La progettazione e la verifica degli elementi in calcestruzzo vengono normalmente eseguite a livello sezionale (elementi 1D) o puntuale (elementi 2D). Questa procedura è descritta in tutte le norme per la progettazione strutturale, ad esempio in (EN 1992-1-1 o ACI 318-19) ed è utilizzata nella pratica quotidiana dell'ingegneria strutturale. Tuttavia, non sempre si sa o si tiene presente che la procedura è accettabile solo nelle zone in cui vale l'ipotesi di Bernoulli-Navier di distribuzione piana delle deformazioni (denominate regioni B). I punti in cui questa ipotesi non è valida sono chiamati regioni di discontinuità o regioni disturbate (regioni D). Esempi di regioni B e D di elementi 1D sono riportati in (Fig. 1). Si tratta, ad esempio, di zone di appoggio, parti in cui sono applicati carichi concentrati, punti in cui si verifica una brusca variazione della sezione trasversale, aperture, ecc. Nella progettazione di strutture in calcestruzzo si incontrano molte altre regioni D, quali pareti, diaframmi di ponti, mensole corte, ecc. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}$$

In passato, per il dimensionamento delle regioni di discontinuità venivano utilizzate regole di progetto semi-empiriche. Fortunatamente, negli ultimi decenni queste regole sono state in gran parte superate dai modelli puntone-e-tirante (Schlaich et al., 1987) e dai campi di tensione (Marti 1985), che sono presenti nelle attuali norme di progetto e sono frequentemente utilizzati dai progettisti. Questi modelli sono strumenti potenti e meccanicamente coerenti. Si noti che i campi di tensione possono essere in generale continui o discontinui e che i modelli puntone-e-tirante sono un caso particolare di campi di tensione discontinui.

Nonostante l'evoluzione degli strumenti di calcolo negli ultimi decenni, i modelli Puntone-e-tirante sono ancora essenzialmente utilizzati come calcoli manuali. La loro applicazione a strutture reali è noiosa e dispendiosa in termini di tempo, poiché sono necessarie iterazioni e devono essere considerati diversi casi di carico. Inoltre, questo metodo non è adatto per la verifica dei criteri di esercizio (deformazioni, ampiezze delle fessure, ecc.).

L'interesse degli ingegneri strutturali per uno strumento affidabile e rapido per la progettazione delle regioni D ha portato alla decisione di sviluppare il nuovo Metodo del Campo di Tensioni Compatibile, un metodo di progettazione dei campi di tensione assistito da computer che consente la progettazione e la verifica automatiche di elementi strutturali in calcestruzzo soggetti a carichi nel piano.

Il Metodo del Campo di Tensioni Compatibile (CSFM) è un metodo di analisi continua dei campi di tensione basato sugli elementi finiti, in cui le soluzioni classiche dei campi di tensione sono integrate da considerazioni cinematiche, ovvero lo stato di deformazione viene valutato in tutta la struttura. Pertanto, la resistenza a compressione efficace del calcestruzzo può essere calcolata automaticamente in base allo stato di deformazione trasversale, in modo analogo alle analisi dei campi di compressione che tengono conto dell'ammorbidimento a compressione  (Vecchio e Collins 1986; Kaufmann e Marti 1998) e al metodo EPSF (Fernández Ruiz e Muttoni 2007). Inoltre, il CSFM considera l'irrigidimento a trazione, fornendo rigidezze realistiche agli elementi, e copre tutte le prescrizioni delle norme di progetto (inclusi gli aspetti di esercizio e di capacità deformativa) non affrontate in modo coerente dagli approcci precedenti. Il CSFM utilizza le comuni leggi costitutive uniassiali fornite dalle norme di progetto per il calcestruzzo e l'armatura. Queste sono note in fase di progetto, il che consente di utilizzare il metodo dei coefficienti parziali di sicurezza. Di conseguenza, i progettisti non devono fornire proprietà dei materiali aggiuntive, spesso arbitrarie, come solitamente richiesto per le analisi FE non lineari, rendendo il metodo perfettamente adatto alla pratica professionale.

Per favorire l'uso dei campi di tensione assistiti da computer da parte degli ingegneri strutturali, questi metodi dovrebbero essere implementati in ambienti software di facile utilizzo. A tal fine, il CSFM è stato implementato in IDEA StatiCa Detail; un nuovo software commerciale di facile utilizzo sviluppato congiuntamente dall'ETH Zurich e dalla società di software IDEA StatiCa nell'ambito del progetto DR-Design Eurostars-10571.

Il CSFM considera la massima tensione principale di compressione nel calcestruzzo (σ_c2r) e le tensioni nell'armatura (σ_sr) in corrispondenza delle fessure, trascurando la resistenza a trazione del calcestruzzo (σ_c1r = 0), ad eccezione del suo effetto di irrigidimento sull'armatura. La considerazione dell'irrigidimento a trazione consente di simulare le deformazioni medie dell'armatura (ε_m). Si considerano fessure fittizie, rotanti e prive di tensioni, che si aprono senza scorrimento (Fig. 2a), e si tiene conto anche dell'equilibrio in corrispondenza delle fessure insieme alle deformazioni medie dell'armatura. 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}$

Nonostante la loro semplicità, ipotesi simili si sono dimostrate in grado di fornire previsioni accurate per gli elementi in calcestruzzo armato soggetti a carichi nel piano (Kaufmann 1998; Kaufmann e Marti 1998), a condizione che l'armatura prevista eviti rotture fragili alla fessurazione. Inoltre, il fatto di non considerare alcun contributo della resistenza a trazione del calcestruzzo al carico ultimo è coerente con i principi delle normative di progetto moderne, che si basano per lo più sulla teoria della plasticità.

Tuttavia, il CSFM non è adatto agli elementi snelli privi di armatura trasversale, poiché per tali elementi vengono trascurati meccanismi rilevanti come l'ingranamento degli inerti, le tensioni residue di trazione all'apice della fessura e l'effetto spinotto, tutti basati direttamente o indirettamente sulla resistenza a trazione del calcestruzzo. Sebbene alcune normative di progetto consentano il dimensionamento di tali elementi sulla base di disposizioni semi-empiriche, il CSFM non è destinato a questo tipo di strutture potenzialmente fragili.

Calcestruzzo

Il modello del calcestruzzo implementato nel CSFM si basa sulle leggi costitutive uniassiali di compressione prescritte dalle normative di progetto per la verifica delle sezioni trasversali, che dipendono esclusivamente dalla resistenza a compressione. Per impostazione predefinita, il CSFM utilizza il diagramma parabola-rettangolo (Fig. 2c), ma il progettista può anche scegliere una relazione elastica perfettamente plastica più semplificata. Nelle verifiche secondo la normativa ACI è possibile utilizzare solo il diagramma tensione-deformazione parabola-rettangolo. Come accennato in precedenza, la resistenza a trazione viene trascurata, come avviene nel progetto classico del calcestruzzo armato.

La resistenza a compressione efficace viene valutata automaticamente per il calcestruzzo fessurato in base alla deformazione principale di trazione (ε₁) mediante il fattore di riduzione k_c2, come mostrato nelle Fig. 2c ed e. La relazione di riduzione implementata (Fig. 2e) è una generalizzazione della proposta del fib Model Code 2010 per le verifiche a taglio, che contiene un valore limite di 0,65 per il rapporto massimo tra la resistenza efficace del calcestruzzo e la resistenza a compressione del calcestruzzo, non applicabile ad altri casi di carico.

Il CSFM in IDEA StatiCa Detail non considera un criterio di rottura esplicito in termini di deformazioni per il calcestruzzo compresso (ovvero considera un ramo plastico infinito dopo il raggiungimento della tensione di picco). Questa semplificazione non consente di verificare la capacità deformativa delle strutture che giungono a rottura per compressione. Tuttavia, la loro capacità ultima viene prevista correttamente quando, oltre al fattore del calcestruzzo fessurato (k_c2) definito in (Fig. 2e), si considera l'aumento della fragilità del calcestruzzo al crescere della sua resistenza mediante il fattore di riduzione $\eta_{fc}$ definito nel fib Model Code 2010 come segue:

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

dove:

k_c è il fattore di riduzione globale della resistenza a compressione

k_c2 è il fattore di riduzione dovuto alla presenza di fessurazione trasversale

f_c è la resistenza caratteristica cilindrica del calcestruzzo (in MPa per la definizione di $\eta_{fc}$).

È prevista inoltre una riduzione del fattore k_c2 per ragioni di stabilità del calcolo. Questa riduzione non influenza la resistenza totale degli elementi. Assumendo il valore f_cd come resistenza di progetto del calcestruzzo (valore di progetto), il valore di k_c2 viene ridotto secondo le seguenti regole.

σ_c2r < 0,11f_cd                                           k_c2=1,0
0,11f_cd < σ_c2r < 0,37f_cd                          k_c2 è un'interpolazione lineare tra 1,0 e il valore ricavato dal
                                                              grafico mostrato nella Fig. 2f
σ_c2r > 0,37f_cd                                            k_c2 è ricavato direttamente dal grafico della Fig. 2f

Armatura

Si considera il diagramma tensione-deformazione bilineare idealizzato per le barre d'armatura nude, tipicamente definito dalle normative di progetto (Fig. 2d). La definizione di questo diagramma richiede soltanto la conoscenza, in fase di progetto, delle proprietà di base dell'armatura (resistenza e classe di duttilità). È inoltre possibile definire una relazione tensione-deformazione personalizzata.

L'irrigidimento a trazione viene tenuto in conto modificando la relazione tensione-deformazione in ingresso della barra d'armatura nuda, in modo da cogliere la rigidezza media delle barre inglobate nel calcestruzzo (ε_m).

Modello di aderenza

Lo scorrimento per aderenza tra armatura e calcestruzzo viene introdotto nel modello a elementi finiti considerando la relazione costitutiva semplificata rigido-perfettamente plastica presentata nella Fig. 2f, dove f_bd è il valore di progetto (valore amplificato) della tensione di aderenza ultima specificata dalla normativa di progetto per le specifiche condizioni di aderenza.

Si tratta di un modello semplificato con il solo scopo di verificare le prescrizioni di aderenza previste dalle normative di progetto (ovvero l'ancoraggio dell'armatura). La riduzione della lunghezza di ancoraggio in caso di uso di ganci, anelli e forme di barra simili può essere considerata definendo una determinata capacità all'estremità dell'armatura, come descritto più avanti. 

Flusso di lavoro e obiettivi

L'obiettivo degli strumenti di progettazione dell'armatura nel CSFM è aiutare i progettisti a determinare in modo efficiente la posizione e la quantità necessaria di barre di armatura. Per assistere / guidare l'utente in questo processo sono disponibili i seguenti strumenti: il calcolo lineare e l'ottimizzazione topologica.

Gli strumenti di progettazione dell'armatura considerano modelli costitutivi più semplificati rispetto a quelli utilizzati per la verifica finale della struttura. Pertanto, la definizione dell'armatura in questa fase deve essere considerata un pre-dimensionamento, da confermare/affinare durante la fase di verifica finale. L'uso dei diversi strumenti di progettazione dell'armatura è illustrato nel modello mostrato in Fig. 3, che consiste in un'estremità di una trave semplicemente appoggiata ad altezza variabile, soggetta a un carico uniformemente distribuito.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}$$

Analisi lineare

L'analisi lineare considera proprietà del materiale elastiche lineari e trascura l'armatura nella regione di calcestruzzo. Si tratta quindi di un calcolo molto rapido, che fornisce una prima indicazione sulla posizione delle zone tese e compresse. Un esempio di tale calcolo è mostrato in Fig. 4.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

Ottimizzazione topologica

L'ottimizzazione topologica è un metodo che mira a trovare la distribuzione ottimale del materiale in un dato volume per una determinata configurazione di carico. L'ottimizzazione topologica implementata in Idea StatiCa Detail utilizza un modello a elementi finiti lineare. Ogni elemento finito può avere una densità relativa da 0 a 100 %, che rappresenta la quantità relativa di materiale utilizzato. Queste densità degli elementi sono i parametri di ottimizzazione del problema. La distribuzione del materiale risultante è considerata ottimale per il dato insieme di carichi se minimizza l'energia di deformazione totale del sistema. Per definizione, la distribuzione ottimale è anche la geometria che presenta la massima rigidezza possibile per i carichi dati.

Il processo di ottimizzazione iterativo parte da una distribuzione di densità omogenea. Il calcolo viene eseguito per diverse frazioni di volume totale (20%, 40%, 60% e 80%), consentendo all'utente di selezionare il risultato più pratico. La forma risultante è costituita da tralicci con puntoni e tiranti e rappresenta la forma ottimale per le condizioni di carico date (Fig. 5).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

Il CSFM considera campi di tensione continui nel calcestruzzo (elementi finiti 2D), integrati da elementi discreti a "barra" che rappresentano l'armatura (elementi finiti 1D). Pertanto, l'armatura non è inglobata in modo diffuso negli elementi finiti 2D del calcestruzzo, ma è modellata esplicitamente e collegata a essi. Nel modello di calcolo si considera uno stato di tensione piano.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}$$

È possibile modellare sia pareti intere e travi, sia dettagli (parti) di travi (regione di discontinuità isolata, detta anche estremità tagliata). Nel caso di pareti e travi intere, i vincoli devono essere definiti in modo tale da ottenere una struttura (esternamente) isostatica (staticamente determinata) o iperstatica (staticamente indeterminata). Il trasferimento del carico alle estremità tagliate delle travi viene introdotto mediante una speciale zona di trasferimento di Saint-Venant, che garantisce una distribuzione realistica delle tensioni nella regione di dettaglio analizzata.

Per modellare la maggior parte delle situazioni che si presentano durante il processo di costruzione, nel CSFM sono disponibili numerosi tipi di supporti (Fig. 7) e di componenti utilizzati per la trasmissione del carico (Fig. 8).

