. Deoarece modelele de calcul utilizează doar proprietăți standard ale materialelor, formatul factorilor parțiali de siguranță prevăzut în codurile de proiectare poate fi aplicat fără nicio adaptare. În acest mod, încărcările de intrare sunt factorizate, iar proprietățile caracteristice ale materialelor sunt reduse cu ajutorul coeficienților de siguranță respectivi, prevăzuți în codurile de proiectare, exact ca în calculul convențional al betonului. Valorile factorilor de siguranță pentru materiale prevăzute în EN 1992-1-1, cap. 2.4.2.4, sunt setate implicit, dar utilizatorul poate modifica factorii de siguranță în setările de cod și de calcul (Fig. 29).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Factorii de siguranță pentru încărcări trebuie definiți de utilizator în regulile de combinare pentru fiecare combinație neliniară de cazuri de încărcare (Fig. 30). Pentru toate șabloanele implementate în Idea StatiCa Detail, factorii parțiali de siguranță sunt deja predefiniți.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Prin utilizarea unor combinații adecvate de factori parțiali de siguranță definite de utilizator, se poate calcula cu CSFM și prin metoda factorului global de rezistență (Navrátil et al., 2017), însă această abordare este folosită foarte rar în practica de proiectare. Unele ghiduri recomandă utilizarea metodei factorului global de rezistență pentru analiza neliniară. Totuși, în analizele neliniare simplificate (cum este CSFM), care necesită doar acele proprietăți ale materialelor utilizate în calculele manuale convenționale, este în continuare preferabil formatul factorilor parțiali de siguranță.

Verificările diferite impuse de EN 1992-1-1 sunt evaluate pe baza rezultatelor directe furnizate de model. Verificările SLU se efectuează pentru rezistența betonului, rezistența armăturii și ancorare (tensiuni de forfecare de aderență).

Rezistența betonului la compresiune este evaluată ca raport între tensiunea principală maximă de compresiune σ_c = σ_c2 obținută din analiza cu EF și valoarea limită σ_c,lim = f_cd. 

Rezistența armăturii este evaluată atât la întindere, cât și la compresiune, ca raport între tensiunea din armătură la fisuri σ_sr și valoarea limită specificată σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

unde:

f_yk        limita de curgere a armăturii conform EN 1992-1-1 Cl. 3.2.3,

k          raportul dintre rezistența la întindere f_tk și limita de curgere,
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             este coeficientul parțial de siguranță pentru armătură

Tensiunea de forfecare de aderență este evaluată independent ca raport între tensiunea de aderență τ_b calculată prin analiza cu EF și rezistența ultimă de aderență f_bd, conform EN 1992-1-1 cap. 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

unde:

f_ctd      este valoarea de calcul a rezistenței la întindere a betonului conform EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (2). Din cauza fragilității crescute a betonului de rezistență mai mare, f_ctk,0.05 este limitat la valoarea pentru C60/75 conform EN 1992-1-1 Cl. 8.4.2 (2)

η₁       este un coeficient legat de calitatea condițiilor de aderență și de poziția barei în timpul betonării (Fig. 31).

η₁ = 1.0 când se obțin condiții „bune” și

η₁ = 0.7 pentru toate celelalte cazuri și pentru barele din elemente structurale executate cu cofraje glisante, cu excepția cazului în care se poate demonstra că există condiții „bune” de aderență

η₂        este legat de diametrul barei:

            η₂ = 1.0 pentru Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 pentru Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

În IDEA StatiCa Detail, condițiile de aderență sunt luate în considerare conform Fig. 31 c) și d). Direcția de betonare poate fi setată în aplicație pentru fiecare element al proiectului astfel.

Aceste verificări se efectuează în raport cu valorile limită corespunzătoare pentru părțile respective ale structurii (adică, deși există o singură clasă atât pentru beton, cât și pentru armătură, diagramele efort-deformație finale vor diferi în fiecare parte a structurii din cauza efectelor de participare a betonului întins și de rezistență redusă a betonului comprimat).

Există și opțiunea de a modela bare netede. Mai multe informații găsiți aici: Bare netede în Detail

Forța totală F_tot și forța limită F_lim

Forța totală F_tot este un rezultat al analizei cu elemente finite și poate fi definită în două moduri.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

unde A_s este aria barei de armătură și σ_s este tensiunea din bară.

Sau ca sumă între forța de ancorare F_a și forța de aderență F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

unde F_a este forța reală din arcul de ancorare și F_bond este forța de aderență, care poate fi obținută prin integrarea tensiunii de aderență τ_b pe lungimea barei de armătură l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s este circumferința barei de armătură.

Forța limită F_lim este forța maximă din elementul barei, luând în considerare rezistența ultimă a barei și, de asemenea, condițiile de ancorare (aderența dintre beton și armătură, cârlige de ancorare, bucle etc.).

F_{lim=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

unde C_s este circumferința barei de armătură, iar l este lungimea de la începutul barei până la punctul de interes.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

unde F_lim,add este forța suplimentară calculată din mărimea unghiului dintre elementele învecinate. F_lim,2 trebuie să fie întotdeauna mai mică decât F_u.

Tipurile de ancorare disponibile în CSFM includ bară dreaptă (adică fără reducerea capătului de ancorare), îndoire, cârlig, buclă, bară transversală sudată, aderență perfectă și bară continuă. Toate aceste tipuri, împreună cu coeficienții de ancorare β corespunzători, sunt prezentate în Fig. 32 pentru armătura longitudinală și în Fig. 33 pentru etrieri. Valorile coeficienților de ancorare adoptați sunt conforme cu EN 1992-1-1 secțiunea 8.4.4 Tab. 8.2. Trebuie remarcat că, în ciuda diferitelor opțiuni disponibile, CSFM distinge trei tipuri de capete de ancorare: (i) fără reducerea lungimii de ancoraj, (ii) o reducere de 30 % a lungimii de ancoraj în cazul unei ancorări normalizate și (iii) aderență perfectă.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Pentru a respecta EN 1992-1-1, în calcul trebuie utilizat arcul de ancorare; arcul de ancorare este modificat de coeficientul β, astfel încât utilizatorul trebuie să aleagă unul dintre tipurile de ancorare disponibile la definirea condițiilor de la începutul și de la sfârșitul armăturii. 

La proiectarea structurilor din beton întâlnim două mari grupe de suprafețe încărcate parțial (PLA): prima cuprinde reazemele, iar a doua zonele de ancoraj. Conform standardelor în vigoare pentru proiectarea structurilor din beton armat, EN 1992-1-1, cap. 6.7 (Fig. 34), în cazul suprafețelor încărcate parțial trebuie luate în considerare strivirea locală a betonului și forțele transversale de întindere. Pentru o încărcare uniform distribuită pe o suprafață A_c0, capacitatea de rezistență la compresiune a betonului poate fi majorată de până la trei ori, în funcție de aria de distribuție de calcul A_c1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}$$

Suprafața încărcată parțial trebuie armată suficient cu armătură transversală, dimensionată pentru preluarea forțelor de despicare care apar în această zonă. Pentru dimensionarea armăturii transversale în suprafețele încărcate parțial se utilizează, conform Eurocodului, metoda Bielă-tiranți. Fără armătura transversală necesară, nu este posibil să se considere majorarea capacității de rezistență la compresiune a betonului.

