2.5 Typen eindige elementen

Het niet-lineaire (inelastische) eindige-elementenmodel wordt opgebouwd uit verschillende typen eindige elementen die worden gebruikt om beton, wapening en de aanhechting daartussen te modelleren. Beton- en wapeningselementen worden eerst onafhankelijk van elkaar gemesht en daarna met elkaar verbonden via multi-point randvoorwaarden (MPC-elementen). Hierdoor kan de wapening een willekeurige, relatieve positie ten opzichte van het beton innemen. Als de verankeringslengte moet worden getoetst, worden tussen de wapening en de MPC-elementen aanhechtings- en verankeringseindveerelementen ingevoegd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Beton

Beton wordt gemodelleerd met vierhoekige en driehoekige schaalelementen, CQUAD4 en CTRIA3. Deze worden respectievelijk gedefinieerd door vier of drie knopen. In deze elementen wordt alleen een vlakspanningstoestand aangenomen, d.w.z. spanningen of rekken in de z-richting worden niet in rekening gebracht.

Elk element heeft vier of drie integratiepunten, die op ongeveer 1/4 van de elementafmeting zijn geplaatst. In elk integratiepunt van elk element worden de richtingen van de hoofdrekken α₁, α₂ berekend. In beide richtingen worden de hoofdspanningen σ_c1, σ_c2 en de stijfheden E₁, E₂ bepaald volgens het opgegeven spanning-rekdiagram van beton, zoals in Fig. 2. Houd er rekening mee dat het compression softening effect het gedrag in de hoofddrukrichting koppelt aan de actuele toestand in de andere hoofdrichting.

Wapening

Wapeningsstaven worden gemodelleerd met 1D-“staaf”-elementen met twee knopen (CROD), die alleen axiale stijfheid hebben. Deze elementen zijn verbonden met speciale “aanhechtingselementen”, die zijn ontwikkeld om het slipgedrag tussen een wapeningsstaaf en het omringende beton te modelleren. Deze aanhechtingselementen worden vervolgens met MPC-elementen (multi-point randvoorwaarden) verbonden met de mesh die het beton voorstelt. Deze aanpak maakt het onafhankelijk meshen van wapening en beton mogelijk, terwijl hun onderlinge verbinding achteraf wordt gewaarborgd.

Aanhechtingselementen

De verankeringslengte wordt getoetst door in het eindige-elementenmodel de aanhechtingsschuifspanningen tussen betonelementen (2D) en wapeningsstaafelementen (1D) te implementeren. Hiervoor is een eindig element van het type “aanhechting” ontwikkeld.

De definitie van het aanhechtingselement is vergelijkbaar met die van een schaalelement (CQUAD4). Het wordt eveneens door 4 knopen gedefinieerd, maar heeft, in tegenstelling tot een schaalelement, alleen een stijfheid ongelijk aan nul in afschuiving tussen de twee bovenste en de twee onderste knopen. In het model zijn de bovenste knopen verbonden met de elementen die de wapening voorstellen en de onderste knopen met de elementen die het beton voorstellen. Het gedrag van dit element wordt beschreven door de aanhechtingsspanning, τ_b, als bilineaire functie van de slip tussen de bovenste en onderste knopen, δ_u, zie Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

De elastische stijfheidsmodulus van de aanhechting-slip-relatie, G_b, wordt als volgt gedefinieerd:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

waarin:

k_g            coëfficiënt afhankelijk van het oppervlak van de wapeningsstaaf (standaard k_g = 0,2)

E_c            elasticiteitsmodulus van beton (genomen als E_cm bij EN)

Ø             de diameter van de wapeningsstaaf

De rekenwaarden (gefactoreerde waarden) van de uiterste aanhechtingsschuifspanning, f_bd, uit de geselecteerde rekennormen EN 1992-1-1 of ACI 318-19 worden gebruikt om de verankeringslengte te toetsen. De verharding van de plastische tak wordt standaard berekend als G_b/10⁵.

Verankeringsveer

Het aanbrengen van verankeringseinden aan de wapeningsstaven (d.w.z. bochten, haken, lussen…), die voldoen aan de voorschriften van de rekennormen, maakt het mogelijk de basisverankeringslengte van de staven (l_b,net) met een bepaalde factor β te verminderen (hieronder de ‘verankeringscoëfficiënt’ genoemd). De rekenwaarde van de verankeringslengte (l_b) wordt dan als volgt berekend:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

De beoogde reductie van l_b,net is gelijkwaardig aan het activeren van de wapeningsstaaf aan zijn uiteinde tot een percentage van zijn maximale capaciteit, gegeven door de verankeringsreductiecoëfficiënt, zoals weergegeven in Fig. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

De reductie van de verankeringslengte wordt in het eindige-elementenmodel opgenomen met een veerelement aan het uiteinde van de staaf (Fig. 15), dat wordt gedefinieerd door het constitutieve model in Fig. 15b. De maximale kracht die door deze veer wordt overgedragen (F_au) is:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

waarin :

β             de verankeringscoëfficiënt op basis van het verankeringstype,

A_s            de doorsnede van de wapeningsstaaf,

f_yd           de rekenwaarde (gefactoreerde waarde) van de vloeigrens van de wapening.