Supporti

Il supporto puntuale può essere modellato in diversi modi, in modo che le tensioni non siano localizzate in un unico punto ma distribuite su un'area più ampia. La prima opzione è il supporto puntuale distribuito (Fig. 7a), che distribuisce uniformemente il carico sul bordo dell'elemento lungo la larghezza specificata.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Various types of supports:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}$$

Il supporto di tipo patch (Fig. 7d), invece, può essere posizionato solo all'interno di un volume di calcestruzzo con un raggio efficace definito. Viene quindi collegato mediante elementi rigidi ai nodi della rete di armatura compresi entro tale raggio. Per questo motivo è necessario definire una gabbia di armatura attorno al supporto di tipo patch.

Per una modellazione più precisa di alcuni scenari reali, esistono altre due opzioni per il supporto puntuale. La prima è il supporto puntuale con piastra di appoggio di larghezza e spessore definiti (Fig. 7b). È possibile specificare il materiale della piastra di appoggio, e l'intera piastra viene discretizzata in modo indipendente. La seconda è il supporto sospeso (Fig. 7e), utilizzabile per modellare ancoranti di sollevamento o pioli di sollevamento.

Il supporto lineare (Fig. 7c) può essere definito su un bordo (specificandone la lunghezza) o all'interno di un elemento (mediante una polilinea). È inoltre possibile specificarne la rigidezza e/o il comportamento non lineare (supporto in compressione/trazione o solo in compressione).

• Leggi le descrizioni dettagliate in Tipi di supporti in IDEA StatiCa Detail

Componenti di trasmissione del carico

Anche l'introduzione dei carichi nella struttura può essere modellata in diversi modi. Per i carichi puntuali è possibile utilizzare una piastra di appoggio (Fig. 8a), in modo analogo al supporto puntuale, che distribuisce il carico concentrato su un'area più ampia grazie a una piastra in acciaio di larghezza e spessore definiti. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Various types of load transfer components:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}$$

Il carico puntuale può essere applicato direttamente sulla superficie della struttura con un raggio d'azione definito (il carico è applicato agli elementi di calcestruzzo) oppure tramite uno speciale dispositivo di trasmissione denominato carico di tipo patch (Fig. 8b e Fig. 9). Il carico di tipo patch consente di trasmettere il carico direttamente all'armatura definita che si trova entro l'area del raggio efficace. Per garantire il corretto funzionamento del carico di tipo patch, è necessario definire (nelle proprietà dell'armatura) un gruppo di barre che sarà interconnesso con il carico. Quando l'armatura interconnessa non è definita, il meccanismo di trasferimento del carico è lo stesso del carico puntuale applicato sulla superficie di un elemento, e il carico viene trasferito tramite i vincoli agli elementi di calcestruzzo, non direttamente all'armatura. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars (a group of bars for the load transfer is defined);}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) load transferred through concrete (a group of bars for the load transfer is not defined).}}}$$

Gli ancoranti di sollevamento o i pioli di sollevamento possono essere modellati mediante un carico sospeso (Fig. 8c). L'utente può utilizzare un'area parzialmente caricata (Fig. 8d), che consente di aumentare la capacità portante del calcestruzzo in compressione secondo l'Eurocodice (questo tipo di componente di trasmissione del carico non può essere utilizzato quando è impostata la norma ACI). La struttura può inoltre essere caricata con carichi lineari sui bordi, con una polilinea generica o con carichi superficiali. L'applicazione Detail è in grado di considerare automaticamente il peso proprio nell'analisi.

In molti casi è necessario modellare solo un dettaglio (una parte) di un elemento strutturale, come l'appoggio di una trave, un'apertura a metà della trave, ecc. Questo approccio può portare a configurazioni di vincolo instabili ma ammissibili in IDEA StatiCa Detail (incluso il caso di assenza di vincoli). Tuttavia, in tali casi è necessario modellare anche la sezione che rappresenta il collegamento con la regione B adiacente, comprese le sollecitazioni interne in questa sezione che soddisfano l'equilibrio. In alcuni casi (ad es. nella modellazione dell'appoggio di una trave), queste sollecitazioni interne possono essere determinate automaticamente dal programma.

Tra la regione B e la regione di discontinuità analizzata viene creata automaticamente una zona di trasferimento di Saint-Venant, per garantire una distribuzione realistica delle tensioni nella regione analizzata. La larghezza della zona di trasferimento è pari a metà dell'altezza della sezione. Poiché lo scopo della zona di Saint-Venant è solo quello di ottenere una corretta distribuzione delle tensioni nel resto del modello, nella verifica non vengono visualizzati risultati relativi a quest'area e qui non vengono considerati criteri di arresto.

Il bordo della zona di Saint-Venant che rappresenta l'estremità tagliata della trave è modellato come rigido, ovvero può ruotare ma deve rimanere piano. Ciò si ottiene collegando tutti i nodi FEM del bordo a un nodo separato posto nel baricentro della sezione, mediante un elemento rigido (RBE2). Le sollecitazioni interne dell'elemento possono quindi essere applicate in questo nodo, come mostrato in Fig. 10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}$$

La riduzione della sezione trasversale viene eseguita automaticamente per le strutture definite come trave o giunto di telaio (definite dall'asse x e da una sezione trasversale). Questa modifica viene applicata automaticamente alle sezioni trasversali con ali molto larghe (Fig. 11) e si basa sull'ipotesi che un campo di tensioni di compressione si propaghi dalla parete con un angolo di 45°, per cui la larghezza ridotta sopra citata rappresenta la larghezza massima in grado di trasferire i carichi

Si noti che il metodo per determinare la larghezza efficace dell'ala implementato in CSFM è diverso da quello indicato nel punto 5.3.2.1 della EN 1992-1-1 (2015) o nel punto 9.2.4.4 dell'ACI 318-19. Oltre alla geometria, la larghezza efficace dell'ala secondo l'Eurocodice è influenzata esplicitamente dalle lunghezze delle campate e dalle condizioni di vincolo di una struttura.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}$$

Nel caso di mensole rastremate giacenti nel piano orizzontale (Fig. 12), ciascuna mensola rastremata viene suddivisa in cinque sezioni lungo la sua lunghezza. Ognuna di queste sezioni viene quindi modellata come una parete di spessore costante, pari allo spessore reale in corrispondenza della mezzeria della rispettiva sezione.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}$$

Il modello di analisi agli elementi finiti non lineare (anelastica) è costituito da diversi tipi di elementi finiti utilizzati per modellare il calcestruzzo, l'armatura e l'aderenza tra di essi. Gli elementi di calcestruzzo e di armatura vengono dapprima discretizzati in rete in modo indipendente e poi collegati tra loro tramite vincoli multipunto (elementi MPC). Ciò consente all'armatura di occupare una posizione relativa arbitraria rispetto al calcestruzzo. Se si deve calcolare la verifica della lunghezza di ancoraggio, tra l'armatura e gli elementi MPC vengono inseriti elementi di aderenza ed elementi molla di estremità di ancoraggio.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Calcestruzzo

Il calcestruzzo è modellato mediante elementi guscio quadrilateri e triangolari, CQUAD4 e CTRIA3. Questi possono essere definiti rispettivamente da quattro o tre nodi. In questi elementi si assume l'esistenza del solo stato piano di tensione, ovvero le tensioni o le deformazioni in direzione z non vengono considerate.

Ogni elemento ha quattro o tre punti di integrazione, posizionati a circa 1/4 della sua dimensione. In ciascun punto di integrazione di ogni elemento vengono calcolate le direzioni delle deformazioni principali α₁, α₂. In entrambe queste direzioni, le tensioni principali σ_c1, σ_c2 e le rigidezze E₁, E₂ sono valutate in base al diagramma tensione-deformazione del calcestruzzo specificato, come da Fig. 2. Si noti che l'effetto dell'ammorbidimento a compressione accoppia il comportamento della direzione principale compressa allo stato effettivo dell'altra direzione principale.

Armatura

Le barre d'armatura sono modellate mediante elementi 1D a due nodi “rod” (CROD), dotati della sola rigidezza assiale. Questi elementi sono collegati a speciali elementi di “aderenza” sviluppati per modellare il comportamento di scorrimento tra una barra d'armatura e il calcestruzzo circostante. Tali elementi di aderenza sono a loro volta collegati, tramite elementi MPC (vincoli multipunto), alla rete che rappresenta il calcestruzzo. Questo approccio consente la discretizzazione indipendente dell'armatura e del calcestruzzo, assicurando in un secondo momento la loro interconnessione.

Elementi di aderenza

La lunghezza di ancoraggio viene verificata implementando nel modello agli elementi finiti le tensioni tangenziali di aderenza tra gli elementi di calcestruzzo (2D) e gli elementi della barra d'armatura (1D). A tale scopo è stato sviluppato un tipo di elemento finito di “aderenza”.

La definizione dell'elemento di aderenza è simile a quella di un elemento guscio (CQUAD4). Anch'esso è definito da 4 nodi, ma, a differenza di un guscio, ha rigidezza non nulla solo a taglio tra i due nodi superiori e i due nodi inferiori. Nel modello, i nodi superiori sono collegati agli elementi che rappresentano l'armatura e i nodi inferiori a quelli che rappresentano il calcestruzzo. Il comportamento di questo elemento è descritto dalla tensione di aderenza, τ_b, come funzione bilineare dello scorrimento tra i nodi superiori e inferiori, δ_u, si veda la Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

Il modulo di rigidezza elastica della relazione aderenza-scorrimento, G_b, è definito come segue:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

dove:

k_g            coefficiente dipendente dalla superficie della barra d'armatura (per default k_g = 0,2)

E_c            modulo di elasticità del calcestruzzo (assunto pari a E_cm nel caso dell'EN)

Ø             il diametro della barra d'armatura

I valori di progetto (valori fattorizzati) della tensione tangenziale ultima di aderenza, f_bd, forniti dalle norme di progetto selezionate, EN 1992-1-1 o ACI 318-19, sono utilizzati per verificare la lunghezza di ancoraggio. L'incrudimento del ramo plastico è calcolato per default come G_b/10⁵.

Molla di ancoraggio

La previsione di estremità di ancoraggio per le barre d'armatura (ovvero piegature, ganci, anelli…), che soddisfi le prescrizioni delle norme di progetto, consente di ridurre la lunghezza di ancoraggio di base delle barre (l_b,net) di un certo fattore β (di seguito indicato come “coefficiente di ancoraggio”). Il valore di progetto della lunghezza di ancoraggio (l_b) viene quindi calcolato come segue:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

La riduzione prevista di l_b,net equivale all'attivazione della barra d'armatura alla sua estremità a una percentuale della sua capacità massima, data dal coefficiente di riduzione dell'ancoraggio, come mostrato in Fig. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

La riduzione della lunghezza di ancoraggio è inclusa nel modello agli elementi finiti mediante un elemento molla all'estremità della barra (Fig. 15), definito dal modello costitutivo mostrato in Fig. 15b. La forza massima trasmessa da questa molla (F_au) è:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

dove :

β             il coefficiente di ancoraggio in base al tipo di ancoraggio,

A_s            la sezione trasversale della barra d'armatura,

f_yd           il valore di progetto (valore fattorizzato) della resistenza allo snervamento dell'armatura.

Gli elementi finiti sono implementati internamente e il modello di analisi viene generato automaticamente, senza necessità di un intervento esperto da parte dell'utente. Una parte importante di questo processo è la generazione della rete.

Calcestruzzo

Tutti gli elementi in calcestruzzo vengono discretizzati insieme. L'applicazione calcola automaticamente una dimensione consigliata degli elementi in base alle dimensioni e alla forma della struttura, tenendo conto del diametro della barra di armatura più grande. Inoltre, la dimensione consigliata garantisce la generazione di almeno 4 elementi nelle parti sottili della struttura, come pilastri snelli o solette sottili, per ottenere risultati affidabili in queste zone. Il numero massimo di elementi in calcestruzzo è limitato a 5000, ma questo valore è sufficiente a fornire la dimensione consigliata per la maggior parte delle strutture. Il progettista può sempre selezionare una dimensione degli elementi in calcestruzzo definita dall'utente, modificando il moltiplicatore della dimensione predefinita della rete.

Armatura

L'armatura viene suddivisa in elementi di lunghezza approssimativamente pari alla dimensione degli elementi in calcestruzzo. Una volta generate le reti dell'armatura e del calcestruzzo, queste vengono collegate tra loro mediante elementi di aderenza, come mostrato in Fig. 13.

Piastre di appoggio

Le parti strutturali ausiliarie, come le piastre di appoggio, vengono discretizzate in modo indipendente. La dimensione di questi elementi è calcolata come 2/3 della dimensione degli elementi in calcestruzzo nella zona del collegamento. I nodi della rete della piastra di appoggio vengono quindi collegati ai nodi di bordo della rete del calcestruzzo mediante elementi di vincolo di interpolazione (RBE3).

Carichi e appoggi

I carichi di superficie e gli appoggi di superficie (patch) sono collegati solo all'armatura, come mostrato in Fig. 16. È quindi necessario definire l'armatura in corrispondenza di essi. Il collegamento a tutti i nodi dell'armatura entro il raggio efficace è garantito da elementi RBE3 con peso uniforme.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}$$

Gli appoggi lineari e i carichi lineari sono collegati ai nodi della rete del calcestruzzo mediante elementi RBE3, in base alla larghezza specificata o al raggio efficace. Il peso dei collegamenti è inversamente proporzionale alla distanza dall'appoggio o dall'impulso di carico.

• Per ulteriori informazioni sul collegamento tra i singoli carichi e la rete, consultare Descrizione generale degli impulsi di carico nell'applicazione Detail

Per trovare la soluzione di un problema FEM non lineare si utilizza un algoritmo standard di Newton-Raphson (NR) completo. 