Suprafețe încărcate parțial în CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Cu ajutorul CSFM este posibilă dimensionarea și verificarea structurilor din beton armat, luând în considerare influența creșterii rezistenței la compresiune a betonului în suprafețele încărcate parțial. Deoarece CSFM este un model de tip perete (2D), iar suprafețele încărcate parțial reprezintă o problemă spațială (3D), a fost necesară găsirea unei soluții care să combine aceste două tipuri diferite de probleme (Fig. 35). Dacă funcția „suprafețe încărcate parțial” este activată, geometria conului admisibil este creată conform Eurocodului (Fig. 34). Toate coliziunile geometrice sunt rezolvate complet în 3D pentru geometria specificată a elementului din beton și dimensiunile fiecărei PLA. Ulterior, se creează un model de calcul al suprafeței încărcate parțial.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Modificarea modelului de material s-a dovedit a fi o abordare nepotrivită, în principal deoarece transferul proprietăților către plasa de elemente finite este problematic. S-a stabilit că o abordare independentă de plasa de elemente finite reprezintă o soluție mai adecvată. Pentru geometria cunoscută a conului de compresiune se creează biele fictive perfect coerente (Fig. 35 și Fig. 37). Aceste biele au proprietăți de material identice cu cele ale betonului utilizat în model, inclusiv diagrama efort-deformație. Forma conului determină direcția bielelor, care distribuie treptat încărcarea de la nivelul PLA către aria de distribuție de calcul. Densitatea de arie a bielelor fictive este variabilă în fiecare zonă a conului și adaugă o arie fictivă de beton în direcția încărcării. La nivelul suprafeței încărcate (A_c0) se adaugă o arie fictivă de beton conform raportului $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  (unde A_real este aria reazemului considerată în modelul de calcul 2D), iar această arie scade liniar până la zero spre aria de distribuție de calcul (A_c1). Această soluție asigură o tensiune de compresiune constantă în beton pe întregul volum al conului.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Rezistența suprafeței încărcate parțial este majorată conform raportului dintre aria de distribuție de calcul și aria încărcată, stabilit în EN 1992-1-1  (6.7).  Trebuie reținut că acesta este un model de calcul care nu poate descrie cu precizie starea de tensiune dintr-o suprafață încărcată parțial, a cărei distribuție reală este mult mai complexă. Cu toate acestea, această soluție permite distribuirea corectă a încărcării în întregul model, respectând în același timp capacitatea portantă majorată a suprafeței încărcate parțial. În plus, ea introduce corect tensiunile transversale în această zonă.

La utilizarea funcției de suprafețe încărcate parțial pentru a simula creșterea capacității de rezistență la compresiune a betonului, este necesar să se efectueze separat verificarea conform codului, conform EN 1992-1-1, secțiunea 6.7 (2). Forțele transversale de întindere (forțele de despicare) preluate de armătură sunt verificate automat.

Verificările SLS se efectuează pentru limitarea tensiunilor, lățimea fisurilor și limitele săgeții. Tensiunile se verifică în beton și în elementele de armătură conform EN 1992-1-1, într-un mod similar cu cel specificat pentru SLU.

Limitarea tensiunilor

Tensiunea de compresiune din beton trebuie limitată pentru a evita fisurile longitudinale. Conform EN 1992-1-1 cap. 7.2 (2), fisurile longitudinale pot apărea dacă nivelul tensiunii, sub combinația caracteristică de încărcări, depășește valoarea k₁f_ck. Tensiunea din beton la compresiune se evaluează ca raport între tensiunea principală maximă de compresiune σ_c = σ_c2 obținută din analiza cu elemente finite pentru stările limită de serviciu și valoarea limită σ_c,lim. Atunci:

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

unde:

f_ck        rezistența caracteristică a betonului pe cilindru,

k₁         =0,6.

Dacă tensiunea din beton sub încărcările cvasipermanente este mai mică decât k₂f_ck conform EN 1992-1-1 Cl. 7.2(3), se poate presupune fluaj liniar. Dacă tensiunea din beton depășește k₂f_ck, trebuie luat în considerare fluajul neliniar (a se vedea EN 1992-1-1 Cl. 3.1.4). În IDEA StatiCa Detail se poate presupune doar fluaj liniar conform EN 1992-1-1 Cl. 3.1.4 (3) (a se vedea Modele de material (EN)).

Fisurarea sau deformarea inacceptabilă se poate considera evitată dacă, sub combinația caracteristică de încărcări, tensiunea de întindere din armătură nu depășește k₃f_yk (EN 1992-1-1 cap. 7.2 (5)). Rezistența armăturii se evaluează ca raport între tensiunea din armătură în dreptul fisurilor σ_s = σ_sr și valoarea limită specificată σ_s,lim:

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

unde:

f_yk        limita de curgere a armăturii,

k₃        =0,8.

Săgeata

Săgețile pot fi evaluate numai pentru pereți sau pentru grinzi izostatice (static determinate) ori hiperstatice (static nedeterminate). În aceste cazuri se consideră valoarea absolută a săgeților (comparativ cu starea inițială, înainte de încărcare), iar valoarea maximă admisibilă a săgeților trebuie stabilită de utilizator. Săgețile la capetele tăiate nu pot fi verificate, deoarece acestea sunt în esență structuri instabile la care echilibrul este satisfăcut prin adăugarea unor forțe de capăt, iar săgețile rezultate sunt, prin urmare, nerealiste. Săgeata pe termen scurt u_z,st sau pe termen lung u_z,lt poate fi calculată și verificată în raport cu valorile limită definite de utilizator:

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

unde:

u_z         săgeata pe termen scurt sau lung, calculată prin analiza cu elemente finite,

u_z,lim    valoarea limită a săgeții, definită de utilizator.

Lățimea fisurilor

Lățimile și orientările fisurilor se calculează numai pentru efectele pe termen lung (utilizând E_c,eff), pentru combinațiile la care este activată evaluarea lățimii fisurilor. Verificările bazate pe valorile limită specificate de utilizator, în conformitate cu Eurocode, sunt prezentate după cum urmează:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

unde:

w         lățimea fisurii, calculată prin analiza cu elemente finite,

w_lim     valoarea limită a lățimii fisurii, definită de utilizator.

Există două moduri de calcul al lățimii fisurilor (fisurare stabilizată și nestabilizată). În cazul general (fisurare stabilizată), lățimea fisurii se calculează prin integrarea deformațiilor pe elementele 1D ale barelor de armătură. Direcția fisurii se calculează apoi din cele mai apropiate trei puncte de integrare (față de centrul elementului finit 1D de armătură considerat) ale elementelor de beton 2D. Deși această abordare a calculului direcțiilor fisurilor nu corespunde poziției reale a fisurilor, ea furnizează totuși valori reprezentative, care conduc la rezultate ale lățimii fisurilor ce pot fi comparate cu valorile lățimii fisurilor impuse de cod, în poziția barei de armătură.

