2.5 Tipuri de elemente finite

Modelul de analiză neliniară (inelastică) cu elemente finite este creat din mai multe tipuri de elemente finite, utilizate pentru modelarea betonului, a armăturii și a aderenței dintre ele. Elementele de beton și de armătură sunt mai întâi discretizate independent, apoi sunt conectate între ele prin constrângeri multi-punct (elemente MPC). Astfel, armătura poate ocupa o poziție relativă arbitrară față de beton. Dacă se calculează verificarea lungimii de ancoraj, între armătură și elementele MPC se introduc elemente de aderență și elemente arc de capăt de ancoraj.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Beton

Betonul este modelat cu elemente de tip placă patrulatere și triunghiulare, CQUAD4 și CTRIA3. Acestea pot fi definite prin patru, respectiv trei noduri. În aceste elemente se presupune că există doar starea plană de tensiune, adică tensiunile sau deformațiile pe direcția z nu sunt luate în considerare.

Fiecare element are patru sau trei puncte de integrare, plasate aproximativ la 1/4 din dimensiunea sa. În fiecare punct de integrare al fiecărui element se calculează direcțiile deformațiilor principale α₁, α₂. Pe ambele direcții se evaluează tensiunile principale σ_c1, σ_c2 și rigiditățile E₁, E₂, conform diagramei efort-deformație a betonului specificate, ca în Fig. 2. Trebuie remarcat că efectul rezistenței reduse a betonului comprimat cuplează comportamentul direcției principale comprimate cu starea reală de pe cealaltă direcție principală.

Armătură

Barele de armătură sunt modelate prin elemente 1D de tip „bară” (CROD) cu două noduri, care au doar rigiditate axială. Aceste elemente sunt conectate la elemente speciale de „aderență”, dezvoltate pentru a modela comportamentul de alunecare dintre o bară de armătură și betonul înconjurător. Aceste elemente de aderență sunt apoi conectate, prin elemente MPC (constrângeri multi-punct), la plasa de elemente finite care reprezintă betonul. Această abordare permite discretizarea independentă a armăturii și a betonului, iar legătura dintre ele este asigurată ulterior.

Elemente de aderență

Lungimea de ancoraj este verificată prin introducerea tensiunilor tangențiale de aderență dintre elementele de beton (2D) și elementele barelor de armătură (1D) în modelul cu elemente finite. În acest scop, a fost dezvoltat un tip de element finit de „aderență”.

Definiția elementului de aderență este similară cu cea a unui element de tip placă (CQUAD4). Acesta este definit tot prin 4 noduri, dar, spre deosebire de placă, are rigiditate nenulă la forfecare doar între cele două noduri superioare și cele două noduri inferioare. În model, nodurile superioare sunt conectate la elementele care reprezintă armătura, iar cele inferioare la elementele care reprezintă betonul. Comportamentul acestui element este descris prin tensiunea de aderență, τ_b, ca funcție biliniară de alunecarea dintre nodurile superioare și cele inferioare, δ_u, vezi Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

Modulul de rigiditate elastică al relației aderență-alunecare, G_b, este definit astfel:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

unde:

k_g            coeficient care depinde de suprafața barei de armătură (implicit k_g = 0,2)

E_c            modulul de elasticitate al betonului (se consideră E_cm în cazul EN)

Ø             diametrul barei de armătură

Pentru verificarea lungimii de ancoraj se utilizează valorile de calcul (valorile factorizate) ale tensiunii tangențiale ultime de aderență, f_bd, furnizate de normele de calcul selectate, EN 1992-1-1 sau ACI 318-19. Consolidarea ramurii plastice este calculată implicit ca G_b/10⁵.

Arc de ancoraj

Prevederea unor capete de ancoraj la barele de armătură (adică coturi, cârlige, bucle…), conforme cu prescripțiile normelor de calcul, permite reducerea lungimii de ancoraj de bază a barelor (l_b,net) cu un anumit factor β (denumit în continuare „coeficient de ancoraj”). Valoarea de calcul a lungimii de ancoraj (l_b) se calculează astfel:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

Reducerea intenționată a lui l_b,net este echivalentă cu activarea barei de armătură la capătul ei, la un procent din capacitatea maximă dat de coeficientul de reducere a ancorajului, așa cum se arată în Fig. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

Reducerea lungimii de ancoraj este inclusă în modelul cu elemente finite prin intermediul unui element arc la capătul barei (Fig. 15), definit de modelul constitutiv prezentat în Fig. 15b. Forța maximă transmisă de acest arc (F_au) este:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

unde:

β             coeficientul de ancoraj în funcție de tipul de ancoraj,

A_s            aria secțiunii transversale a barei de armătură,

f_yd           valoarea de calcul (valoarea factorizată) a limitei de curgere a armăturii.