In generale, l'algoritmo NR spesso non converge quando il carico completo viene applicato in un unico passo. Un approccio usuale, adottato anche in questo caso, consiste nell'applicare il carico in modo sequenziale con più incrementi e nell'utilizzare il risultato dell'incremento di carico precedente per avviare la soluzione di Newton di quello successivo. A tale scopo, è stato implementato un algoritmo a controllo di carico sopra l'algoritmo di Newton-Raphson. Nel caso in cui le iterazioni NR non convergano, l'incremento di carico corrente viene ridotto alla metà del suo valore e le iterazioni NR vengono ripetute.

Un secondo scopo dell'algoritmo a controllo di carico è trovare il carico critico, che corrisponde a determinati "criteri di arresto", in particolare la deformazione massima nel calcestruzzo, lo scorrimento massimo negli elementi di aderenza, lo spostamento massimo negli elementi di ancoraggio e la deformazione massima nelle barre d'armatura. Il carico critico viene determinato mediante il metodo della bisezione. Nel caso in cui il criterio di arresto venga superato in un punto qualsiasi del modello, i risultati dell'ultimo incremento di carico vengono scartati e viene calcolato un nuovo incremento pari alla metà del precedente. Questo processo viene ripetuto finché il carico critico non viene determinato con una determinata tolleranza di errore.

Per il calcestruzzo, il criterio di arresto è stato fissato a una deformazione del 5% in compressione (ovvero circa un ordine di grandezza superiore alla deformazione di rottura effettiva del calcestruzzo) e del 7% in trazione nei punti di integrazione degli elementi guscio. In trazione, il valore è stato impostato in modo che sia raggiunta per prima la deformazione limite dell'armatura, che di solito è circa il 5% senza considerare l'irrigidimento a trazione. In compressione, il valore è stato scelto tra diverse alternative come un valore sufficientemente grande da rendere visibili nei risultati gli effetti dello schiacciamento, ma abbastanza piccolo da non causare troppi problemi di stabilità numerica.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}$$

Per l'armatura, il criterio di arresto è definito in termini di tensioni. Poiché le tensioni vengono modellate in corrispondenza della fessura, il criterio in trazione corrisponde alla resistenza a trazione dell'armatura tenendo conto del coefficiente di sicurezza. Lo stesso valore viene utilizzato per il criterio in compressione.

Il criterio di arresto negli elementi di aderenza e nelle molle di ancoraggio è α·δu_max, dove δu_max è lo scorrimento massimo utilizzato nelle verifiche normative e α = 10.

I risultati sono presentati separatamente per il calcestruzzo e per gli elementi di armatura. I valori di tensione e deformazione nel calcestruzzo sono calcolati nei punti di integrazione degli elementi guscio. Tuttavia, poiché non è pratico presentare i dati in questo modo, i risultati sono presentati per impostazione predefinita nei nodi, come valore massimo della tensione di compressione ricavato dai punti di integrazione di Gauss adiacenti negli elementi connessi (Fig. 18). Si noti che questa rappresentazione può sottostimare localmente i risultati ai bordi compressi degli elementi, nel caso in cui la dimensione dell'elemento finito sia simile all'altezza della zona compressa.

Fig. 18 - Elemento finito di calcestruzzo con punti di integrazione e nodi: presentazione dei risultati per il calcestruzzo nei nodi e negli elementi finiti.

I risultati per gli elementi finiti di armatura sono costanti per ciascun elemento (un valore – ad es. per le tensioni nell'acciaio) oppure lineari (due valori – per i risultati di aderenza). Per gli elementi ausiliari, come gli elementi delle piastre di appoggio, vengono presentate solo le deformazioni.

La verifica della struttura mediante il CSFM viene eseguita con due analisi differenti: una per le combinazioni di carico allo stato limite di esercizio e una per le combinazioni di carico allo stato limite ultimo. L'analisi allo stato limite di esercizio presuppone che il comportamento ultimo dell'elemento sia soddisfacente e che le condizioni di snervamento del materiale non vengano raggiunte ai livelli di carico di esercizio. Questo approccio consente di utilizzare modelli costitutivi semplificati (con un ramo lineare del diagramma tensione-deformazione del calcestruzzo) per l'analisi allo stato limite di esercizio, in modo da migliorare la stabilità numerica e la velocità di calcolo. Si raccomanda pertanto di utilizzare il flusso di lavoro illustrato di seguito, in cui l'analisi allo stato limite ultimo viene eseguita come primo passaggio.

Analisi allo stato limite ultimo

Le diverse verifiche richieste dalle specifiche normative di progetto vengono valutate in base ai risultati diretti forniti dal modello. Le verifiche SLU vengono eseguite per la resistenza del calcestruzzo, la resistenza dell'armatura e l'ancoraggio (tensioni tangenziali di aderenza).

Per garantire un progetto efficiente dell'elemento strutturale, si raccomanda vivamente di eseguire un'analisi preliminare che tenga conto dei seguenti passaggi:

• Scegliere una selezione delle combinazioni di carico più critiche.
• Calcolare solo le combinazioni di carico allo stato limite ultimo (SLU).
• Utilizzare una rete grossolana (aumentando il moltiplicatore della dimensione predefinita della rete in Setup (Fig. 19)).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}$$

Un modello di questo tipo viene calcolato molto rapidamente e consente ai progettisti di rivedere in modo efficiente il dettaglio costruttivo dell'elemento strutturale e di rieseguire l'analisi fino a soddisfare tutti i requisiti di verifica per le combinazioni di carico più critiche. Una volta soddisfatti tutti i requisiti di verifica di questa analisi preliminare, si suggerisce di includere le combinazioni di carico ultime complete e di utilizzare una dimensione della rete fine (la dimensione della rete raccomandata dal programma). L'utente può modificare la dimensione della rete tramite il moltiplicatore, che può assumere valori da 0,5 a 5 (Fig. 19).

I risultati e le verifiche di base (tensione, deformazione e sfruttamento (ovvero il valore calcolato/valore limite della norma), nonché la direzione delle tensioni principali nel caso di elementi in calcestruzzo) sono visualizzati mediante diversi grafici in cui la compressione è generalmente rappresentata in rosso e la trazione in blu. È possibile evidenziare i valori minimi e massimi globali per l'intera struttura, nonché i valori minimi e massimi per ogni parte definita dall'utente. In una scheda separata del programma è possibile visualizzare risultati avanzati, quali i valori tensoriali, le deformazioni della struttura e le percentuali di armatura (efficaci e geometriche) utilizzate per calcolare l'irrigidimento a trazione delle barre di armatura. Inoltre, è possibile presentare i carichi e le reazioni per le combinazioni o le condizioni di carico selezionate.

Analisi allo stato limite di esercizio

Le verifiche SLE vengono eseguite per la limitazione delle tensioni, l'ampiezza delle fessure e i limiti di deformazione. Le tensioni vengono verificate nel calcestruzzo e negli elementi di armatura secondo la norma applicabile, in modo analogo a quanto previsto per lo SLU.

L'analisi allo stato limite di esercizio contiene alcune semplificazioni dei modelli costitutivi utilizzati per l'analisi allo stato limite ultimo. Si assume un'aderenza perfetta, ovvero la lunghezza di ancoraggio non viene verificata in esercizio. Inoltre, il ramo plastico della curva tensione-deformazione del calcestruzzo in compressione viene trascurato, mentre il ramo elastico è lineare e illimitato. Queste semplificazioni migliorano la stabilità numerica e la velocità di calcolo e non riducono la generalità della soluzione, a condizione che i limiti di tensione risultanti dei materiali in esercizio siano chiaramente inferiori ai rispettivi punti di snervamento (come richiesto dalle norme). Pertanto, i modelli semplificati utilizzati per l'esercizio sono validi solo se tutti i requisiti di verifica sono soddisfatti.

Calcolo dell'ampiezza delle fessure e irrigidimento a trazione

Calcolo dell'ampiezza delle fessure

Esistono due modi per calcolare l'ampiezza delle fessure: fessurazione stabilizzata e non stabilizzata. In base al rapporto geometrico di armatura in ciascuna parte della struttura, si decide quale tipo di modello di calcolo della fessurazione verrà utilizzato (TCM per la fessurazione stabilizzata e POM per il modello di fessurazione non stabilizzata).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Calcolo dell'ampiezza delle fessure: (a) cinematica della fessura considerata; (b) proiezione della cinematica della fessura nelle direzioni principali}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{della barra di armatura; (c) ampiezza della fessura nella direzione della barra di armatura per la fessurazione stabilizzata; (d) casi con}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{fessurazione locale non stabilizzata indipendentemente dalla quantità di armatura; (e) ampiezza della fessura nella direzione della barra di armatura}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{per la fessurazione non stabilizzata.}}}$

Sebbene il CSFM fornisca un risultato diretto per la maggior parte delle verifiche (ad es., capacità dell'elemento, deformazioni…), i risultati dell'ampiezza delle fessure vengono calcolati a partire dai risultati di deformazione dell'armatura forniti direttamente dall'analisi FE, seguendo la metodologia descritta in Fig. 20. Viene considerata una cinematica della fessura senza scorrimento (pura apertura della fessura) (Fig. 20a), il che è coerente con le principali ipotesi del modello. Le direzioni principali di tensioni e deformazioni definiscono l'inclinazione delle fessure (θ_r = θ_s= θ_e). Secondo (Fig. 20b), l'ampiezza della fessura (w) può essere proiettata nella direzione della barra di armatura (w_b), portando a:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

dove θ_b è l'inclinazione della barra.

Si noti che il programma visualizza i valori di θ_r e θ_b < π/2. Ciò significa che l'equazione precedente funziona per i casi in cui l'armatura e la fessura attraversano quadranti diversi del sistema di coordinate cartesiane, come mostrato in Fig. 20, dove l'armatura attraversa il I e il III quadrante e la fessura attraversa il II e il IV. Per i casi in cui l'armatura e la fessura attraversano gli stessi quadranti, l'equazione deve essere modificata come segue:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

La componente w_b viene calcolata in modo coerente in base ai modelli di irrigidimento a trazione integrando le deformazioni dell'armatura. Per quelle regioni con quadri fessurativi completamente sviluppati, le deformazioni medie calcolate (e_m) lungo le barre di armatura vengono integrate direttamente lungo l'interasse tra fessure (s_r), come indicato in (Fig. 20c). Sebbene questo approccio al calcolo delle direzioni delle fessure non corrisponda alla posizione reale delle fessure, esso fornisce comunque valori rappresentativi che portano a risultati di ampiezza delle fessure confrontabili con i valori di ampiezza delle fessure richiesti dalla normativa nella posizione della barra di armatura.

Situazioni particolari si osservano in corrispondenza degli angoli concavi della struttura calcolata. In questo caso, l'angolo predetermina la posizione di una singola fessura che si comporta in modo non stabilizzato prima che si sviluppino ulteriori fessure adiacenti. Queste fessure aggiuntive si sviluppano generalmente dopo l'intervallo di esercizio (Mata-Falcón 2015), il che giustifica il calcolo dell'ampiezza delle fessure in tale regione come se fossero non stabilizzate (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definizione della regione negli angoli concavi in cui l'ampiezza della fessura viene calcolata come se fosse non stabilizzata.}}}$$

Irrigidimento a trazione

L'implementazione dell'irrigidimento a trazione distingue tra casi di quadri fessurativi stabilizzati e non stabilizzati. In entrambi i casi, il calcestruzzo è considerato completamente fessurato prima del carico, per impostazione predefinita.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Modello di irrigidimento a trazione: (a) elemento di corda tesa per fessurazione stabilizzata con distribuzione del taglio di aderenza,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tensioni nell'acciaio e nel calcestruzzo, e deformazioni dell'acciaio tra le fessure, considerando l'interasse medio tra fessure); (b) ipotesi di estrazione}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{per la fessurazione non stabilizzata con distribuzione del taglio di aderenza e delle tensioni e deformazioni dell'acciaio intorno alla fessura; (c) comportamento}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{risultante della corda tesa in termini di tensioni dell'armatura alle fessure e deformazioni medie per acciaio europeo B500B;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) dettaglio dei rami iniziali della risposta della corda tesa.}}}$

Fessurazione stabilizzata

Nei quadri fessurativi completamente sviluppati, l'irrigidimento a trazione viene introdotto utilizzando il Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – che ha dimostrato di fornire eccellenti previsioni della risposta nonostante la sua semplicità (Burns 2012). Il TCM assume una relazione tensione di aderenza-scorrimento a gradini, rigido-perfettamente plastica con τ_b = τ_b0 =2 f_ctm per σ_s ≤ f_y e τ_b =τ_b1 = f_ctm per σ_s > f_y. Trattando ogni barra di armatura come una corda tesa ­– Fig. 22b e Fig. 22a – la distribuzione del taglio di aderenza, delle tensioni nell'acciaio e nel calcestruzzo e quindi la distribuzione delle deformazioni tra due fessure può essere determinata per qualsiasi valore dato delle tensioni massime nell'acciaio (o deformazioni) alle fessure.

Per s_r = s_r0, una nuova fessura può o non può formarsi perché al centro tra due fessure σ_c1 = f_ct. Di conseguenza, l'interasse tra fessure può variare di un fattore due, ossia s_r = λs_r0, con l = 0.5…1.0. Assumendo un certo valore per λ, la deformazione media della corda (ε_m) può essere espressa in funzione delle tensioni massime dell'armatura (ossia, delle tensioni alle fessure, σ_sr). Per il diagramma tensione-deformazione bilineare idealizzato per le barre di armatura nude considerato per impostazione predefinita nel CSFM, si ottengono le seguenti espressioni analitiche in forma chiusa (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{per}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{per}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{per}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

dove:
E_sh           il modulo di incrudimento dell'acciaio E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            modulo di elasticità dell'armatura,

Ø            diametro della barra di armatura,

s_r                interasse tra fessure,

σ_sr           tensioni dell'armatura alle fessure,

σ_s            tensioni effettive dell'armatura,

f_y                tensione di snervamento dell'armatura.