Beton - Rezistență

Modelul de beton implementat pentru calculele de rezistență în CSFM se bazează pe curba parabolic-plastică efort-deformație a betonului, preluată din curba parabolică efort-deformație a Portland Cement Association, descrisă în PCA’s Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figura 6-8. Rezistența la întindere este neglijată, ca în proiectarea clasică a betonului armat.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementarea CSFM în IDEA StatiCa Detail nu consideră un criteriu explicit de cedare în termeni de deformații pentru betonul comprimat (adică, după atingerea tensiunii maxime, se consideră o ramură plastică cu ε_c0 la valoarea maximă de 5%, în timp ce ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 presupune o deformație ultimă mai mică de 0,3%). Această simplificare nu permite verificarea capacității de deformare a structurilor care cedează prin compresiune. Cu toate acestea, rezistența este estimată corect atunci când, pe lângă factorul pentru betonul fisurat (k_c2 definit în (Fig. 39)), se ia în considerare și creșterea fragilității betonului odată cu creșterea rezistenței, prin factorul de reducere $\eta_{fc}$ definit în fib Model Code 2010 astfel:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

unde:

α₁ este factorul de reducere a rezistenței la compresiune a betonului, definit în ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Când se utilizează o diagramă efort-deformație parabolă-dreptunghi, este necesar să se reducă tensiunea maximă de compresiune cu acest factor. Astfel se mediază distribuția tensiunilor în zona comprimată, în așa fel încât rezistența la compresiune rezultată să fie mai mică sau egală cu rezistența la compresiune calculată folosind o diagramă efort-deformație cu ramură plastică descendentă.

Φ_c este factorul de reducere a rezistenței pentru beton. Valoarea implicită este stabilită conform ACI 318-19 Tabelul 24.2.1 (b)(f).

k_c2 este factorul de reducere datorat prezenței fisurilor transversale.

f'_c este rezistența betonului determinată pe cilindru (în MPa pentru definiția lui $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 este un factor de reducere bazat pe aceleași ipoteze ca și coeficientul zonei nodale β_n dat în ACI 318-19 Tabelul 23.9.2, cu deosebirea că, în CSFM, prezența unei tensiuni principale de întindere perpendiculare pe tensiunea principală de compresiune este verificată pentru fiecare element finit (nu doar pentru nodurile modelului Bielă-tiranți).

Beton – Exploatare

Analiza la starea limită de exploatare conține anumite simplificări ale modelelor constitutive utilizate pentru analiza de rezistență. Ramura plastică a curbei efort-deformație a betonului comprimat este ignorată, iar ramura elastică este liniară și infinită. Legea rezistenței reduse a betonului comprimat nu este luată în considerare. Aceste simplificări îmbunătățesc stabilitatea numerică și viteza de calcul și nu reduc generalitatea soluției atât timp cât limitele tensiunilor rezultate în materiale la starea limită de exploatare se află clar sub punctele de curgere ale acestora (conform cerințelor ACI). Prin urmare, modelele simplificate utilizate pentru exploatare sunt valabile numai dacă toate cerințele de verificare sunt îndeplinite.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Efecte pe termen lung

Comportamentul pe termen lung al structurii, cum ar fi deformațiile pe termen lung sau calculul deschiderii fisurilor cauzate de încărcările de lungă durată, este influențat de curgerea lentă a betonului. ACI 318-19, la paragraful 24.2.4.1.3, definește factorul dependent de timp pentru încărcările de lungă durată – ξ, care reprezintă efectul curgerii lente pentru o durată specificată a încărcării de lungă durată.

În aplicația Detail, modulul de elasticitate E_c este ajustat prin factorul ξ pentru a determina comportamentul pe termen lung al structurii. Modulul de elasticitate ajustat este denumit E_c,eff – vezi Figura 40.

Presupunând că deformarea elementului este exprimată prin deformație specifică, se poate scrie:

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

unde:

ε₀ este deformația pe termen scurt (fără influența curgerii lente), iar ε_creep este deformația cauzată de curgerea lentă.

Folosind legea lui Hooke, putem scrie:

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

Înlocuind $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ și $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$ obținem:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

Durata încărcării de lungă durată pentru determinarea factorului ξ poate fi stabilită individual pentru fiecare combinație de exploatare pe termen lung.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}$$

Deformațiile, tensiunile și deschiderile fisurilor dependente de timp sunt apoi calculate cu un model de material modificat, în care efectul rafinării zonei comprimate este luat în considerare automat prin natura analizei cu elemente finite. Prin urmare, nu este necesar să se mai înmulțească cu factorul definit în 24.2.4.1.1.

Efecte pe termen scurt

Pentru a efectua verificările pe termen scurt, se realizează un alt calcul în care toate încărcările sunt calculate fără factorul dependent de timp pentru încărcările de lungă durată. Ambele calcule, pentru verificările pe termen lung și pe termen scurt, sunt ilustrate în Fig. 40.

Armătură

Pentru armătura nepretensionată se consideră o diagramă efort-deformație perfect elasto-plastică, cu limită de curgere definită, a se vedea ACI 319-19 CL. 20.2.1. Definirea acestei diagrame necesită cunoașterea doar a proprietăților de bază ale armăturii – rezistența și modulul de elasticitate.

Diagrama efort-deformație a armăturii poate fi definită și de utilizator, dar în acest caz nu este posibil să se considere efectul de participare a betonului întins (nu este posibil să se calculeze deschiderea fisurilor). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

unde:

Φ_s este factorul de reducere a rezistenței pentru armătură. Valoarea implicită este stabilită conform ACI 318-19 Tabelul 24.2.1.

f_y este limita de curgere a armăturii

E_s este modulul de elasticitate al armăturii

Ca limită a deformației la care calculul este oprit se alege 10%. Aceasta este considerată sigură pe baza ASTM A955/A955M-20c Articolul 7.

Participarea betonului întins (Fig. 43)  este luată în considerare automat prin modificarea relației efort-deformație de intrare a barei de armătură libere, astfel încât să se capteze rigiditatea medie a barelor înglobate în beton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil respectă codurile de proiectare moderne. Deoarece modelele de calcul utilizează numai proprietăți standard ale materialelor, formatul factorilor parțiali de siguranță prescris în codurile de proiectare poate fi aplicat fără nicio adaptare. În acest mod, încărcările de intrare sunt factorizate, iar proprietățile caracteristice ale materialelor sunt reduse cu ajutorul factorilor de reducere a rezistenței corespunzători, exact ca în analiza convențională a betonului.

Valorile factorilor de reducere a rezistenței sunt prescrise în ACI 318-19 Cl. 21.2. Valorile implicite pentru beton și armătură sunt alese pe baza ipotezei că exemplul tipic rezolvat în aplicație este controlat de forfecare (conform Tabelului 21.2.1 (b), (f), (g)). Cu toate acestea, este posibilă modelarea oricărui tip de element. Prin urmare, dacă se evaluează un element controlat de compresiune sau de întindere, utilizatorul are posibilitatea de a modifica valoarea factorului de reducere a rezistenței în Preferințe.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Factorii de încărcare pentru combinațiile de rezistență se definesc conform ACI 318-19 Tabelul 5.3.1.

