2.5 Finite-Elemente-Typen

Das nichtlineare (inelastische) Finite-Elemente-Berechnungsmodell wird aus mehreren Typen finiter Elemente aufgebaut, mit denen Beton, Bewehrung und der Verbund zwischen beiden abgebildet werden. Beton- und Bewehrungselemente werden zunächst unabhängig voneinander vernetzt und anschließend über Mehrpunkt-Randbedingungen (MPC-Elemente) miteinander verbunden. Dadurch kann die Bewehrung eine beliebige Lage relativ zum Beton einnehmen. Soll der Nachweis der Verankerungslänge berechnet werden, werden zwischen der Bewehrung und den MPC-Elementen Verbund- und Verankerungsendfederelemente eingefügt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Beton

Beton wird mit viereckigen und dreieckigen Schalenelementen, CQUAD4 und CTRIA3, modelliert. Diese werden durch vier bzw. drei Knoten definiert. In diesen Elementen wird ausschließlich ein ebener Spannungszustand angenommen, d. h. Spannungen oder Dehnungen in z-Richtung werden nicht berücksichtigt.

Jedes Element hat vier bzw. drei Integrationspunkte, die ungefähr bei 1/4 seiner Größe liegen. An jedem Integrationspunkt jedes Elements werden die Richtungen der Hauptdehnungen α₁, α₂ berechnet. In beiden Richtungen werden die Hauptspannungen σ_c1, σ_c2 und die Steifigkeiten E₁, E₂ gemäß dem festgelegten Spannung-Dehnung-Diagramm des Betons ausgewertet, siehe Fig. 2. Dabei ist zu beachten, dass der Einfluss der Druckerweichung das Verhalten in der Hauptdruckrichtung an den tatsächlichen Zustand in der anderen Hauptrichtung koppelt.

Bewehrung

Bewehrungsstäbe werden durch eindimensionale „Stab“-Elemente (CROD) mit zwei Knoten modelliert, die nur eine axiale Steifigkeit besitzen. Diese Elemente sind mit speziellen „Verbund“-Elementen verbunden, die entwickelt wurden, um das Schlupfverhalten zwischen einem Bewehrungsstab und dem umgebenden Beton abzubilden. Diese Verbundelemente werden anschließend über MPC-Elemente (Mehrpunkt-Randbedingungen) mit dem Netz verbunden, das den Beton darstellt. Dieser Ansatz ermöglicht die unabhängige Vernetzung von Bewehrung und Beton, während ihre Verknüpfung nachträglich sichergestellt wird.

Verbundelemente

Die Verankerungslänge wird nachgewiesen, indem die Verbundschubspannungen zwischen den Betonelementen (2D) und den Bewehrungsstabelementen (1D) im Finite-Elemente-Modell berücksichtigt werden. Zu diesem Zweck wurde ein finiter Elementtyp „Verbund“ entwickelt.

Die Definition des Verbundelements ähnelt der eines Schalenelements (CQUAD4). Es wird ebenfalls durch vier Knoten definiert, besitzt jedoch im Gegensatz zu einer Schale nur eine von null verschiedene Schubsteifigkeit zwischen den zwei oberen und den zwei unteren Knoten. Im Modell sind die oberen Knoten mit den Elementen verbunden, welche die Bewehrung darstellen, und die unteren Knoten mit denen, welche den Beton darstellen. Das Verhalten dieses Elements wird durch die Verbundspannung τ_b als bilineare Funktion des Schlupfs zwischen den oberen und unteren Knoten, δ_u, beschrieben, siehe Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

Der elastische Steifigkeitsmodul der Verbund-Schlupf-Beziehung, G_b, ist wie folgt definiert:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

Dabei ist:

k_g            Beiwert in Abhängigkeit von der Oberfläche des Bewehrungsstabs (standardmäßig k_g = 0,2)

E_c            Elastizitätsmodul des Betons (bei EN als E_cm angesetzt)

Ø             der Durchmesser des Bewehrungsstabs

Zum Nachweis der Verankerungslänge werden die Bemessungswerte (mit Teilsicherheitsbeiwerten beaufschlagte Werte) der Verbundbruchspannung, f_bd, verwendet, die in den jeweils gewählten Bemessungsnormen EN 1992-1-1 oder ACI 318-19 angegeben sind. Die Verfestigung des plastischen Astes wird standardmäßig als G_b/10⁵ berechnet.

Verankerungsfeder

Die Ausbildung von Verankerungsenden an den Bewehrungsstäben (d. h. Biegungen, Haken, Schlaufen usw.), welche die Vorgaben der Bemessungsnormen erfüllt, erlaubt es, die Grundverankerungslänge der Stäbe (l_b,net) um einen bestimmten Faktor β zu verringern (im Folgenden als „Verankerungsbeiwert“ bezeichnet). Der Bemessungswert der Verankerungslänge (l_b) wird dann wie folgt berechnet:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

Die beabsichtigte Verringerung von l_b,net entspricht der Aktivierung des Bewehrungsstabs an seinem Ende mit einem Prozentsatz seiner maximalen Tragfähigkeit, der durch den Verankerungsreduktionsbeiwert gegeben ist, wie in Fig. 15a dargestellt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

Die Verringerung der Verankerungslänge wird im Finite-Elemente-Modell durch ein Federelement am Stabende berücksichtigt (Fig. 15), das durch das in Fig. 15b dargestellte Materialmodell definiert ist. Die maximale Kraft, die von dieser Feder übertragen wird (F_au), beträgt:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

Dabei ist:

β             der Verankerungsbeiwert in Abhängigkeit von der Verankerungsart,

A_s            der Querschnitt des Bewehrungsstabs,

f_yd           der Bemessungswert (mit Teilsicherheitsbeiwerten beaufschlagter Wert) der Streckgrenze der Bewehrung.