L'implementazione di IDEA StatiCa Detail del CSFM considera per impostazione predefinita l'interasse medio tra fessure quando esegue l'analisi del campo di tensioni assistita da computer. L'interasse medio tra fessure è considerato pari a 2/3 dell'interasse massimo tra fessure (λ = 0.67), il che segue le raccomandazioni fatte sulla base di prove di flessione e trazione (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Va notato che i calcoli dell'ampiezza delle fessure considerano un interasse massimo tra fessure (λ = 1.0) al fine di ottenere valori conservativi.

L'applicazione del TCM dipende dal rapporto di armatura, e quindi l'assegnazione di un'area di calcestruzzo appropriata che agisce in trazione tra le fessure a ciascuna barra di armatura è cruciale. È stata sviluppata una procedura numerica automatica per definire il corrispondente rapporto di armatura efficace (ρ_eff = A_s/A_c,eff) per qualsiasi configurazione, inclusa l'armatura inclinata (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Area efficace di calcestruzzo in trazione per fessurazione stabilizzata: (a) area massima di calcestruzzo che può essere attivata;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) condizione di copriferro e simmetria globale; (c) area efficace risultante.}}}$

Fessurazione non stabilizzata

Le fessure esistenti in regioni con rapporti geometrici di armatura inferiori a ρ_cr, ossia la quantità minima di armatura per cui l'armatura è in grado di sostenere il carico di fessurazione senza snervarsi, sono generate da azioni non meccaniche (ad es. il ritiro) o dalla progressione di fessure controllate da altra armatura. Il valore di questa armatura minima si ottiene come segue:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

dove:

f_y              tensione di snervamento dell'armatura,

f_ct             resistenza a trazione del calcestruzzo,

n              rapporto modulare, n = E_s / E_c .

Per il calcestruzzo convenzionale e l'acciaio d'armatura, ρ_cr ammonta approssimativamente allo 0,6%.

Per le staffe con rapporti di armatura inferiori a ρ_cr, la fessurazione è considerata non stabilizzata e l'irrigidimento a trazione viene implementato mediante il Pull-Out Model (POM) descritto in Fig. 22b. Questo modello analizza il comportamento di una singola fessura considerando nessuna interazione meccanica tra fessure separate, trascurando la deformabilità del calcestruzzo in trazione e assumendo la stessa relazione tensione di aderenza-scorrimento a gradini, rigido-perfettamente plastica utilizzata dal TCM. Ciò consente di ottenere la distribuzione delle deformazioni dell'armatura (ε_s) in prossimità della fessura per qualsiasi tensione massima dell'acciaio alla fessura (σ_sr) direttamente dall'equilibrio. Dato il fatto che l'interasse tra fessure è sconosciuto per un quadro fessurativo non completamente sviluppato, la deformazione media (ε_m) viene calcolata per qualsiasi livello di carico sulla distanza tra i punti con scorrimento nullo quando la barra di armatura raggiunge la sua resistenza a trazione (f_t) alla fessura (l_ε,avg in Fig. 22b), portando alle seguenti relazioni:

I modelli proposti consentono il calcolo del comportamento dell'armatura aderente, che viene infine considerato nell'analisi. Questo comportamento (incluso l'irrigidimento a trazione) per l'acciaio d'armatura europeo più comune (B500B, con f_t / f_y = 1,08 e ε_u = 5%) è illustrato in Fig. 22c-d.

Calcestruzzo - SLU

Il modello del calcestruzzo implementato nel CSFM si basa sulle leggi costitutive uniassiali a compressione prescritte dalla EN 1992-1-1 per il progetto delle sezioni trasversali, che dipendono solo dalla resistenza a compressione. Nel CSFM si utilizza per impostazione predefinita il diagramma parabola-rettangolo specificato nella EN 1992-1-1 par. 3.1.7 (1) (Fig. 24a). Il progettista può comunque scegliere una relazione elastica perfettamente plastica più semplificata, secondo la EN 1992-1-1 par. 3.1.7 (2) (Fig. 24b). La resistenza a trazione è trascurata, come nel progetto classico del calcestruzzo armato.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}$$

L'implementazione del CSFM in IDEA StatiCa Detail non considera un criterio di rottura esplicito in termini di deformazioni per il calcestruzzo compresso (cioè, dopo il raggiungimento della tensione di picco, considera un ramo plastico con ε_cu2 (ε_cu3) pari al 5%, mentre la EN 1992-1-1 assume una deformazione ultima inferiore allo 0,35%). Questa semplificazione non consente di verificare la capacità deformativa delle strutture che giungono a rottura per compressione. Tuttavia, la loro capacità ultima f_cd secondo la EN 1992-1-1 3.1.3 è prevista correttamente quando, oltre al fattore del calcestruzzo fessurato (k_c2 definito in (Fig. 25)), si considera l'aumento della fragilità del calcestruzzo al crescere della sua resistenza mediante il fattore di riduzione $\eta_{fc}$ definito nel fib Model Code 2010 come segue:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

dove:

α_cc è il coefficiente che tiene conto degli effetti di lungo termine sulla resistenza a compressione e degli effetti sfavorevoli derivanti dal modo in cui il carico è applicato. È definito secondo la EN 1992-1-1 par. 3.1.6 (1). Il valore predefinito è 1,0.

k_c è il fattore di riduzione globale della resistenza a compressione

k_c2 è il fattore di riduzione dovuto alla presenza di fessurazione trasversale

f_ck è la resistenza caratteristica cilindrica del calcestruzzo (in MPa per la definizione di $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}$$

Calcestruzzo - SLE

L'analisi agli stati limite di esercizio contiene alcune semplificazioni dei modelli costitutivi utilizzati per l'analisi allo stato limite ultimo. Il ramo plastico della curva tensione-deformazione del calcestruzzo compresso è trascurato, mentre il ramo elastico è lineare e illimitato. La legge di ammorbidimento a compressione non è considerata. Queste semplificazioni migliorano la stabilità numerica e la velocità di calcolo e non riducono la generalità della soluzione, purché i limiti di tensione risultanti nei materiali in esercizio siano chiaramente inferiori ai rispettivi punti di snervamento (come richiesto dall'Eurocodice). Pertanto, i modelli semplificati utilizzati per l'esercizio sono validi solo se tutti i requisiti di verifica sono soddisfatti.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Effetti di lungo termine

Nell'analisi agli stati limite di esercizio, gli effetti di lungo termine del calcestruzzo sono considerati mediante un coefficiente di viscosità infinito effettivo ($\varphi$, assunto per impostazione predefinita pari a 2,5) che modifica il modulo di elasticità secante del calcestruzzo (E_cm) secondo la EN 1992-1-1, sezione 3.1.4 (3) e 7.4.3 (5), come segue:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

Quando si considerano gli effetti di lungo termine, si calcola dapprima un passo di carico con tutti i carichi permanenti considerando il coefficiente di viscosità (cioè utilizzando il modulo di elasticità effettivo del calcestruzzo, E_c,eff); successivamente si calcolano i carichi aggiuntivi senza il coefficiente di viscosità (cioè utilizzando E_cm). Inoltre, per eseguire le verifiche di breve termine, si effettua un ulteriore calcolo in cui tutti i carichi sono calcolati senza il coefficiente di viscosità. Entrambi i calcoli per le verifiche di lungo e di breve termine sono illustrati nella Fig. 26.

I coefficienti di viscosità sono definiti dall'utente nelle proprietà del materiale e devono essere calcolati secondo la EN 1992-1-1, Fig. 3.1.

Armatura

Per impostazione predefinita si considera il diagramma tensione-deformazione bilineare idealizzato per le barre d'armatura nude, definito nella EN 1992-1-1, sezione 3.2.7 (Fig. 27). La definizione di questo diagramma richiede soltanto la conoscenza, in fase di progetto, delle proprietà di base dell'armatura (resistenza e classe di duttilità). Quando è nota, si può considerare la relazione tensione-deformazione effettiva dell'armatura (laminata a caldo, lavorata a freddo, temprata e autorinvenuta, …). Il diagramma tensione-deformazione dell'armatura può essere definito dall'utente, ma in tal caso non è possibile considerare l'effetto di irrigidimento a trazione (non è possibile calcolare l'ampiezza delle fessure). L'uso di un diagramma tensione-deformazione con ramo superiore orizzontale non consente la verifica della durabilità strutturale. Pertanto, è necessaria la verifica manuale dei requisiti normativi di duttilità.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$

L'irrigidimento a trazione (Fig. 28)  è considerato automaticamente modificando la relazione tensione-deformazione di input della barra d'armatura nuda, in modo da cogliere la rigidezza media delle barre immerse nel calcestruzzo (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Il Metodo del Campo di Tensioni Compatibile è conforme alle normative di progetto moderne. Poiché i modelli di calcolo utilizzano solo le proprietà standard dei materiali, il formato dei coefficienti parziali di sicurezza prescritto dalle normative di progetto può essere applicato senza alcun adattamento. In questo modo, i carichi in ingresso vengono amplificati e le proprietà caratteristiche dei materiali vengono ridotte mediante i rispettivi coefficienti di sicurezza prescritti dalle normative di progetto, esattamente come nell'analisi convenzionale del calcestruzzo. I valori dei coefficienti di sicurezza dei materiali prescritti in EN 1992-1-1, cap. 2.4.2.4, sono impostati per default, ma l'utente può modificarli nelle Impostazioni della normativa e del calcolo (Fig. 29).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

I coefficienti di sicurezza dei carichi devono essere definiti dall'utente nelle Regole di combinazione per ciascuna combinazione non lineare di casi di carico (Fig. 30). Per tutti i modelli implementati in Idea StatiCa Detail, i coefficienti parziali di sicurezza sono già predefiniti.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Utilizzando opportune combinazioni definite dall'utente dei coefficienti parziali di sicurezza, gli utenti possono eseguire il calcolo con il CSFM anche mediante il metodo del fattore di resistenza globale (Navrátil et al. 2017), ma questo approccio è raramente utilizzato nella pratica progettuale. Alcune linee guida raccomandano di utilizzare il metodo del fattore di resistenza globale per l'analisi non lineare. Tuttavia, nelle analisi non lineari semplificate (come il CSFM), che richiedono solo le proprietà dei materiali utilizzate nei calcoli manuali convenzionali, è comunque preferibile utilizzare il formato dei coefficienti parziali.

Le diverse verifiche richieste dalla EN 1992-1-1 sono valutate sulla base dei risultati diretti forniti dal modello. Le verifiche SLU sono eseguite per la resistenza del calcestruzzo, la resistenza dell'armatura e l'ancoraggio (tensioni di aderenza a taglio).

La resistenza del calcestruzzo a compressione è valutata come rapporto tra la tensione principale massima di compressione σ_c = σ_c2 ottenuta dall'analisi FE e il valore limite σ_c,lim = f_cd. 

La resistenza dell'armatura è valutata sia a trazione sia a compressione come rapporto tra la tensione nell'armatura in corrispondenza delle fessure σ_sr e il valore limite specificato σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

dove:

f_yk        tensione di snervamento dell'armatura secondo EN 1992-1-1 par. 3.2.3,

k          il rapporto tra la resistenza a trazione f_tk e la tensione di snervamento,
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             è il coefficiente parziale di sicurezza per l'armatura

La tensione di aderenza a taglio è valutata in modo indipendente come rapporto tra la tensione di aderenza τ_b calcolata mediante analisi FE e la resistenza ultima di aderenza f_bd, secondo EN 1992-1-1 cap. 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

dove:

f_ctd      è il valore di progetto della resistenza a trazione del calcestruzzo secondo EN 1992-1-1 par. 3.1.6 (2). A causa della crescente fragilità del calcestruzzo ad alta resistenza, f_ctk,0.05 è limitato al valore per C60/75 secondo EN 1992-1-1 par. 8.4.2 (2)

η₁       è un coefficiente legato alla qualità delle condizioni di aderenza e alla posizione della barra durante il getto (Fig. 31).

η₁ = 1.0 quando si ottengono condizioni ‘buone’ e

η₁ = 0.7 per tutti gli altri casi e per le barre in elementi strutturali realizzati con casseforme scorrevoli, a meno che non si possa dimostrare che esistono condizioni di aderenza ‘buone’

η₂        è legato al diametro della barra:

            η₂ = 1.0 per Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 per Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

In IDEA StatiCa Detail le condizioni di aderenza sono considerate secondo la Fig. 31 c) e d). La direzione di getto può essere impostata nell'applicazione per ciascun elemento di progetto come segue.

Queste verifiche sono eseguite rispetto ai valori limite appropriati per le rispettive parti della struttura (ovvero, pur avendo una sola classe sia per il calcestruzzo sia per il materiale dell'armatura, i diagrammi tensione-deformazione finali differiranno in ciascuna parte della struttura a causa degli effetti di irrigidimento a trazione e ammorbidimento a compressione).

È inoltre possibile modellare barre lisce. Ulteriori informazioni sono disponibili qui: Barre lisce in Detail

Forza totale F_tot e forza limite F_lim

La forza totale F_tot è un risultato dell'analisi agli elementi finiti e può essere definita in due modi.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

dove A_s è l'area della barra di armatura e σ_s è la tensione nella barra.

Oppure come somma della forza di ancoraggio F_a e della forza di aderenza F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

dove F_a è la forza effettiva nella molla di ancoraggio e F_bond è la forza di aderenza che può essere ottenuta integrando la tensione di aderenza τ_b lungo la lunghezza della barra di armatura l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s è la circonferenza della barra di armatura.