Cu excepția cazurilor prevăzute în Capitolul 34, combinațiile de încărcări la nivel de exploatare nu sunt definite în ACI 318-19. Se recomandă utilizarea regulilor de combinare bazate pe Anexa C din ASCE/SEI 7-16. Pentru toate șabloanele, factorii de încărcare sunt deja predefiniți.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Verificările necesare conform ACI 318-19 se evaluează pe baza rezultatelor directe furnizate de model. Verificările se efectuează pentru rezistența betonului, rezistența armăturii și ancoraj (tensiuni de forfecare de aderență).

Rezistența betonului la compresiune se evaluează ca raport între tensiunea principală maximă de compresiune f_c (notată și σ₂ în Rezultatele auxiliare), obținută din analiza cu elemente finite (FE), și valoarea limită f'_c,lim.

Rezistența armăturii se evaluează atât la întindere, cât și la compresiune, ca raport între tensiunea din armătură în dreptul fisurilor f_s și valoarea limită specificată f_y,lim.

Tensiunea de forfecare de aderență se evaluează independent, ca raport între tensiunea de aderență τ_b, calculată prin analiza FE, și rezistența de aderență f_bu.

Totuși, standardul ACI nu tratează explicit rezistența de aderență, ci lucrează cu calculul așa-numitei lungimi de dezvoltare, descrisă în Secțiunea 25.4.2. Deoarece rezistența de aderență este un parametru de intrare fundamental pentru determinarea lungimii de dezvoltare, a se vedea R25.4.1.1 și ACI Committee 408 1966, rezistența de aderență se poate calcula după cum urmează:

Să presupunem că, dacă ancorăm o bară de armătură într-un bloc de beton pe o lungime de dezvoltare l_d sau mai mare, extragerea armăturii va conduce la ruperea armăturii și nu la extragerea ei din beton. Aceasta se poate scrie cu următoarea formulă.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

unde:

d_b este diametrul barei de armătură, l_d este lungimea de dezvoltare, f_bu este rezistența de aderență, f_y este limita de curgere a armăturii, iar A_s este aria barei de armătură.

Din cele de mai sus se poate deduce cu ușurință formula pentru calculul rezistenței de aderență:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Lungimea de dezvoltare l_d se determină apoi conform ACI 318-19 Tabelul 25.4.2.3 astfel:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

unde:

C = 25 (2,1 pentru sistemul metric) pentru barele nr. 6 și mai mici și pentru sârmele profilate, C = 20 (1,7 pentru sistemul metric) pentru barele nr. 7 și mai mari, λ = 1,0 pentru betonul de greutate normală, iar ψ_t, ψ_e, ψ_g se determină conform ACI 318-19 Tabelul 25.4.2.3. 

Sunt acceptate numai armăturile neprotejate sau zincate (galvanizate), deci ψ_e = 1,0. ψ_g se determină automat din clasa armăturii, iar ψ_t se deduce automat din poziția armăturii în model și din direcția de betonare, care poate fi setată în aplicație pentru fiecare element al proiectului, după cum urmează.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

Aceste verificări se efectuează în raport cu valorile limită corespunzătoare pentru fiecare parte a structurii (adică, deși există o singură clasă atât pentru beton, cât și pentru materialul armăturii, diagramele efort-deformație finale vor diferi în fiecare parte a structurii, din cauza efectelor de participare a betonului întins și de rezistență redusă a betonului comprimat).

Există, de asemenea, opțiunea de a modela armături netede. Mai multe informații se găsesc aici: Armături netede în Detail

Forța totală F_tot și forța limită F_lim

Forța totală F_tot este un rezultat al analizei cu elemente finite și poate fi definită în două moduri.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

unde A_s este aria barei de armătură, iar f_s este tensiunea din bară.

Sau ca sumă între forța de ancoraj F_a și forța de aderență F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

unde F_a este forța efectivă din arcul de ancoraj, iar F_bond este forța de aderență, care se poate obține prin integrarea tensiunii de aderență τ_b pe lungimea barei de armătură l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s este circumferința barei de armătură.

Forța limită F_lim este forța maximă din elementul barei de armătură, ținând cont de rezistența barei și de condițiile de ancoraj (aderența dintre beton și armătură, cârlige de ancoraj, bucle etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

unde C_s este circumferința barei de armătură, iar l este lungimea de la începutul barei până la punctul de interes.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

unde F_lim,add este forța suplimentară calculată din valoarea unghiului dintre elementele vecine. F_lim,2 trebuie să fie întotdeauna mai mică decât F_u.

Tipurile de ancoraj disponibile în CSFM includ bară dreaptă (adică fără reducerea capătului de ancoraj), cârlig la 90 de grade, cârlig la 180 de grade, aderență perfectă și bară continuă. Toate aceste tipuri, împreună cu coeficienții de ancoraj β corespunzători, sunt prezentate în Fig. 48 pentru armătura longitudinală. Valorile coeficienților de ancoraj adoptați sunt derivate din compararea ecuației din secțiunea ACI 318-19 25.4.3.1 cu ecuațiile preluate din secțiunea ACI 318-19 25.4.2.3. Trebuie remarcat că, deși sunt disponibile opțiuni diferite, CSFM distinge trei tipuri de capete de ancoraj: (i) fără reducerea lungimii de ancoraj, (ii) o reducere de 30% a lungimii de ancoraj în cazul unui ancoraj normalizat și (iii) aderență perfectă.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Coeficientul de ancoraj pentru etrieri este întotdeauna β = 1,0.

Pentru a respecta ACI, în calcul trebuie utilizat arcul de ancoraj; acesta este modificat prin coeficientul β, astfel încât utilizatorul trebuie să aleagă unul dintre tipurile de ancoraj disponibile la definirea condițiilor de început și de sfârșit ale armăturii. 

La proiectarea structurilor din beton întâlnim două mari grupe de suprafețe încărcate parțial (PLA): prima cuprinde reazemele, iar a doua zonele de ancoraj. 

Conform standardelor în vigoare pentru proiectarea structurilor din beton armat, ACI 318-19, cap. 22.8, în cazul reazemelor trebuie luate în considerare strivirea locală a betonului și forțele de întindere transversale. Pentru o încărcare uniform distribuită pe o suprafață A_c1, capacitatea portantă la compresiune a betonului poate fi majorată de până la două ori, în funcție de suprafața de distribuție de calcul A_c2. Vezi tabelul 22.8.3.2 din ACI 318-19.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Partially loaded areas for bearings according to ACI 318-19}}}$$

Pentru zonele de ancoraj post-tensionate, trebuie respectate prevederile din ACI 318-19, cap. 25.9.

Suprafața încărcată parțial trebuie armată suficient cu armătură transversală, dimensionată pentru a prelua forțele de despicare care apar în această zonă. Fără armătura transversală necesară, nu se poate considera majorarea capacității portante la compresiune a betonului.

