2.5 Types d'éléments finis

Le modèle d'analyse non linéaire (inélastique) par éléments finis est constitué de plusieurs types d'éléments finis utilisés pour modéliser le béton, le ferraillage et l'adhérence entre les deux. Les éléments de béton et de ferraillage sont d'abord maillés indépendamment, puis reliés entre eux par des contraintes multipoints (éléments MPC). Cela permet au ferraillage d'occuper une position relative arbitraire par rapport au béton. Si la vérification de la longueur d'ancrage doit être calculée, des éléments d'adhérence et des éléments ressorts d'extrémité d'ancrage sont insérés entre le ferraillage et les éléments MPC.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Béton

Le béton est modélisé à l'aide d'éléments coques quadrilatéraux et triangulaires, CQUAD4 et CTRIA3. Ceux-ci peuvent être définis respectivement par quatre ou trois nœuds. Seul un état de contraintes planes est supposé exister dans ces éléments, c'est-à-dire que les contraintes ou les déformations dans la direction z ne sont pas prises en compte.

Chaque élément comporte quatre ou trois points d'intégration, placés approximativement à 1/4 de sa dimension. En chaque point d'intégration de chaque élément, les directions des déformations principales α₁, α₂ sont calculées. Dans ces deux directions, les contraintes principales σ_c1, σ_c2 et les rigidités E₁, E₂ sont évaluées selon le diagramme contrainte-déformation du béton spécifié, conformément à la Fig. 2. Il convient de noter que l'effet de l'adoucissement en compression couple le comportement de la direction principale comprimée à l'état réel de l'autre direction principale.

Ferraillage

Les armatures sont modélisées par des éléments 1D « barres » à deux nœuds (CROD), qui possèdent uniquement une rigidité axiale. Ces éléments sont reliés à des éléments d'« adhérence » spéciaux, développés afin de modéliser le comportement de glissement entre une barre d'armature et le béton environnant. Ces éléments d'adhérence sont ensuite reliés par des éléments MPC (contraintes multipoints) au maillage représentant le béton. Cette approche permet le maillage indépendant du ferraillage et du béton, tandis que leur liaison est assurée ultérieurement.

Éléments d'adhérence

La longueur d'ancrage est vérifiée en introduisant les contraintes de cisaillement d'adhérence entre les éléments de béton (2D) et les éléments de barre d'armature (1D) dans le modèle par éléments finis. À cette fin, un type d'élément fini d'« adhérence » a été développé.

La définition de l'élément d'adhérence est similaire à celle d'un élément coque (CQUAD4). Il est également défini par 4 nœuds, mais contrairement à une coque, il ne possède une rigidité non nulle qu'en cisaillement entre les deux nœuds supérieurs et les deux nœuds inférieurs. Dans le modèle, les nœuds supérieurs sont reliés aux éléments représentant le ferraillage et les nœuds inférieurs à ceux représentant le béton. Le comportement de cet élément est décrit par la contrainte d'adhérence, τ_b, sous la forme d'une fonction bilinéaire du glissement entre les nœuds supérieurs et inférieurs, δ_u, voir Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

Le module de rigidité élastique de la relation adhérence-glissement, G_b, est défini comme suit :

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

où :

k_g            coefficient dépendant de la surface de la barre d'armature (par défaut k_g = 0,2)

E_c            module d'élasticité du béton (pris égal à E_cm dans le cas de l'EN)

Ø             le diamètre de la barre d'armature

Les valeurs de calcul (valeurs pondérées) de la contrainte de cisaillement d'adhérence ultime, f_bd, fournies par les normes de calcul sélectionnées, EN 1992-1-1 ou ACI 318-19, sont utilisées pour vérifier la longueur d'ancrage. L'écrouissage de la branche plastique est calculé par défaut comme G_b/10⁵.

Ressort d'ancrage

La mise en place d'extrémités d'ancrage sur les barres d'armature (c'est-à-dire coudes, crochets, boucles…), conformes aux prescriptions des normes de calcul, permet de réduire la longueur d'ancrage de base des barres (l_b,net) d'un certain facteur β (appelé « coefficient d'ancrage » ci-dessous). La valeur de calcul de la longueur d'ancrage (l_b) est alors calculée comme suit :

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

La réduction visée de l_b,net équivaut à l'activation de la barre d'armature à son extrémité, à un pourcentage de sa capacité maximale donné par le coefficient de réduction d'ancrage, comme illustré à la Fig. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

La réduction de la longueur d'ancrage est introduite dans le modèle par éléments finis au moyen d'un élément ressort à l'extrémité de la barre (Fig. 15), défini par le modèle constitutif présenté à la Fig. 15b. L'effort maximal transmis par ce ressort (F_au) est :

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

où :

β             le coefficient d'ancrage selon le type d'ancrage,

A_s            la section de la barre d'armature,

f_yd           la valeur de calcul (valeur pondérée) de la limite d'élasticité du ferraillage.