La forza limite F_lim è la forza massima nell'elemento della barra considerando la resistenza ultima della barra e anche le condizioni di ancoraggio (aderenza tra calcestruzzo e armatura e ganci, anelli di ancoraggio, ecc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

dove C_s è la circonferenza della barra di armatura e l è la lunghezza dall'inizio della barra al punto di interesse.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

dove F_lim,add è la forza aggiuntiva calcolata in base all'ampiezza dell'angolo tra elementi adiacenti. F_lim,2 deve essere sempre inferiore a F_u.

I tipi di ancoraggio disponibili nel CSFM comprendono barra dritta (ovvero senza riduzione dell'estremità di ancoraggio), piegatura, gancio, anello, barra trasversale saldata, aderenza perfetta e barra continua. Tutti questi tipi, insieme ai rispettivi coefficienti di ancoraggio β, sono mostrati in Fig. 32 per l'armatura longitudinale e in Fig. 33 per le staffe. I valori dei coefficienti di ancoraggio adottati sono conformi alla EN 1992-1-1 sezione 8.4.4 Tab. 8.2. Si noti che, nonostante le diverse opzioni disponibili, il CSFM distingue tre tipi di estremità di ancoraggio: (i) nessuna riduzione della lunghezza di ancoraggio, (ii) una riduzione del 30 % della lunghezza di ancoraggio nel caso di ancoraggio normalizzato e (iii) aderenza perfetta.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Per conformarsi alla EN 1992-1-1, nel calcolo deve essere utilizzata la molla di ancoraggio; la molla di ancoraggio è modificata dal coefficiente β, pertanto l'utente deve utilizzare uno dei tipi di ancoraggio disponibili quando definisce le condizioni di inizio e fine dell'armatura. 

Nella progettazione delle strutture in calcestruzzo si incontrano due grandi gruppi di aree parzialmente caricate (PLA): il primo comprende gli appoggi, mentre il secondo è costituito dalle zone di ancoraggio. Secondo le norme attualmente in vigore per la progettazione delle strutture in calcestruzzo armato, EN 1992-1-1, cap. 6.7 (Fig. 34), per le aree parzialmente caricate devono essere considerati lo schiacciamento locale del calcestruzzo e le forze di trazione trasversali. Per un carico uniformemente distribuito su un'area, A_c0, la capacità a compressione del calcestruzzo può essere aumentata fino a tre volte, in funzione dell'area di diffusione di progetto A_c1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}$$

L'area parzialmente caricata deve essere adeguatamente armata con armatura trasversale, dimensionata per trasmettere le forze di spacco che si sviluppano nell'area. Per il dimensionamento dell'armatura trasversale nelle aree parzialmente caricate, secondo l'Eurocodice si utilizza il metodo Puntone-e-tirante. In assenza dell'armatura trasversale richiesta, non è possibile considerare l'aumento della capacità a compressione del calcestruzzo.

Aree parzialmente caricate nel CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Con il CSFM è possibile progettare e verificare strutture in calcestruzzo armato tenendo conto dell'influenza dell'aumento della resistenza a compressione del calcestruzzo nelle aree parzialmente caricate. Poiché il CSFM è un modello a parete (2D) e le aree parzialmente caricate costituiscono un problema spaziale (3D), è stato necessario trovare una soluzione che combinasse questi due diversi tipi di problemi (Fig. 35). Se la funzione "aree parzialmente caricate" è attivata, la geometria del cono ammissibile viene creata secondo l'Eurocodice (Fig. 34). Tutte le collisioni geometriche vengono risolte completamente in 3D per la geometria specificata dell'elemento in calcestruzzo e per le dimensioni di ciascuna PLA. Successivamente viene creato un modello di calcolo dell'area parzialmente caricata.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

La modifica del modello del materiale si è rivelata un approccio inadeguato, principalmente perché la mappatura delle proprietà sulla rete di elementi finiti è problematica. È stato stabilito che un approccio indipendente dalla rete di elementi finiti rappresenta una soluzione più appropriata. Per la geometria nota del cono di compressione vengono creati puntoni fittizi perfettamente coerenti (Fig. 35 e Fig. 37). Questi puntoni hanno proprietà del materiale identiche a quelle del calcestruzzo utilizzato nel modello, compreso il diagramma tensione-deformazione. La forma del cono determina la direzione dei puntoni, che distribuiscono gradualmente il carico dalla PLA fino all'area di diffusione di progetto. La densità areale dei puntoni fittizi è variabile in ogni parte del cono e aggiunge un'area fittizia di calcestruzzo nella direzione del carico. Al livello dell'area caricata (A_c0) viene aggiunta un'area fittizia di calcestruzzo secondo il rapporto $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  (dove A_real è l'area dell'appoggio assunta nel modello di calcolo 2D); questa area diminuisce linearmente fino a zero verso l'area di diffusione di progetto (A_c1). Questa soluzione garantisce che la tensione di compressione nel calcestruzzo sia costante su tutto il volume del cono.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

La resistenza dell'area parzialmente caricata viene aumentata secondo il rapporto tra l'area di diffusione di progetto e l'area caricata, definito in EN 1992-1-1  (6.7).  Occorre ricordare che si tratta di un modello di progetto, che non può descrivere con precisione lo stato tensionale su un'area parzialmente caricata, il cui flusso reale è molto più complesso. Tuttavia, questa soluzione consente la corretta distribuzione del carico all'intero modello, rispettando al contempo la maggiore capacità portante dell'area parzialmente caricata. Inoltre, introduce correttamente le tensioni trasversali in quest'area.

Quando si utilizza la funzione Aree parzialmente caricate per simulare l'aumento della capacità a compressione del calcestruzzo, è necessario eseguire la verifica normativa separatamente secondo EN 1992-1-1, sezione 6.7 (2). Le forze di trazione trasversali (forze di spacco) trasferite dall'armatura vengono verificate automaticamente.

Le verifiche SLE vengono eseguite per la limitazione delle tensioni, l'ampiezza delle fessure e i limiti di freccia. Le tensioni vengono verificate negli elementi in calcestruzzo e in armatura secondo EN 1992-1-1, in modo analogo a quanto specificato per gli SLU.

Limitazione delle tensioni

La tensione di compressione nel calcestruzzo deve essere limitata per evitare fessure longitudinali. Secondo EN 1992-1-1 cap. 7.2 (2), possono formarsi fessure longitudinali se il livello di tensione sotto la combinazione caratteristica dei carichi supera il valore k₁f_ck. La tensione nel calcestruzzo compresso viene valutata come rapporto tra la massima tensione principale di compressione σ_c = σ_c2 ottenuta dall'analisi FE per gli stati limite di esercizio e il valore limite σ_c,lim. Quindi:

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

dove:

f_ck        resistenza caratteristica cilindrica del calcestruzzo,

k₁         =0.6.

Se la tensione nel calcestruzzo sotto i carichi quasi permanenti è inferiore a k₂f_ck secondo EN 1992-1-1 Cl. 7.2(3), si può assumere una viscosità lineare. Se la tensione nel calcestruzzo supera k₂f_ck, si deve considerare la viscosità non lineare (vedere EN 1992-1-1 Cl. 3.1.4). In IDEA StatiCa Detail si può assumere solo la viscosità lineare secondo EN 1992-1-1 Cl. 3.1.4 (3) (vedere Modelli dei materiali (EN)).

Si può ritenere che fessurazioni o deformazioni inaccettabili siano evitate se, sotto la combinazione caratteristica dei carichi, la tensione di trazione nell'armatura non supera k₃f_yk (EN 1992-1-1 cap. 7.2 (5)). La resistenza dell'armatura viene valutata come rapporto tra la tensione nell'armatura in corrispondenza delle fessure σ_s = σ_sr e il valore limite specificato σ_s,lim:

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

dove:

f_yk        tensione di snervamento dell'armatura,

k₃        =0.8.

Freccia

Le frecce possono essere valutate solo per pareti o travi isostatiche (staticamente determinate) o iperstatiche (staticamente indeterminate). In questi casi si considera il valore assoluto delle frecce (rispetto allo stato iniziale prima dell'applicazione del carico) e il valore massimo ammissibile delle frecce deve essere impostato dall'utente. Le frecce alle estremità tagliate non possono essere verificate, poiché si tratta sostanzialmente di strutture instabili in cui l'equilibrio è soddisfatto aggiungendo forze di estremità, e quindi le frecce non sono realistiche. La freccia a breve termine u_z,st o a lungo termine u_z,lt può essere calcolata e verificata rispetto a valori limite definiti dall'utente:

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

dove:

u_z         freccia a breve o a lungo termine calcolata mediante analisi FE,

u_z,lim    valore limite della freccia definito dall'utente.

Ampiezza delle fessure

Le ampiezze e gli orientamenti delle fessure vengono calcolati solo per gli effetti a lungo termine (utilizzando E_c,eff) per le combinazioni in cui è abilitata la valutazione dell'ampiezza delle fessure. Le verifiche basate sui valori limite specificati dall'utente in conformità all'Eurocodice sono presentate come segue:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

dove:

w         ampiezza della fessura calcolata mediante analisi FE,

w_lim     valore limite dell'ampiezza della fessura definito dall'utente.

Esistono due modi per calcolare le ampiezze delle fessure (fessurazione stabilizzata e non stabilizzata). Nel caso generale (fessurazione stabilizzata), l'ampiezza della fessura viene calcolata integrando le deformazioni sugli elementi 1D delle barre di armatura. La direzione della fessura viene quindi calcolata a partire dai tre punti di integrazione più vicini (rispetto al centro dell'elemento finito 1D dell'armatura) degli elementi 2D di calcestruzzo. Sebbene questo approccio per il calcolo delle direzioni delle fessure non corrisponda alla posizione reale delle fessure, fornisce comunque valori rappresentativi, che portano a risultati di ampiezza delle fessure confrontabili con i valori di ampiezza delle fessure richiesti dalla normativa in corrispondenza della posizione della barra di armatura.

Calcestruzzo - Resistenza

Il modello del calcestruzzo implementato per i calcoli di resistenza nel CSFM si basa sulla curva tensione-deformazione parabola-rettangolo del calcestruzzo, ricavata dalla curva parabolica tensione-deformazione della Portland Cement Association descritta in PCA’s Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figura 6-8. La resistenza a trazione è trascurata, come avviene nella progettazione classica del cemento armato.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

L'implementazione del CSFM in IDEA StatiCa Detail non considera un criterio di rottura esplicito in termini di deformazioni per il calcestruzzo compresso (ovvero, dopo il raggiungimento della tensione di picco, considera un ramo plastico con ε_c0 pari al valore massimo del 5%, mentre ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 assume una deformazione ultima inferiore allo 0,3%). Questa semplificazione non consente di verificare la capacità di deformazione delle strutture che giungono a rottura per compressione. Tuttavia, la resistenza è prevista correttamente quando, oltre al fattore del calcestruzzo fessurato (k_c2 definito in (Fig. 39)), si considera l'aumento della fragilità del calcestruzzo all'aumentare della sua resistenza mediante il fattore di riduzione $\eta_{fc}$ definito nel fib Model Code 2010 come segue:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

dove:

α₁ è il fattore di riduzione della resistenza a compressione del calcestruzzo definito in ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Quando si utilizza un diagramma tensione-deformazione parabola-rettangolo , è necessario ridurre la tensione massima di compressione mediante questo fattore. Ciò rende uniforme la distribuzione delle tensioni nella zona compressa in modo tale che la resistenza a compressione risultante sia minore o uguale alla resistenza a compressione calcolata utilizzando un diagramma tensione-deformazione con ramo plastico decrescente.

Φ_c è il fattore di riduzione della resistenza per il calcestruzzo. Il valore predefinito è impostato in accordo con ACI 318-19 Tabella 24.2.1 (b)(f).

k_c2 è il fattore di riduzione dovuto alla presenza di fessurazione trasversale.

f'_c è la resistenza cilindrica del calcestruzzo (in MPa per la definizione di $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 è un fattore di riduzione basato sulle stesse ipotesi del coefficiente della zona nodale β_n riportato in ACI 318-19 Tabella 23.9.2, con la differenza che nel CSFM la presenza di una tensione principale di trazione perpendicolare alla tensione principale di compressione viene verificata per ogni elemento finito (non solo per i nodi del modello Puntone e Tirante).

Calcestruzzo – Esercizio

L'analisi di esercizio contiene alcune semplificazioni dei modelli costitutivi utilizzati per l'analisi di resistenza. Il ramo plastico della curva tensione-deformazione del calcestruzzo compresso viene trascurato, mentre il ramo elastico è lineare e illimitato. La legge di ammorbidimento a compressione non è considerata. Queste semplificazioni migliorano la stabilità numerica e la velocità di calcolo e non riducono la generalità della soluzione, purché i limiti di tensione risultanti nei materiali in condizioni di esercizio siano nettamente inferiori ai rispettivi punti di snervamento (come richiesto da ACI). Pertanto, i modelli semplificati utilizzati per l'esercizio sono validi solo se tutti i requisiti di verifica sono soddisfatti.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Effetti a lungo termine

Il comportamento a lungo termine della struttura, come le frecce a lungo termine o il calcolo dell'ampiezza delle fessure causate da carichi di lunga durata, è influenzato dalla viscosità del calcestruzzo. La ACI 318-19 al paragrafo 24.2.4.1.3 definisce il fattore dipendente dal tempo per i carichi di lunga durata – ξ, che rappresenta l'effetto della viscosità per una durata specificata del carico di lunga durata.

Nell'applicazione Detail, il modulo di elasticità E_c viene modificato per determinare il comportamento a lungo termine della struttura attraverso il fattore ξ. Il modulo di elasticità modificato è indicato come E_c,eff – vedere Figura 40.