Suprafețe încărcate parțial în CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Cu ajutorul CSFM, structurile din beton armat pot fi proiectate și verificate ținând cont de influența creșterii rezistenței la compresiune a betonului în suprafețele încărcate parțial. Deoarece CSFM este un model de tip perete (2D), iar suprafețele încărcate parțial reprezintă o problemă spațială (3D), a fost necesară găsirea unei soluții care să combine aceste două tipuri diferite de probleme (Fig. 50). Dacă funcția „suprafețe încărcate parțial” este activată, geometria admisibilă a conului se creează conform ACI (Fig. 49). Toate interferențele geometrice se rezolvă integral în 3D, pentru geometria specificată a elementului din beton și pentru dimensiunile fiecărei PLA. Ulterior, se creează un model de calcul al suprafeței încărcate parțial.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Modificarea modelului de material s-a dovedit a fi o abordare nepotrivită, în principal deoarece transferul proprietăților către plasa de elemente finite este problematic. S-a stabilit că o abordare independentă de plasa de elemente finite reprezintă o soluție mai potrivită. Pentru geometria cunoscută a conului de compresiune se creează biele fictive perfect coerente (Fig. 51 și Fig. 52). Aceste biele au proprietăți de material identice cu cele ale betonului utilizat în model, inclusiv diagrama efort-deformație. Forma conului determină direcția bielelor, care distribuie treptat încărcarea de la nivelul PLA către suprafața de distribuție de calcul. Densitatea suprafeței bielelor fictive este variabilă în fiecare parte a conului și adaugă o suprafață fictivă de beton în direcția încărcării. La nivelul suprafeței încărcate (A_c1) se adaugă o suprafață fictivă de beton, conform raportului $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  (unde A_real este suprafața reazemului considerată în modelul de calcul 2D), iar această suprafață scade liniar până la zero spre suprafața de distribuție de calcul (A_c2). Această soluție asigură faptul că tensiunea de compresiune din beton este constantă pe întregul volum al conului.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Rezistența suprafeței încărcate parțial este majorată în funcție de raportul dintre suprafața de distribuție de calcul și suprafața încărcată, conform ACI 318-19, cap. 22.8.  Trebuie reținut că acesta este un model de calcul care nu poate descrie cu precizie starea de tensiuni pe o suprafață încărcată parțial, a cărei distribuție reală este mult mai complexă. Totuși, această soluție permite distribuirea corectă a încărcării în întregul model, respectând în același timp capacitatea portantă majorată a suprafeței încărcate parțial. În plus, introduce corect tensiunile transversale din această zonă, pentru a dimensiona corect armătura pentru forțele de despicare.

Tensiunea admisibilă de contact de 0.85f_c' este indicată în tabelul 22.8.3.2. Densitatea este limitată astfel încât să nu fie depășită capacitatea maximă dublă dată de formula din tabelul 22.8.3.2(b).  

Pentru zonele de ancoraj, PLA se utilizează în aplicație în același mod ca pentru reazeme. Din acest motiv, zonele locale definite în ACI 318-19, cap. 25.9, trebuie verificate manual conform ACI 318-19, 25.9.3. Prin urmare, PLA se utilizează doar pentru a evita depășirea criteriului de deformație în zona locală și, implicit, oprirea prematură a calculului. Pe de altă parte, conform ACI 318-19, art. 25.9.4.3.1 (b), armătura care preia tensiunile în plan de plesnire și de exfoliere poate fi verificată direct și avantajos în aplicație.

Verificările la starea limită de serviciu se efectuează pentru limitarea tensiunilor, deschiderea fisurilor și limitele săgeții. Tensiunile se verifică în beton și în elementele de armătură conform ACI 318-19, similar cu cele specificate pentru verificarea la rezistență.

Limitarea tensiunilor

Tensiunile admisibile de compresiune din beton la încărcările de serviciu se verifică pentru elementele precomprimate din clasele U și T. Conform Tabelului R24.5.2.1, nu este necesară verificarea limitării tensiunilor pentru betonul considerat fisurat. Utilizatorul trebuie să stabilească clasa elementului precomprimat în setările elementului de calcul.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}$$

Tensiunea admisibilă de compresiune pentru elementele supuse la încărcări tranzitorii este specificată în ACI 318-19 24.5.4.1 ca 0.6f_c'. Limita tensiunii de compresiune de 0.45f_c' a fost stabilită pentru a reduce probabilitatea de cedare a elementelor din beton precomprimat sub încărcări repetate. Această limită a părut, de asemenea, rezonabilă pentru a evita deformațiile excesive din curgere lentă. La valori mai mari ale tensiunii, deformațiile din curgere lentă tind să crească mai rapid odată cu creșterea tensiunii aplicate.

Tensiunea din beton la compresiune se evaluează ca raport între tensiunea principală maximă de compresiune f_c = σ_c2 obținută din analiza cu elemente finite pentru starea limită de serviciu și valoarea limită, stabilită pe baza Tabelului 24.5.4.1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

În aplicație, precomprimarea plus încărcarea de lungă durată este tratată ca o combinație de lungă durată, iar precomprimarea plus încărcarea totală ca o combinație de scurtă durată.

Săgeata

În funcție de tipul de combinație selectat (de lungă durată sau de scurtă durată), se evaluează săgeata de lungă durată sau cea de scurtă durată. Valoarea maximă admisibilă a săgeții trebuie stabilită de utilizator și trebuie considerată conform ACI 138-19 24.2. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

În aplicație, este posibil să se afișeze separat săgețile din încărcarea permanentă Δ_DL și din încărcarea utilă Δ_LL, precum și săgeata totală Δ_Tot (permanentă + utilă), afișând în același timp forma deformată.

Săgețile la capetele tăiate nu pot fi verificate.

Deschiderea fisurilor

Deschiderea și orientarea fisurilor se calculează pentru combinațiile de scurtă durată sau de lungă durată la starea limită de serviciu. Deoarece ACI nu prescrie direct limite pentru deschiderea fisurilor, utilizatorul trebuie să specifice o deschidere limită a fisurilor w_lim.

Verificările sunt prezentate astfel:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

unde:

w         deschiderea fisurilor de scurtă sau de lungă durată, calculată prin analiza cu elemente finite,

w_lim     valoarea limită a deschiderii fisurilor, definită de utilizator.

Metoda de calcul al deschiderii fisurilor utilizată în aplicație, descrisă mai detaliat și în acest document, este conformă cu ACI 224R-01. Prin urmare, este posibil să se utilizeze Tabelul 4.1 din ACI 224R-01 pentru a determina valoarea limită a deschiderii fisurilor.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}$$

Există două moduri de calcul al deschiderii fisurilor (fisurare stabilizată și nestabilizată). În cazul general (fisurare stabilizată), deschiderea fisurii se calculează prin integrarea deformațiilor pe elementele 1D ale barelor de armătură. Direcția fisurii se calculează apoi din cele mai apropiate trei puncte de integrare (față de centrul elementului finit 1D de armătură considerat) ale elementelor 2D de beton. Deși această abordare a calculului direcțiilor fisurilor nu corespunde poziției reale a fisurilor, ea oferă totuși valori reprezentative, care conduc la rezultate ale deschiderii fisurilor ce pot fi comparate cu valorile deschiderii fisurilor impuse de cod, în poziția barei de armătură.