Assumendo che la deformazione dell'elemento sia espressa in termini di deformazione unitaria, si può scrivere che:

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

dove:

ε₀ è la deformazione a breve termine (senza l'influenza della viscosità) e ε_creep è la deformazione causata dalla viscosità.

Utilizzando la legge di Hooke, si può scrivere:

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

Sostituendo $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ e $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$ otteniamo:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

La durata del carico di lunga durata per la determinazione del fattore ξ può essere impostata individualmente per ciascuna combinazione di esercizio a lungo termine.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}$$

Le frecce, le tensioni e le ampiezze delle fessure dipendenti dal tempo vengono quindi calcolate con un modello del materiale modificato, nel quale l'effetto del raffinamento della compressione è tenuto in conto automaticamente dalla natura dell'analisi FE. Non è quindi necessario moltiplicarli ulteriormente per il fattore definito in 24.2.4.1.1.

Effetti a breve termine

Per eseguire le verifiche a breve termine, viene effettuato un ulteriore calcolo in cui tutti i carichi sono calcolati senza il fattore dipendente dal tempo per i carichi di lunga durata. Entrambi i calcoli per le verifiche a lungo e a breve termine sono illustrati in Fig. 40.

Armatura

Si considera un diagramma tensione-deformazione perfettamente elasto-plastico con punto di snervamento definito per l'armatura non presollecitata, vedere ACI 319-19 CL. 20.2.1. La definizione di questo diagramma richiede soltanto la conoscenza delle proprietà di base dell'armatura – la resistenza e il modulo di elasticità.

Il diagramma tensione-deformazione dell'armatura può anche essere definito dall'utente, ma in tal caso non è possibile considerare l'effetto di irrigidimento a trazione (non è possibile calcolare l'ampiezza delle fessure). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

dove:

Φ_s è il fattore di riduzione della resistenza per l'armatura. Il valore predefinito è impostato in accordo con ACI 318-19 Tabella 24.2.1.

f_y è la resistenza allo snervamento dell'armatura

E_s è il modulo di elasticità dell'armatura

Il 10% è selezionato come deformazione limite alla quale il calcolo viene interrotto. Ciò è ritenuto sicuro sulla base di ASTM A955/A955M-20c Articolo 7.

L'irrigidimento a trazione (Fig. 43)  viene considerato automaticamente modificando la relazione tensione-deformazione di input della barra d'armatura nuda, in modo da cogliere la rigidezza media delle barre inglobate nel calcestruzzo (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Il Metodo del Campo di Tensioni Compatibile è conforme alle normative di progetto moderne. Poiché i modelli di calcolo utilizzano solo le proprietà standard dei materiali, il formato dei coefficienti parziali di sicurezza prescritto dalle normative di progetto può essere applicato senza alcun adattamento. In questo modo, i carichi in ingresso vengono amplificati e le proprietà caratteristiche dei materiali vengono ridotte mediante i rispettivi fattori di riduzione della resistenza, esattamente come nell'analisi convenzionale del calcestruzzo.

I valori dei fattori di riduzione della resistenza sono prescritti in ACI 318-19 Cl. 21.2. I valori predefiniti per il calcestruzzo e l'armatura sono scelti partendo dal presupposto che l'esempio tipico risolto nell'applicazione sia governato dal taglio (in base alla Tabella 21.2.1 (b), (f), (g)). Tuttavia, è possibile modellare qualsiasi tipo di elemento. Pertanto, se viene verificato un elemento governato da compressione o da trazione, l'utente ha la possibilità di modificare il valore del fattore di riduzione della resistenza nelle Preferenze.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

I fattori di carico per le combinazioni di resistenza devono essere definiti secondo ACI 318-19 Tabella 5.3.1.

Fatto salvo quanto indicato nel Capitolo 34, le combinazioni di carico a livello di esercizio non sono definite in ACI 318-19. Si raccomanda di utilizzare le regole di combinazione basate sull'Appendice C di ASCE/SEI 7-16. Per tutti i modelli, i fattori di carico sono già predefiniti.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Le diverse verifiche richieste dall'ACI 318-19 sono valutate sulla base dei risultati diretti forniti dal modello. Le verifiche sono eseguite per la resistenza del calcestruzzo, la resistenza dell'armatura e l'ancoraggio (tensioni di taglio per aderenza).

La resistenza del calcestruzzo a compressione è valutata come rapporto tra la massima tensione principale di compressione f_c (indicata anche come σ₂ nei Risultati ausiliari) ottenuta dall'analisi FE e il valore limite f'_c,lim.

La resistenza dell'armatura è valutata sia a trazione sia a compressione come rapporto tra la tensione nell'armatura in corrispondenza delle fessure f_s e il valore limite specificato f_y,lim.

La tensione di taglio per aderenza è valutata in modo indipendente come rapporto tra la tensione di aderenza τ_b calcolata dall'analisi FE e la resistenza di aderenza f_bu.

Tuttavia, la norma ACI non tratta esplicitamente la resistenza di aderenza, ma opera con il calcolo della cosiddetta lunghezza di sviluppo, descritta nel paragrafo 25.4.2. Poiché la resistenza di aderenza è un parametro di input fondamentale per la determinazione della lunghezza di sviluppo, vedere R25.4.1.1 e ACI Committee 408 1966, la resistenza di aderenza può essere calcolata come segue:

Si assuma che, se una barra d'armatura è ancorata in un blocco di calcestruzzo con una lunghezza di sviluppo l_d o superiore, lo sfilamento dell'armatura porti alla rottura dell'armatura e non allo sfilamento dal calcestruzzo. Ciò può essere espresso con la seguente formula.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

dove:

d_b è il diametro della barra d'armatura, l_d è la lunghezza di sviluppo, f_bu è la resistenza di aderenza, f_y è la tensione di snervamento dell'armatura e A_s è l'area della barra d'armatura.

Da quanto precede, la formula per il calcolo della resistenza di aderenza può essere ricavata facilmente:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

La lunghezza di sviluppo l_d è quindi determinata secondo la Tabella 25.4.2.3 dell'ACI 318-19 come segue:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

dove:

C = 25 (2,1 per unità metriche) per barre n. 6 e inferiori e fili deformati, C = 20 (1,7 per unità metriche) per barre n. 7 e superiori, λ = 1,0 per calcestruzzo di peso normale, ψ_t, ψ_e, ψ_g sono determinati secondo la Tabella 25.4.2.3 dell'ACI 318-19. 

Sono supportate solo armature non rivestite o rivestite di zinco (zincate), quindi ψ_e = 1,0. ψ_g è determinato automaticamente dalla classe dell'armatura, mentre ψ_t è ricavato automaticamente dalla posizione dell'armatura nel modello e dalla direzione di getto, che può essere impostata nell'applicazione per ciascun elemento del progetto come segue.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

Queste verifiche sono eseguite rispetto ai valori limite appropriati per le rispettive parti della struttura (ovvero, pur avendo un'unica classe sia per il calcestruzzo sia per il materiale dell'armatura, i diagrammi tensione-deformazione finali differiranno in ciascuna parte della struttura a causa degli effetti di irrigidimento a trazione e di ammorbidimento a compressione).

È disponibile anche un'opzione per modellare le barre lisce. Ulteriori informazioni sono disponibili qui: Barre lisce in Detail

Forza totale F_tot e forza limite F_lim

La forza totale F_tot è un risultato dell'analisi agli elementi finiti e può essere definita in due modi.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

dove A_s è l'area della barra d'armatura e f_s è la tensione nella barra.

Oppure come somma della forza di ancoraggio F_a e della forza di aderenza F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

dove F_a è la forza effettiva nella molla di ancoraggio e F_bond è la forza di aderenza, che può essere ottenuta integrando la tensione di aderenza τ_b lungo la lunghezza della barra d'armatura l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s è la circonferenza della barra d'armatura.

La forza limite F_lim è la forza massima nell'elemento della barra d'armatura, considerando la resistenza della barra e anche le condizioni di ancoraggio (aderenza tra calcestruzzo e armatura, ganci di ancoraggio, anelli, ecc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

dove C_s è la circonferenza della barra d'armatura e l è la lunghezza dall'inizio della barra al punto di interesse.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

dove F_lim,add è la forza aggiuntiva calcolata dall'ampiezza dell'angolo tra elementi adiacenti. F_lim,2 deve essere sempre inferiore a F_u.

I tipi di ancoraggio disponibili in CSFM comprendono barra dritta (ovvero, senza riduzione per l'estremità di ancoraggio), gancio a 90 gradi, gancio a 180 gradi, aderenza perfetta e barra continua. Tutti questi tipi, insieme ai rispettivi coefficienti di ancoraggio β, sono mostrati in Fig. 48 per l'armatura longitudinale. I valori dei coefficienti di ancoraggio adottati derivano dal confronto tra l'equazione del paragrafo 25.4.3.1 dell'ACI 318-19 e le equazioni tratte dal paragrafo 25.4.2.3 dell'ACI 318-19. Si noti che, nonostante le diverse opzioni disponibili, CSFM distingue tre tipi di estremità di ancoraggio: (i) nessuna riduzione della lunghezza di ancoraggio, (ii) una riduzione del 30% della lunghezza di ancoraggio nel caso di un ancoraggio normalizzato e (iii) aderenza perfetta.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Il coefficiente di ancoraggio per le staffe è sempre β = 1,0.

Per rispettare l'ACI, nel calcolo deve essere utilizzata la molla di ancoraggio; la molla di ancoraggio è modificata dal coefficiente β, pertanto l'utente deve utilizzare uno dei tipi di ancoraggio disponibili quando definisce le condizioni di inizio e fine dell'armatura. 

Nella progettazione delle strutture in calcestruzzo si incontrano due grandi gruppi di aree parzialmente caricate (PLA): il primo comprende gli appoggi, il secondo le zone di ancoraggio. 

Secondo le norme attualmente in vigore per la progettazione delle strutture in calcestruzzo armato, ACI 318-19 cap. 22.8, per gli appoggi si devono considerare lo schiacciamento locale del calcestruzzo e le forze di trazione trasversali. Per un carico uniformemente distribuito su un'area A_c1, la capacità a compressione del calcestruzzo può essere aumentata fino a due volte in funzione dell'area di diffusione di progetto A_c2. Vedere la tabella 22.8.3.2 di ACI 318-19.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Partially loaded areas for bearings according to ACI 318-19}}}$$

Per le zone di ancoraggio post-tese si deve fare riferimento ad ACI 318-19, cap. 25.9.

L'area parzialmente caricata deve essere armata in modo adeguato con armatura trasversale, dimensionata per trasmettere le forze di fenditurazione che si sviluppano nell'area. Senza la necessaria armatura trasversale non è possibile considerare l'aumento della capacità a compressione del calcestruzzo.

Aree parzialmente caricate in CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Con CSFM è possibile progettare e verificare strutture in calcestruzzo armato tenendo conto dell'influenza dell'aumento della resistenza a compressione del calcestruzzo nelle aree parzialmente caricate. Poiché CSFM è un modello a parete (2D) mentre le aree parzialmente caricate costituiscono un problema spaziale (3D), è stato necessario trovare una soluzione che combinasse questi due diversi tipi di problema (Fig. 50). Se la funzione “aree parzialmente caricate” è attivata, la geometria ammissibile del cono viene creata secondo ACI (Fig. 49). Tutte le interferenze geometriche vengono risolte completamente in 3D per la geometria specificata dell'elemento in calcestruzzo e per le dimensioni di ciascuna PLA. Successivamente viene creato un modello di calcolo dell'area parzialmente caricata.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

La modifica del modello del materiale si è rivelata un approccio inadatto, principalmente perché la mappatura delle proprietà sulla rete di elementi finiti è problematica. Si è stabilito che un approccio indipendente dalla rete di elementi finiti è una soluzione più appropriata. Per la geometria nota del cono di compressione vengono creati puntoni fittizi perfettamente coerenti (Fig. 51 e Fig. 52). Questi puntoni hanno proprietà del materiale identiche a quelle del calcestruzzo utilizzato nel modello, compreso il diagramma tensione-deformazione. La forma del cono determina la direzione dei puntoni, che distribuiscono gradualmente il carico dalla PLA fino all'area di diffusione di progetto. La densità areale dei puntoni fittizi varia in ciascuna parte del cono e aggiunge un'area fittizia di calcestruzzo nella direzione del carico. Al livello dell'area caricata (A_c1) viene aggiunta un'area fittizia di calcestruzzo secondo il rapporto $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  (dove A_real è l'area dell'appoggio assunta nel modello di calcolo 2D); quest'area diminuisce linearmente fino a zero verso l'area di diffusione di progetto (A_c2). Questa soluzione garantisce che la tensione di compressione nel calcestruzzo sia costante su tutto il volume del cono.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

La resistenza dell'area parzialmente caricata viene aumentata in base al rapporto tra l'area di diffusione di progetto e l'area caricata, indicato in ACI 318-19 cap. 22.8.  Occorre ricordare che si tratta di un modello di progetto che non può descrivere con precisione lo stato tensionale su un'area parzialmente caricata, il cui flusso reale è molto più complesso. Tuttavia, questa soluzione consente la corretta distribuzione del carico all'intero modello, rispettando al contempo la maggiore capacità portante dell'area parzialmente caricata. Inoltre, introduce correttamente le tensioni trasversali in quest'area, consentendo di dimensionare correttamente l'armatura per le forze di fenditurazione.

La tensione di appoggio ammissibile pari a 0.85f_c' è riportata nella tabella 22.8.3.2. La densità è limitata in modo da non superare la capacità massima doppia indicata nella formula della tabella 22.8.3.2(b).  