Beton - Rezistență

Modelul de beton implementat pentru calculul rezistenței în CSFM se bazează pe ipotezele de calcul la rezistență din AASHTO LRFD privind echilibrul și compatibilitatea deformațiilor. Conform AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.6.2.1, rezistența la întindere a betonului se neglijează.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementarea CSFM în IDEA StatiCa Detail nu consideră un criteriu explicit de cedare în termeni de deformații pentru betonul comprimat (adică, după atingerea tensiunii maxime, se consideră o ramură plastică cu ε_c0 având valoarea maximă de 5%, în timp ce AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.6.2.1 presupune o deformație ultimă mai mică de 0,3%). Această simplificare nu permite verificarea capacității de deformare a structurilor care cedează la compresiune. Rezistența este însă estimată corect atunci când, pe lângă factorul pentru betonul fisurat (k_c2 definit în (Fig. 57)), se ia în considerare și creșterea fragilității betonului odată cu creșterea rezistenței sale, prin intermediul factorului de reducere $\eta_{fc}$ definit în fib Model Code 2010 astfel:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

unde:

α₁ este factorul de reducere a rezistenței la compresiune a betonului, definit în AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.6.2.2. Atunci când se utilizează o diagramă efort-deformație parabolă-dreptunghi, este necesar să se reducă tensiunea maximă de compresiune cu acest factor. Astfel se mediază distribuția tensiunilor în zona comprimată, în așa fel încât rezistența la compresiune rezultată să fie mai mică sau egală cu rezistența la compresiune calculată folosind o diagramă efort-deformație cu ramură plastică descendentă.

Φ_c este factorul de rezistență pentru beton. Valoarea implicită este stabilită conform AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.5.4.2.

k_c2 este factorul de reducere datorat prezenței fisurilor transversale.

f'_c este rezistența betonului pe cilindru (în MPa pentru definirea $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 este un factor de reducere bazat pe aceleași ipoteze ca factorul de eficiență a betonului ν dat în AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a și Tabelul 5.8.2.5.3a-1, cu excepția faptului că în CSFM prezența unei tensiuni principale de întindere perpendiculare pe tensiunea principală de compresiune este verificată pentru fiecare element finit (nu doar pentru nodurile modelului Bielă-tiranți).

Beton – Exploatare

Analiza la exploatare conține anumite simplificări ale modelelor constitutive utilizate pentru analiza rezistenței. Ramura plastică a curbei efort-deformație a betonului comprimat este ignorată, iar ramura elastică este liniară și infinită. Legea de rezistență redusă a betonului comprimat nu este luată în considerare. Aceste simplificări îmbunătățesc stabilitatea numerică și viteza de calcul și nu reduc generalitatea soluției atâta timp cât limitele tensiunilor rezultate în materiale la exploatare se află clar sub punctele lor de curgere (în concordanță cu abordarea stării limită de serviciu din AASHTO LRFD). Prin urmare, modelele simplificate utilizate pentru exploatare sunt valabile doar dacă sunt îndeplinite toate cerințele de verificare.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Efecte pe termen lung

Legea constitutivă pe termen lung (curba roșie din Fig. 59) este utilizată pentru calculul deschiderii fisurilor, al săgeții totale și pentru limitarea tensiunilor în elementele precomprimate, atunci când efectul pe termen lung este selectat în bara de instrumente din partea de sus. În aplicația IDEA StatiCa Detail, modulul de elasticitate efectiv este utilizat pentru verificarea efectelor pe termen lung, așa cum se menționează în AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

unde:
E_c este modulul de elasticitate definit în AASHTO LRFD (2024) articolul 5.4.2.4
ψ este coeficientul de curgere lentă definit în AASHTO LRFD (2024) articolul 5.4.2.3.2

Factorii de curgere lentă sunt definiți de utilizator în proprietățile materialului.

Efecte pe termen scurt

Pentru efectuarea verificărilor pe termen scurt, se realizează un alt calcul în care toate încărcările sunt calculate fără factorul de curgere lentă. Ambele calcule, pentru verificările pe termen lung și pe termen scurt, sunt ilustrate în Fig. 59.

Armătură

Pentru armătura nepretensionată se consideră o diagramă efort-deformație perfect elasto-plastică, cu limită de curgere definită, conform AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.4.3. Definirea acestei diagrame necesită cunoașterea doar a proprietăților de bază ale armăturii – rezistența și modulul de elasticitate.

Diagrama efort-deformație a armăturii poate fi definită și de utilizator, dar în acest caz nu este posibil să se considere efectul de participare a betonului întins (nu este posibil să se calculeze deschiderea fisurilor). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

unde:

Φ_s este factorul de rezistență pentru armătură. Valoarea implicită este stabilită conform AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.5.4.2.

f_y este limita de curgere a armăturii

E_s este modulul de elasticitate al armăturii

Valoarea de 10% este selectată ca deformație limită la care calculul se oprește. Aceasta este considerată sigură pe baza ASTM A955/A955M-20c Articolul 7.

Participarea betonului întins (Fig. 61)  este luată în considerare automat prin modificarea relației efort-deformație introduse pentru bara de armătură liberă, astfel încât să fie surprinsă rigiditatea medie a barelor înglobate în beton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil respectă codurile moderne de proiectare. Deoarece modelele de calcul utilizează numai proprietăți standard ale materialelor, formatul coeficienților parțiali de siguranță prescris în codurile de proiectare poate fi aplicat fără nicio adaptare. În acest mod, încărcările de intrare sunt amplificate, iar proprietățile caracteristice ale materialelor sunt reduse cu ajutorul factorilor de rezistență corespunzători, exact ca în calculul conventional al betonului.

Valorile factorilor de rezistență sunt prescrise în AASHTO LRFD (2024), Articolul 5.5.4. Valorile implicite pentru beton și armătură sunt alese conservator, pornind de la ipoteza că exemplul tipic rezolvat este o zonă D - un caz tipic pentru metoda SaT. Totuși, este posibil să se modeleze orice tip de element. Prin urmare, dacă se verifică un element controlat la compresiune sau la întindere, utilizatorul are posibilitatea de a modifica valoarea factorului de reducere a rezistenței în Preferințe.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Factorii de încărcare și combinațiile de încărcări se definesc conform AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Articolul 3.4.1 și Tabelele 3.4.1-1 până la 3.4.1-6. AASHTO LRFD specifică explicit combinațiile de încărcări pentru starea limită de rezistență (Strength I până la Strength V), precum și combinațiile de încărcări pentru starea de serviciu (Service I până la Service IV), inclusiv factorii de încărcare corespunzători fiecărui caz.

Pentru fiecare șablon, programul include combinații de bază predefinite, care trebuie completate în funcție de elementul analizat.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Verificările diferite impuse de AASHTO sunt evaluate pe baza rezultatelor directe furnizate de model. Verificările se efectuează pentru rezistența betonului, rezistența armăturii și ancoraj (tensiuni tangențiale de aderență).

Rezistența betonului la compresiune este evaluată ca raport între tensiunea principală maximă de compresiune f_c (notată și σ₂ în Rezultate auxiliare), obținută din analiza cu elemente finite, și valoarea limită f'_c,lim.

Rezistența armăturii este evaluată atât la întindere, cât și la compresiune, ca raport între tensiunea din armătură în dreptul fisurilor f_s și valoarea limită specificată f_y,lim.

Tensiunea tangențială de aderență este evaluată independent, ca raport între tensiunea de aderență τ_b, calculată prin analiza cu elemente finite, și rezistența de aderență f_bu.