Per le zone di ancoraggio, nell'applicazione la PLA viene utilizzata allo stesso modo che per gli appoggi. Per questo motivo le zone locali definite in ACI 318-19 capitolo 25.9 devono essere verificate manualmente secondo ACI 318-19 25.9.3. La PLA viene quindi utilizzata solo per evitare il superamento del criterio di deformazione nella zona locale e, di conseguenza, l'arresto prematuro del calcolo. D'altra parte, secondo ACI 318-19, art. 25.9.4.3.1 (b), l'armatura che resiste alle tensioni nel piano dovute a bursting e spalling può essere verificata direttamente e con vantaggio nell'applicazione.

Le verifiche di esercizio vengono eseguite per la limitazione delle tensioni, l'ampiezza delle fessure e i limiti di freccia. Le tensioni vengono verificate negli elementi in calcestruzzo e in armatura secondo ACI 318-19, in modo analogo a quanto specificato per la resistenza.

Limitazione delle tensioni

Le tensioni di compressione ammissibili nel calcestruzzo ai carichi di esercizio devono essere verificate per gli elementi precompressi di classe U e T. In base alla Tabella R24.5.2.1, per il calcestruzzo che si assume fessurato non è richiesta alcuna verifica di limitazione delle tensioni. L'utente deve impostare la classe dell'elemento precompresso nelle impostazioni dell'elemento di progetto.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}$$

La tensione di compressione ammissibile per gli elementi soggetti a carichi transitori è specificata da ACI 318-19 24.5.4.1 come 0,6f_c'. Il limite di tensione di compressione di 0,45f_c' è stato stabilito per ridurre la probabilità di rottura degli elementi in calcestruzzo precompresso dovuta a carichi ripetuti. Questo limite è inoltre risultato ragionevole per evitare deformazioni viscose eccessive. A valori di tensione più elevati, le deformazioni viscose tendono ad aumentare più rapidamente all'aumentare della tensione applicata.

La tensione nel calcestruzzo compresso viene valutata come rapporto tra la tensione principale di compressione massima f_c = σ_c2 ottenuta dall'analisi FE per l'esercizio e il valore limite, che è definito in base alla Tabella 24.5.4.1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

Nell'applicazione, Precompressione più carico sostenuto viene trattata come combinazione a lungo termine e Precompressione più carico totale come combinazione a breve termine.

Freccia

In base al tipo di combinazione selezionato (a lungo termine o a breve termine), viene valutata la freccia a lungo termine oppure a breve termine. Il valore massimo ammissibile della freccia deve essere determinato dall'utente e considerato in conformità a ACI 138-19 24.2. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

Nell'applicazione è possibile visualizzare separatamente le frecce dovute al carico permanente Δ_DL e al carico variabile Δ_LL, nonché la freccia totale Δ_Tot (permanente + variabile), il tutto con la visualizzazione della configurazione deformata.

Le frecce alle estremità troncate non possono essere verificate.

Ampiezza delle fessure

L'ampiezza e l'orientamento delle fessure vengono calcolati per le combinazioni di esercizio a breve termine o a lungo termine. Poiché ACI non prescrive direttamente limiti per l'ampiezza delle fessure, l'utente deve specificare un'ampiezza limite delle fessure w_lim.

Le verifiche sono presentate come segue:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

dove:

w         ampiezza della fessura a breve o a lungo termine calcolata mediante analisi FE,

w_lim     valore limite dell'ampiezza della fessura definito dall'utente.

Il metodo di calcolo dell'ampiezza delle fessure utilizzato nell'applicazione, descritto più in dettaglio anche in questo documento, è conforme a ACI 224R-01. È quindi possibile utilizzare la Tabella 4.1 di ACI 224R-01 per determinare il valore limite dell'ampiezza delle fessure.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}$$

Esistono due modi per calcolare l'ampiezza delle fessure (fessurazione stabilizzata e non stabilizzata). Nel caso generale (fessurazione stabilizzata), l'ampiezza della fessura viene calcolata integrando le deformazioni sugli elementi 1D delle barre di armatura. La direzione della fessura viene quindi calcolata a partire dai tre punti di integrazione degli elementi 2D in calcestruzzo più vicini (rispetto al centro dell'elemento finito 1D di armatura considerato). Sebbene questo approccio per il calcolo delle direzioni delle fessure non corrisponda alla posizione reale delle fessure, fornisce comunque valori rappresentativi che portano a risultati di ampiezza della fessura confrontabili con i valori richiesti dalla normativa in corrispondenza della posizione della barra di armatura.

Calcestruzzo - Resistenza

Il modello del calcestruzzo implementato per i calcoli di resistenza in CSFM si basa sulle ipotesi di progetto a resistenza di AASHTO LRFD relative all'equilibrio e alla congruenza delle deformazioni. In conformità all'AASHTO LRFD (2024) Articolo 5.6.2.1, la resistenza a trazione del calcestruzzo è trascurata.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

L'implementazione del CSFM in IDEA StatiCa Detail non considera un criterio di rottura esplicito in termini di deformazioni per il calcestruzzo compresso (cioè, dopo il raggiungimento della tensione di picco, considera un ramo plastico con ε_c0 con valore massimo pari al 5%, mentre l'AASHTO LRFD (2024) Articolo 5.6.2.1 assume una deformazione ultima inferiore allo 0,3%). Questa semplificazione non consente di verificare la capacità deformativa delle strutture che giungono a rottura per compressione. Tuttavia, la resistenza è prevista correttamente quando, oltre al fattore del calcestruzzo fessurato (k_c2 definito in (Fig. 57)), si considera l'aumento della fragilità del calcestruzzo al crescere della sua resistenza mediante il fattore di riduzione $\eta_{fc}$ definito nel fib Model Code 2010 come segue:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

dove:

α₁ è il fattore di riduzione della resistenza a compressione del calcestruzzo definito nell'AASHTO LRFD (2024) Articolo 5.6.2.2. Quando si utilizza un diagramma tensione-deformazione parabola-rettangolo , è necessario ridurre la tensione massima di compressione mediante questo fattore. Ciò permette di mediare la distribuzione delle tensioni nella zona compressa in modo tale che la resistenza a compressione risultante sia minore o uguale alla resistenza a compressione calcolata utilizzando un diagramma tensione-deformazione con ramo plastico decrescente.

Φ_c è il fattore di resistenza per il calcestruzzo. Il valore predefinito è impostato secondo l'AASHTO LRFD (2024) Articolo 5.5.4.2.

k_c2 è il fattore di riduzione dovuto alla presenza di fessurazione trasversale.

f'_c è la resistenza cilindrica del calcestruzzo (in MPa per la definizione di $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 è un fattore di riduzione basato sulle stesse ipotesi del fattore di efficienza del calcestruzzo ν riportato nell'AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a e nella Tabella 5.8.2.5.3a-1, con la differenza che in CSFM la presenza di una tensione principale di trazione perpendicolare alla tensione principale di compressione viene verificata per ogni elemento finito (e non solo per i nodi del modello Puntone e Tirante).

Calcestruzzo – Esercizio

L'analisi di esercizio contiene alcune semplificazioni dei modelli costitutivi utilizzati per l'analisi di resistenza. Il ramo plastico della curva tensione-deformazione del calcestruzzo in compressione viene trascurato, mentre il ramo elastico è lineare e illimitato. La legge di ammorbidimento a compressione non viene considerata. Queste semplificazioni migliorano la stabilità numerica e la velocità di calcolo e non riducono la generalità della soluzione, purché i limiti di tensione risultanti nei materiali allo stato limite di esercizio siano chiaramente al di sotto dei rispettivi punti di snervamento (in coerenza con l'approccio allo stato limite di esercizio dell'AASHTO LRFD). Pertanto, i modelli semplificati utilizzati per l'esercizio sono validi solo se tutti i requisiti di verifica sono soddisfatti.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Effetti a lungo termine

La legge costitutiva a lungo termine (la curva rossa in Fig. 59) viene utilizzata per il calcolo dell'ampiezza delle fessure, della deformazione totale e della limitazione delle tensioni degli elementi precompressi quando l'effetto a lungo termine è selezionato nella barra multifunzione superiore. Nell'applicazione IDEA StatiCa Detail, per la verifica degli effetti a lungo termine viene utilizzato il modulo di elasticità efficace, come indicato nell'AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

dove:
E_c è il modulo di elasticità definito nell'AASHTO LRFD (2024) articolo 5.4.2.4
ψ è il coefficiente di viscosità definito nell'AASHTO LRFD (2024) articolo 5.4.2.3.2

I coefficienti di viscosità sono definiti dall'utente nelle proprietà del materiale.

Effetti a breve termine

Per eseguire le verifiche a breve termine, viene effettuato un ulteriore calcolo in cui tutti i carichi sono calcolati senza il coefficiente di viscosità. Entrambi i calcoli, per le verifiche a lungo e a breve termine, sono rappresentati in Fig. 59.

Armatura

Per l'armatura non precompressa viene considerato un diagramma tensione-deformazione perfettamente elasto-plastico con un punto di snervamento definito, vedere AASHTO LRFD (2024) Articolo 5.4.3. La definizione di questo diagramma richiede soltanto la conoscenza delle proprietà di base dell'armatura: la resistenza e il modulo di elasticità.

Il diagramma tensione-deformazione dell'armatura può essere definito anche dall'utente, ma in questo caso non è possibile considerare l'effetto di irrigidimento a trazione (non è possibile calcolare l'ampiezza delle fessure). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

dove:

Φ_s è il fattore di resistenza per l'armatura. Il valore predefinito è impostato secondo l'AASHTO LRFD (2024) Articolo 5.5.4.2.

f_y è la tensione di snervamento dell'armatura

E_s è il modulo di elasticità dell'armatura

Come deformazione limite alla quale il calcolo viene interrotto è selezionato il 10%. Tale valore è considerato sicuro sulla base di ASTM A955/A955M-20c Articolo 7.

L'irrigidimento a trazione (Fig. 61)  viene considerato automaticamente modificando la relazione tensione-deformazione di input della barra d'armatura nuda, al fine di cogliere la rigidezza media delle barre immerse nel calcestruzzo (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Il Metodo del Campo di Tensioni Compatibile è conforme alle normative di progetto moderne. Poiché i modelli di calcolo utilizzano solo proprietà standard dei materiali, il formato dei coefficienti parziali di sicurezza prescritto dalle normative può essere applicato senza alcun adattamento. In questo modo, i carichi in ingresso vengono amplificati e le proprietà caratteristiche dei materiali vengono ridotte mediante i rispettivi fattori di resistenza, esattamente come nell'analisi convenzionale del calcestruzzo.

I valori dei fattori di resistenza sono prescritti in AASHTO LRFD (2024), Articolo 5.5.4. I valori predefiniti per il calcestruzzo e l'armatura sono scelti in modo conservativo, partendo dal presupposto che l'esempio risolto tipico sia una regione D, caso tipico per il metodo SaT. È tuttavia possibile modellare qualsiasi tipo di elemento. Pertanto, se si verifica un elemento controllato da compressione o da trazione, l'utente ha la possibilità di modificare il valore del fattore di riduzione della resistenza nelle Preferenze.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

I fattori di carico e le combinazioni di carico devono essere definiti in conformità alle AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Articolo 3.4.1 e Tabelle da 3.4.1-1 a 3.4.1-6. AASHTO LRFD specifica esplicitamente le combinazioni di carico per lo stato limite di resistenza (da Strength I a Strength V), nonché le combinazioni di carico per lo stato limite di esercizio (da Service I a Service IV), inclusi i fattori di carico corrispondenti per ciascun caso.

Per ogni modello, il programma include combinazioni di base predefinite che richiedono di essere completate in funzione dell'elemento in esame.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Le diverse verifiche richieste da AASHTO sono valutate in base ai risultati diretti forniti dal modello. Le verifiche sono eseguite per la resistenza del calcestruzzo, la resistenza dell'armatura e l'ancoraggio (tensioni tangenziali di aderenza).

La resistenza del calcestruzzo a compressione è valutata come rapporto tra la massima tensione principale di compressione f_c (indicata anche come σ₂ nei Risultati ausiliari) ottenuta dall'analisi FE e il valore limite f'_c,lim.

La resistenza dell'armatura è valutata sia a trazione sia a compressione come rapporto tra la tensione nell'armatura in corrispondenza delle fessure f_s e il valore limite specificato f_y,lim.

La tensione tangenziale di aderenza è valutata in modo indipendente come rapporto tra la tensione di aderenza τ_b calcolata dall'analisi FE e la resistenza di aderenza f_bu.

Tuttavia, poiché la resistenza di aderenza non è definita esplicitamente in AASHTO, il suo valore deve essere determinato mediante le equazioni che definiscono la lunghezza di sviluppo. La resistenza di aderenza è infatti il dato di input principale per determinare la lunghezza di sviluppo; si vedano, ad esempio, AASHTO LRFD (2024) Article C5.10.8.2 oppure NCHRP Report 733, Attachment E, pagina E-9.