Totuși, deoarece rezistența de aderență nu este definită explicit în AASHTO, valoarea ei trebuie determinată cu ecuațiile care definesc lungimea de dezvoltare. Rezistența de aderență este, de fapt, datul principal pentru determinarea lungimii de dezvoltare; a se vedea, de exemplu, articolul AASHTO LRFD (2024) Article C5.10.8.2 sau NCHRP Report 733, Attachment E, pagina E-9.

Calculul descris în AASHTO LRFD (2024) Article 5.10.8.2.1 și 5.10.8.2.2 necesită cunoașterea distanței maxime între axele armăturii transversale pe lungimea l_d, a numărului de bare sau fire dezvoltate de-a lungul planului de despicare, a ariei totale a secțiunii transversale a întregii armături transversale și a altor mărimi geometrice care nu pot fi determinate în mod fiabil în modelul din aplicația Detail pentru date generale de intrare. Din acest motiv, a fost adoptată o abordare din AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1, în modul următor:

Presupunem că, dacă ancorăm bara de armătură într-un bloc de beton pe lungimea de dezvoltare l_d sau mai mult, extragerea armăturii va conduce la ruperea armăturii și nu la extragerea ei din beton. Aceasta se poate scrie cu următoarea formulă.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

unde:

• d_b este diametrul barei de armătură
• l_d este lungimea de dezvoltare
• f_bu este rezistența de aderență
• f_y este limita de curgere a armăturii
• A_b este aria barei de armătură

Din relațiile de mai sus se poate deduce cu ușurință formula pentru calculul rezistenței de aderență.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Lungimea de dezvoltare de bază la întindere l_db este determinată în AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 astfel:

Pentru bare nr. 11 și mai mici:   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Pentru bare nr. 14:   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Pentru bare nr. 18:   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

unde:

• A_b este aria barei de armătură (in²)
• f_y este limita de curgere specificată a armăturii (ksi)
• f'_c este rezistența specificată la compresiune a betonului la 28 de zile, dacă nu este specificată o altă vârstă (ksi)
• d_b este diametrul barei de armătură (in)

Apoi, prin înmulțirea lungimii de dezvoltare de bază l_db cu factorii descriși în AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.2 și 5.11.2.1.3, se determină lungimea de dezvoltare l_d ca dată de intrare.

Factorii de modificare care reduc lungimea de dezvoltare, din 5.11.2.1.3, sunt întotdeauna egali cu 1,0 în aplicație. Factorul de modificare pentru armătura orizontală sau aproape orizontală din partea superioară este egal cu 1,4 pentru condiții de aderență „slabe”, conform figurii următoare:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

Direcția de turnare a betonului poate fi setată în aplicație.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}$$

Toți ceilalți factori determinați în 5.11.2.1.2 sunt egali cu 1,0, deoarece este acceptat numai beton de greutate normală și numai armătură fără acoperire de protecție.

Tensiunea tangențială de aderență și rezistența de aderență ale barelor comprimate se calculează analog barelor întinse, dar se utilizează ecuațiile din AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.2.

Există și opțiunea de a modela bare netede. Mai multe informații se găsesc aici: Bare netede în Detail

Forța totală F_tot și forța limită F_lim

Forța totală F_tot este un rezultat al analizei cu elemente finite și poate fi definită în două moduri.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

unde A_b este aria barei de armătură și f_s este tensiunea din bară.

Sau ca sumă între forța de ancoraj F_a și forța de aderență F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

unde F_a este forța reală din arcul de ancoraj, iar F_bond este forța de aderență, care se poate obține prin integrarea tensiunii de aderență τ_b pe lungimea barei de armătură l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s este perimetrul barei de armătură.

Forța limită F_lim este forța maximă din elementul barei de armătură, ținând cont de rezistența barei și de condițiile de ancoraj (aderența dintre beton și armătură, precum și cârlige de ancoraj, bucle etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

unde C_s este perimetrul barei de armătură, iar l este lungimea de la începutul barei până la punctul de interes.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

unde F_lim,add este forța suplimentară calculată din mărimea unghiului dintre elementele învecinate. F_lim,2 trebuie să fie întotdeauna mai mică decât F_u.

Tipurile de ancoraj disponibile în CSFM includ bară dreaptă (adică fără reducerea lungimii de ancoraj la capăt), cârlig la 90 de grade, cârlig la 180 de grade, aderență perfectă și bară continuă. Toate aceste tipuri, împreună cu coeficienții de ancoraj β corespunzători, sunt prezentate în Fig. 67 pentru armătura longitudinală. Valorile coeficienților de ancoraj adoptați sunt derivate din compararea ecuației din secțiunea AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1 cu ecuațiile preluate din secțiunea AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1. Trebuie remarcat că, în ciuda diferitelor opțiuni disponibile, CSFM distinge trei tipuri de capete de ancoraj: (i) fără reducerea lungimii de ancoraj, (ii) o reducere de 30% a lungimii de ancoraj în cazul unui ancoraj standardizat și (iii) aderență perfectă.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Coeficientul de ancoraj pentru etrieri (disponibil pentru elementul de grindă) este întotdeauna β = 1,0.

Pentru a respecta AASHTO, în calcul trebuie utilizat arcul de ancoraj. Arcul de ancoraj este modificat prin coeficientul β, astfel încât utilizatorul trebuie să aleagă unul dintre tipurile de ancoraj disponibile la definirea condițiilor de început și de sfârșit ale armăturii. 

La proiectarea structurilor din beton, întâlnim două mari grupe de suprafețe încărcate parțial (PLA) – prima cuprinde reazemele, iar cea de-a doua zonele de ancoraj. 

Conform standardelor în vigoare pentru proiectarea structurilor din beton armat, pentru reazeme trebuie luate în considerare strivirea locală a betonului și forțele transversale de întindere. Pentru o încărcare uniform distribuită pe o suprafață, A₁, capacitatea de rezistență la compresiune a betonului poate fi majorată de până la două ori, în funcție de aria de distribuție de calcul A₂. A se vedea AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.6.5.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Partially loaded areas for bearings according to AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5}}}$$

Pentru zonele de ancoraj post-tensionate, trebuie respectat AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.8.4.4.

Suprafața încărcată parțial trebuie armată suficient cu armătură transversală, dimensionată pentru preluarea forțelor de despicare care apar în această zonă. Fără armătura transversală necesară, nu este posibil să se considere majorarea capacității de rezistență la compresiune a betonului.