Il calcolo descritto in AASHTO LRFD (2024) Article 5.10.8.2.1 e 5.10.8.2.2 richiede la conoscenza dell'interasse massimo tra le armature trasversali entro l_d, del numero di barre o fili sviluppati lungo il piano di splitting, dell'area totale della sezione trasversale di tutte le armature trasversali e di altre grandezze geometriche che non possono essere determinate in modo affidabile nel modello dell'applicazione Detail per un input generale. Per questo motivo è stato adottato un approccio tratto da AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1, nel modo seguente:

Si assuma che, se la barra di armatura è ancorata in un blocco di calcestruzzo per una lunghezza pari o superiore alla lunghezza di sviluppo l_d, lo sfilamento dell'armatura porti alla rottura dell'armatura stessa e non allo sfilamento dal calcestruzzo. Ciò può essere scritto con la seguente formula.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

dove:

• d_b è il diametro della barra di armatura
• l_d è la lunghezza di sviluppo
• f_bu è la resistenza di aderenza
• f_y è la resistenza a snervamento dell'armatura
• A_b è l'area della barra di armatura

Da quanto precede, la formula per il calcolo della resistenza di aderenza può essere ricavata facilmente.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

La lunghezza di sviluppo di base a trazione l_db è determinata in AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 come segue:

Per barre No. 11 e inferiori:   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Per barre No. 14:   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Per barre No. 18:   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

dove:

• A_b è l'area della barra di armatura (in²)
• f_y è la resistenza a snervamento specificata dell'armatura (ksi)
• f'_c è la resistenza a compressione specificata del calcestruzzo a 28 giorni, salvo diversa età specificata (ksi)
• d_b è il diametro della barra di armatura (in)

Successivamente, moltiplicando la lunghezza di sviluppo di base l_db per i fattori descritti in AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.2 e 5.11.2.1.3, si determina la lunghezza di sviluppo l_d utilizzata come input.

I fattori di modifica che riducono la lunghezza di sviluppo, di cui al punto 5.11.2.1.3, sono sempre pari a 1,0 nell'applicazione. Il fattore di modifica per l'armatura superiore orizzontale o quasi orizzontale è pari a 1,4 per condizioni di aderenza "scarse", secondo la figura seguente:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

La direzione di getto può essere impostata nell'applicazione.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}$$

Tutti gli altri fattori determinati nel punto 5.11.2.1.2 sono pari a 1,0 perché è supportato solo il calcestruzzo di peso normale ed è supportata solo l'armatura non rivestita.

La tensione tangenziale di aderenza e la resistenza di aderenza delle barre compresse sono calcolate in modo analogo a quelle delle barre tese, ma si utilizzano le equazioni di AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.2.

È disponibile anche un'opzione per modellare le barre lisce. Maggiori informazioni sono disponibili qui: Barre lisce in Detail

Forza totale F_tot e forza limite F_lim

La forza totale F_tot è un risultato dell'analisi agli elementi finiti e può essere definita in due modi.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

dove A_b è l'area della barra di armatura e f_s è la tensione nella barra.

Oppure come somma della forza di ancoraggio F_a e della forza di aderenza F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

dove F_a è la forza effettiva nella molla di ancoraggio e F_bond è la forza di aderenza, che può essere ottenuta integrando la tensione di aderenza τ_b lungo la lunghezza della barra di armatura l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s è la circonferenza della barra di armatura.

La forza limite F_lim è la forza massima nell'elemento della barra di armatura, considerando la resistenza della barra e anche le condizioni di ancoraggio (aderenza tra calcestruzzo e armatura, ganci di ancoraggio, anelli, ecc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

dove C_s è la circonferenza della barra di armatura e l è la lunghezza dall'inizio della barra di armatura al punto di interesse.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

dove F_lim,add è la forza aggiuntiva calcolata in base all'ampiezza dell'angolo tra elementi adiacenti. F_lim,2 deve essere sempre inferiore a F_u.

I tipi di ancoraggio disponibili in CSFM comprendono barra dritta (cioè nessuna riduzione per l'estremità di ancoraggio), gancio a 90 gradi, gancio a 180 gradi, aderenza perfetta e barra continua. Tutti questi tipi, insieme ai rispettivi coefficienti di ancoraggio β, sono mostrati in Fig. 67 per l'armatura longitudinale. I valori dei coefficienti di ancoraggio adottati derivano dal confronto tra l'equazione della sezione AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1 e le equazioni tratte dalla sezione AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1. Va notato che, nonostante le diverse opzioni disponibili, CSFM distingue tre tipi di estremità di ancoraggio: (i) nessuna riduzione della lunghezza di ancoraggio, (ii) una riduzione del 30% della lunghezza di ancoraggio nel caso di un ancoraggio normalizzato e (iii) aderenza perfetta.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Il coefficiente di ancoraggio per le staffe (disponibile per l'elemento trave) è sempre β = 1,0.

Per rispettare AASHTO, nel calcolo deve essere utilizzata la molla di ancoraggio. La molla di ancoraggio è modificata dal coefficiente β, pertanto l'utente deve utilizzare uno dei tipi di ancoraggio disponibili quando definisce le condizioni di inizio e fine dell'armatura. 

Nella progettazione delle strutture in calcestruzzo si incontrano due grandi gruppi di aree caricate parzialmente (PLA): il primo comprende gli appoggi, mentre il secondo è costituito dalle zone di ancoraggio. 

Secondo le norme attualmente vigenti per la progettazione delle strutture in calcestruzzo armato, per gli appoggi si devono considerare lo schiacciamento locale del calcestruzzo e le forze di trazione trasversali. Per un carico uniformemente distribuito su un'area A₁, la resistenza a compressione del calcestruzzo può essere aumentata fino a due volte in funzione dell'area di diffusione di progetto A₂. Si veda AASHTO LRFD (2024), Articolo 5.6.5.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Partially loaded areas for bearings according to AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5}}}$$

Per le zone di ancoraggio post-tese si deve fare riferimento ad AASHTO LRFD (2024), Articolo 5.8.4.4.

L'area caricata parzialmente deve essere adeguatamente armata con armatura trasversale progettata per trasmettere le forze di spacco che si sviluppano nell'area. Senza la necessaria armatura trasversale, non è possibile considerare l'aumento della resistenza a compressione del calcestruzzo.

Aree caricate parzialmente in CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 69\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Con il CSFM è possibile progettare e verificare strutture in calcestruzzo armato tenendo conto dell'influenza dell'aumento della resistenza a compressione del calcestruzzo nelle aree caricate parzialmente. Poiché il CSFM è un modello a parete (2D) e le aree caricate parzialmente costituiscono un problema spaziale (3D), è stato necessario individuare una soluzione che combinasse questi due diversi tipi di problemi (Fig. 69). Se la funzione "aree caricate parzialmente" è attivata, la geometria del cono ammissibile viene creata secondo l'ACI (Fig. 68). Tutte le interferenze geometriche vengono risolte completamente in 3D per la geometria specificata dell'elemento in calcestruzzo e per le dimensioni di ciascuna PLA. Successivamente viene creato un modello di calcolo dell'area caricata parzialmente.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 70\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

La modifica del modello del materiale si è rivelata un approccio non idoneo, principalmente perché la mappatura delle proprietà sulla rete di elementi finiti è problematica. È stato stabilito che un approccio indipendente dalla rete di elementi finiti rappresenta una soluzione più appropriata. Per la geometria nota del cono di compressione vengono creati puntoni fittizi perfettamente coerenti (Fig. 70 e Fig. 71). Questi puntoni hanno proprietà del materiale identiche a quelle del calcestruzzo utilizzato nel modello, compreso il diagramma tensione-deformazione. La forma del cono determina la direzione dei puntoni, che distribuiscono gradualmente il carico dalla PLA fino all'area di diffusione di progetto. La densità di area dei puntoni fittizi è variabile in ogni parte del cono e aggiunge un'area fittizia di calcestruzzo nella direzione del carico. In corrispondenza dell'area caricata (A₁) viene aggiunta un'area fittizia di calcestruzzo secondo il rapporto $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} - A_{real}$  (dove A_real è l'area dell'appoggio assunta nel modello di calcolo 2D), e questa area diminuisce linearmente fino a zero verso l'area di diffusione di progetto (A₂). Questa soluzione garantisce che la tensione di compressione nel calcestruzzo sia costante su tutto il volume del cono.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{2}}{A_{1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 71\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

La resistenza dell'area caricata parzialmente viene incrementata in base al rapporto tra l'area di diffusione di progetto e l'area caricata, definito in AASHTO LRFD (2024), Articolo 5.6.5.  Occorre ricordare che si tratta di un modello di progetto che non può descrivere con precisione lo stato tensionale su un'area caricata parzialmente, il cui flusso reale è molto più complesso. Tuttavia, questa soluzione consente la corretta distribuzione del carico sull'intero modello, rispettando al contempo la maggiore capacità portante dell'area caricata parzialmente. Inoltre, introduce correttamente le tensioni trasversali in quest'area, così da progettare correttamente l'armatura per le forze di spacco.

La tensione di appoggio ammissibile pari a 0.85f_c' è riportata in AASHTO LRFD (2024), Articolo 5.8.4.4. La densità è limitata in modo da non superare la capacità massima pari al doppio, indicata nella formula 5.6.5-3.  

Per le zone di ancoraggio, nell'applicazione la PLA viene utilizzata allo stesso modo degli appoggi. Per questo motivo le tensioni di compressione nelle zone locali e globali definite negli Articoli 5.8.4.4 e 5.8.4.5 devono essere verificate manualmente. La PLA viene quindi utilizzata solo per evitare di superare il criterio di deformazione nella zona locale e interrompere così prematuramente il calcolo. D'altra parte, l'armatura che resiste alle tensioni di scoppio, di distacco nel piano e di trazione di bordo nelle zone generali (definite nell'Articolo 5.8.4.5) può essere verificata direttamente e con vantaggio nell'applicazione.

Le verifiche di esercizio vengono eseguite per la limitazione delle tensioni, l'ampiezza delle fessure e i limiti di freccia. Le tensioni nel calcestruzzo e negli elementi di armatura vengono verificate secondo AASHTO LRFD in modo analogo a quanto specificato per la resistenza.

Limitazione delle tensioni

La tensione di compressione nel calcestruzzo viene valutata solo per gli elementi precompressi (quando nel modello è presente il caso di carico di precompressione) come rapporto tra la massima tensione principale di compressione f_c = σ_c2 ottenuta dall'analisi FE per l'esercizio e i valori limite, stabiliti in base alla Tabella 5.9.2.3.2a-1 di AASHTO LRFD.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 72\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

Nell'applicazione, Precompressione più carico permanente è trattato come carico sostenuto (Sustain), mentre Precompressione, carico permanente e transitorio come carico totale (Total).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 73\qquad Serviceability combination types}}}$$

Inoltre, è sempre possibile eseguire un'analisi sia per gli effetti a breve termine sia per quelli a lungo termine, utilizzando modelli di materiale che tengono conto o meno del coefficiente di viscosità; si veda la sezione "Modelli di materiale (AASHTO)".

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 74\qquad Serviceability material models}}}$$

Freccia

Le frecce istantanee e le frecce totali vengono valutate per ciascuna combinazione per la quale è attivata la valutazione della freccia. 

• Per le frecce istantanee si utilizza il modulo di elasticità E_c secondo l'articolo 5.4.2.4 di AASHTO LRFD (2024). 
• Per le frecce totali si utilizza il modulo di elasticità efficace E_c,eff secondo l'articolo C5.12.5.3.6 di AASHTO LRFD (2024). 

Si veda il capitolo 'Modelli di materiale (AASHTO) - Calcestruzzo – Esercizio' in questo documento.

La verifica della freccia viene attivata nella barra multifunzione superiore. L'utente imposta i valori limite della freccia secondo l'articolo 2.5.2.6.2 di AASHTO LRFD (2024), in funzione del tipo di elemento analizzato.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 75\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

Le frecce alle estremità rifilate non possono essere verificate.

Ampiezza delle fessure

L'ampiezza e l'orientamento delle fessure vengono calcolati solo per gli effetti a lungo termine (utilizzando E_c,eff secondo l'articolo C5.12.5.3.6 di AASHTO LRFD (2024)) per le combinazioni in cui è attivata la valutazione dell'ampiezza delle fessure. Le verifiche basate sui valori limite specificati dall'utente sono le seguenti:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

dove:

w         ampiezza della fessura calcolata mediante analisi FE,

w_lim     valore limite dell'ampiezza della fessura definito dall'utente.

Il valore limite w_lim deve essere determinato in base al tipo di elemento e alla classe di esposizione in conformità all'articolo 5.6.7 di AASHTO LRFD (2024) e al relativo commento. 

Esistono due modi per calcolare l'ampiezza delle fessure (fessurazione stabilizzata e non stabilizzata). Nel caso generale (fessurazione stabilizzata), l'ampiezza della fessura viene calcolata integrando le deformazioni sugli elementi 1D delle barre di armatura. La direzione della fessura viene quindi calcolata a partire dai tre punti di integrazione più vicini (rispetto al centro dell'elemento finito 1D di armatura considerato) degli elementi 2D di calcestruzzo. Sebbene questo approccio per il calcolo delle direzioni delle fessure non corrisponda alla posizione reale delle fessure, fornisce comunque valori rappresentativi che portano a risultati di ampiezza delle fessure confrontabili con i valori di ampiezza delle fessure richiesti dalla normativa in corrispondenza della posizione della barra di armatura.

Calcestruzzo - Resistenza

Il modello del calcestruzzo implementato per i calcoli di resistenza nel CSFM si basa sulla curva tensione-deformazione parabola-plastica. La resistenza a trazione è trascurata, come nel classico progetto del calcestruzzo armato.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 76\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

L'implementazione del CSFM in IDEA StatiCa Detail non considera un criterio di rottura esplicito in termini di deformazioni per il calcestruzzo compresso (ovvero, dopo il raggiungimento della tensione di picco, considera un ramo plastico con ε_c0 con valore massimo del 5%, mentre AS 3600 Cl. 8.3.1 assume una deformazione ultima inferiore allo 0,3%). Questa semplificazione non consente di verificare la capacità di deformazione delle strutture che collassano per compressione. Tuttavia, la resistenza è prevista correttamente quando, oltre al fattore del calcestruzzo fessurato (k_c2 definito in (Fig. 77)), si considera l'aumento della fragilità del calcestruzzo al crescere della sua resistenza mediante il fattore di riduzione $\eta_{fc}$ definito nel fib Model Code 2010 come segue:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s}\cdot \beta \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}$$