Suprafețe încărcate parțial în CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 69\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Cu ajutorul CSFM, este posibil să se proiecteze și să se verifice structuri din beton armat, ținând cont de influența creșterii rezistenței la compresiune a betonului în suprafețele încărcate parțial. Deoarece CSFM este un model de tip perete (2D), iar suprafețele încărcate parțial reprezintă o problemă spațială (3D), a fost necesar să se găsească o soluție care să combine aceste două tipuri diferite de probleme (Fig. 69). Dacă funcția „suprafețe încărcate parțial” este activată, geometria conului admisibil este generată conform ACI (Fig. 68). Toate interferențele geometrice sunt rezolvate complet în 3D pentru geometria specificată a elementului din beton și pentru dimensiunile fiecărei PLA. Ulterior, este creat un model de calcul al suprafeței încărcate parțial.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 70\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Modificarea modelului de material s-a dovedit a fi o abordare nepotrivită, în principal deoarece transferul proprietăților către plasa de elemente finite este problematic. S-a stabilit că o abordare independentă de plasa de elemente finite reprezintă o soluție mai adecvată. Pentru geometria cunoscută a conului de compresiune sunt create biele fictive perfect coerente (Fig. 70 și Fig. 71). Aceste biele au proprietăți de material identice cu cele ale betonului utilizat în model, inclusiv diagrama efort-deformație. Forma conului determină direcția bielelor, care distribuie treptat încărcarea de la PLA către aria de distribuție de calcul. Densitatea pe unitatea de arie a bielelor fictive este variabilă în fiecare parte a conului și adaugă o arie fictivă de beton în direcția încărcării. La nivelul suprafeței încărcate (A₁), se adaugă o arie fictivă de beton conform raportului $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} - A_{real}$  (unde A_real este aria reazemului considerată în modelul de calcul 2D), iar această arie scade liniar până la zero spre aria de distribuție de calcul (A₂). Această soluție asigură că tensiunea de compresiune din beton este constantă pe întregul volum al conului.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{2}}{A_{1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 71\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Rezistența suprafeței încărcate parțial este majorată conform raportului dintre aria de distribuție de calcul și aria încărcată, prevăzut în AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.6.5.  Trebuie reținut că acesta este un model de calcul care nu poate descrie cu precizie starea de tensiuni din suprafața încărcată parțial, a cărei distribuție reală este mult mai complexă. Totuși, această soluție permite distribuirea corectă a încărcării în întregul model, respectând în același timp capacitatea portantă majorată a suprafeței încărcate parțial. În plus, introduce corect tensiunile transversale în această zonă, pentru a dimensiona corect armătura pentru forțele de despicare.

Tensiunea admisibilă de contact de 0.85f_c' este indicată în AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.8.4.4. Densitatea este limitată astfel încât capacitatea dublă maximă, dată în formula 5.6.5-3, să nu fie depășită.  

Pentru zonele de ancoraj, PLA este utilizată în aplicație în același mod ca pentru reazeme. Din acest motiv, tensiunile de compresiune din zonele locale și globale, definite în Articolele 5.8.4.4 și 5.8.4.5, trebuie verificate manual. Prin urmare, PLA este utilizată doar pentru a evita depășirea criteriului de deformație în zona locală și, astfel, oprirea prematură a calculului. Pe de altă parte, armătura care preia tensiunile de plesnire (bursting), de exfoliere în plan (spalling) și de întindere pe margine în zonele generale (definite în Articolul 5.8.4.5) poate fi verificată direct și avantajos în aplicație.

Verificările la starea limită de serviciu se efectuează pentru limitarea tensiunilor, lățimea fisurilor și limitele săgeții. Tensiunile se verifică în beton și în elementele de armătură conform AASHTO LRFD, într-un mod similar celui specificat pentru verificarea la rezistență.

Limitarea tensiunilor

Tensiunea de compresiune din beton se evaluează numai pentru elementele precomprimate (când cazul de încărcare Prestressing este prezent în model), ca raport între tensiunea principală de compresiune maximă f_c = σ_c2 obținută din analiza cu EF pentru starea limită de serviciu și valorile limită, care sunt stabilite pe baza tabelului 5.9.2.3.2a-1 din AASHTO LRFD.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 72\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

În aplicație, precomprimarea plus încărcarea permanentă este tratată ca o încărcare de lungă durată (Sustain), iar precomprimarea, încărcarea permanentă și încărcarea tranzitorie ca o încărcare totală (Total).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 73\qquad Serviceability combination types}}}$$

În plus, este întotdeauna posibil să se efectueze o analiză atât pentru efectele pe termen scurt, cât și pentru cele pe termen lung, utilizând modele de material care țin sau nu seama de coeficientul de curgere lentă — a se vedea secțiunea „Modele de material (AASHTO)”.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 74\qquad Serviceability material models}}}$$

Săgeata

Săgețile instantanee și săgețile totale se evaluează pentru fiecare combinație în care evaluarea săgeții este activată. 

• Pentru săgețile instantanee se utilizează modulul de elasticitate E_c conform articolului 5.4.2.4 din AASHTO LRFD (2024). 
• Pentru săgețile totale se utilizează modulul de elasticitate efectiv E_c,eff conform articolului C5.12.5.3.6 din AASHTO LRFD (2024). 

A se vedea capitolul „Modele de material (AASHTO) - Beton – Exploatare” din acest document.

Verificarea săgeții se activează în bara de instrumente din partea de sus. Utilizatorul stabilește valorile limită ale săgeții conform articolului 2.5.2.6.2 din AASHTO LRFD (2024), în funcție de tipul elementului analizat.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 75\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

Săgețile la capetele tăiate nu pot fi verificate.

Lățimea fisurilor

Lățimile și orientările fisurilor se calculează numai pentru efectele pe termen lung (utilizând E_c,eff conform articolului C5.12.5.3.6 din AASHTO LRFD (2024)), pentru combinațiile în care evaluarea lățimii fisurilor este activată. Verificările bazate pe valorile limită specificate de utilizator sunt următoarele:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

unde:

w         lățimea fisurii calculată prin analiza cu EF,

w_lim     valoarea limită a lățimii fisurii definită de utilizator.

Valoarea limită w_lim se determină în funcție de tipul elementului și de clasa de expunere, în conformitate cu articolul 5.6.7 din AASHTO LRFD (2024) și cu comentariile aferente. 

Există două modalități de calcul al lățimii fisurilor (fisurare stabilizată și fisurare nestabilizată). În cazul general (fisurare stabilizată), lățimea fisurii se calculează prin integrarea deformațiilor pe elementele 1D ale barelor de armătură. Direcția fisurii se calculează apoi din cele mai apropiate trei puncte de integrare (față de centrul elementului finit 1D de armătură considerat) ale elementelor 2D de beton. Deși această abordare de calcul al direcțiilor fisurilor nu corespunde poziției reale a fisurilor, ea furnizează totuși valori reprezentative, care conduc la rezultate ale lățimii fisurilor ce pot fi comparate cu valorile lățimii fisurilor impuse de cod, în poziția barei de armătură.

Beton - Rezistență

Modelul de beton implementat pentru calculele de rezistență în CSFM se bazează pe curba parabolic-plastică efort-deformație. Rezistența la întindere este neglijată, ca în proiectarea clasică a betonului armat.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 76\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementarea CSFM în IDEA StatiCa Detail nu consideră un criteriu explicit de cedare exprimat în deformații pentru betonul comprimat (adică, după atingerea tensiunii maxime, se consideră o ramură plastică cu ε_c0 având valoarea maximă de 5%, în timp ce AS 3600 Cl. 8.3.1 presupune o deformație ultimă mai mică de 0,3%). Această simplificare nu permite verificarea capacității de deformare a structurilor care cedează prin compresiune. Cu toate acestea, rezistența este estimată corect atunci când, pe lângă factorul pentru betonul fisurat (k_c2 definit în (Fig. 77)), se ia în considerare și creșterea fragilității betonului odată cu creșterea rezistenței, prin intermediul factorului de reducere $\eta_{fc}$ definit în fib Model Code 2010 astfel: