5.3 Festigkeitsnachweise in Detail 3D

Die verschiedenen nach ACI 318-19 erforderlichen Nachweise werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Die Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Festigkeit der Bewehrung und die Verankerung (Verbundschubspannungen) geführt.

Festigkeit - Beton

Die Betonfestigkeit unter Druck wird als Verhältnis zwischen der maximalen äquivalenten Hauptspannung f_c,eq (im vorherigen Text auch σ_c,eq genannt) aus der FE-Analyse und dem Grenzwert f'_c,lim ermittelt.

Die äquivalente Hauptspannung drückt die äquivalente einachsige Spannung für einen allgemeinen dreiachsigen Spannungszustand aus.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Der Wert f_c,eq kann daher direkt mit einachsigen Festigkeitsgrenzen verglichen werden. Dieser Ausdruck wird aus der Umsetzung der Mohr-Coulomb-Plastizitätstheorie abgeleitet, wobei konservativ ein Winkel der inneren Reibung von φ = 0° angenommen wird.

Festigkeit - Bewehrung

Die Festigkeit der Bewehrung wird sowohl auf Zug als auch auf Druck als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen f_s und dem vorgegebenen Grenzwert f_y,lim ermittelt.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Festigkeit - Anker

Anker werden auf Normalspannungen auf ähnliche Weise wie die Bewehrung nachgewiesen, wobei der Grenzwert f_y,lim bestimmt wird. 

Um die Orientierung im folgenden Text zu erleichtern, teilen wir die Verankerung hinsichtlich des Normnachweises nach ACI oder AISC zunächst in drei Gruppen ein.

Gruppe 1

• Verankerungsarten

  • Einbetonierte Platte
  • Fußplatte - Abstand = direkt 
  • Fußplatte - Abstand = Mörtelverbindung - Mörteldicke kleiner als das 0,5-Fache des Ankerdurchmessers
  • Einzelanker mit überstehender Länge kleiner als das 0,5-Fache des Ankerdurchmessers
• Normnachweise der Anker (ACI / AISC)

  • Zug/Druck

    • Alle Ankerarten auf Zug – ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2  
    • Alle Ankerarten auf Druck – AISC 360-16 Kap. E
  • Querkraft ohne Hebelarm

    • Schraubenwerkstoff – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b)
    • Kopfbolzen – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (a)
    • Bewehrung – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b)
  • Interaktion von Zug und Querkraft - ACI 318-19 Kap. 17.8

Gruppe 2

• Verankerungsarten

  • Fußplatte - Abstand = Mörtelverbindung - Mörteldicke größer als das 0,5-Fache des Ankerdurchmessers
• Normnachweise der Anker (ACI / AISC)

  • Zug/Druck

    • Alle Ankerarten auf Zug – ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2  
    • Alle Ankerarten auf Druck – AISC 360-16 Kap. E
  • Querkraft mit Hebelarm

    • Schraubenwerkstoff – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b) + Kap. 17.7.1.2.1.
    • Kopfbolzen – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (a) + Kap. 17.7.1.2.1.
    • Bewehrung – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b) + Kap. 17.7.1.2.1.
  • Interaktion von Zug und Querkraft - ACI 318-19 Kap. 17.8

Gruppe 3

• Verankerungsarten

  • Fußplatte - Abstand = Spalt
  • Einzelanker mit überstehender Länge größer als das 0,5-Fache des Ankerdurchmessers
• Normnachweise der Anker (ACI / AISC)

  • Zug/Druck (mit Knicken)

    • Alle Ankerarten auf Zug – ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2
    • Alle Ankerarten auf Druck – AISC 360-16 Kap. E3
  • Biegung

    • Für alle Ankerarten – AISC 360-16 Kap. F11
  • Querkraft

    • Für alle Ankerarten – AISC 360-16 Kap. G
  • Interaktion von Normalkraft und Biegung

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Zugtragfähigkeit des Ankers nach ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

mit:

• ϕ_a,t  – Abminderungsbeiwert für Anker auf Zug nach ACI 318-19 Kap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – Spannungsquerschnitt auf Zug (um das Gewinde reduziert)
• f_uta – spezifizierte Zugfestigkeit des Ankerstahls; sie darf nicht größer sein als 1,9 f_ya und 860 MPa

Querkrafttragfähigkeit des Ankers nach ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (a)

Die Stahlfestigkeit auf Querkraft für Kopfbolzen wird wie folgt bestimmt:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

mit:
ϕ_a,v – Abminderungsbeiwert für Anker auf Zug nach ACI 318-19 Kap. 17.5.3 (a)
A_se,V – Spannungsquerschnitt auf Zug (um das Gewinde reduziert)
f_uta – spezifizierte Zugfestigkeit des Ankerstahls; sie darf nicht größer sein als 1,9 f_ya und 860 MPa

Querkrafttragfähigkeit des Ankers nach ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b)

Die Stahlfestigkeit auf Querkraft für Anker aus Schraubenwerkstoff und Bewehrung wird wie folgt bestimmt:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

mit:

• ϕ_a,v  – Abminderungsbeiwert für Anker auf Zug nach ACI 318-19 Kap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – Spannungsquerschnitt auf Zug (um das Gewinde reduziert)
• f_uta – spezifizierte Zugfestigkeit des Ankerstahls; sie darf nicht größer sein als 1,9 f_ya und 860 MPa

Querkrafttragfähigkeit eines Ankers mit Anschluss an einen Untergrund mit Mörtel - ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2.1

Werden Anker mit aufgebauten Vergussmörtelbetten (Gruppe 2) verwendet, ist der nach 17.7.1.2 berechnete Bemessungswert der Festigkeit mit 0,80 zu multiplizieren.

Interaktion von Zug und Querkraft nach ACI 318-19 Kap. 17.8

Die Interaktion zwischen Zug und Querkraft darf vernachlässigt werden, wenn (a) oder (b) erfüllt ist.
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Wenn N_ua/(ϕN_n) > 0,2 für die maßgebende Festigkeit auf Zug und V_ua/(ϕV_n) > 0,2 für die maßgebende Festigkeit auf Querkraft, so muss Gl. (17.8.3) erfüllt sein.

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Drucktragfähigkeit des Ankers nach AISC 360-16 Kap. E3

$$P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}$$

mit:

• ϕ_a,t  – Abminderungsbeiwert für Anker auf Druck nach AISC 360-16 Kap. E1
  
• (a) Wenn: $\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  oder     $\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25$

  • $F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y$
    
• (b) Wenn: $\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  oder     $\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25$

  • $F_{cr}=0.877F_e$
    
• A_g​ – Bruttoquerschnittsfläche des Bauteils
• E – Elastizitätsmodul von Stahl
• $F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}$ - elastische Knickspannung
• F_y – festgelegte Mindeststreckgrenze des verwendeten Stahls
• $r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}$ – Trägheitsradius
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – Trägheitsmoment der Schraube 

Biegetragfähigkeit des Ankers nach AISC 360-16 Kap. F11

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

mit:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – plastisches Widerstandsmoment der Schraube
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – elastisches Widerstandsmoment der Schraube

Querkrafttragfähigkeit des Ankers nach AISC 360-16 Kap. G

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

mit:

• A_V = 0,844As – die Schubfläche
• A_s – die um das Gewinde reduzierte Schraubenfläche

Quetschen des Betons an der Grenzfläche zwischen Anker und Beton

Die Querkrafttragfähigkeit des Ankers ist zudem im Hinblick auf das Quetschen des Betons an der Grenzfläche zwischen Anker und Beton begrenzt. Die Grenzwerte und das Verfahren zu ihrer Ermittlung sind im Artikel - Querkrafttragverhalten von Ankern in Stahlbeton. ausführlich beschrieben. Sobald die Kontaktkraft diesen Grenzwert erreicht, wird das Abbruchkriterium ausgelöst und die Analyse wird beendet, bevor die Tragfähigkeit überschritten wird.​ 

Auszugnachweis für Kopfanker (Unterlegplatten und Kopfbolzen)

Für Kopfanker ist ein zusätzliches Abbruchkriterium implementiert, mit dem die Betonpressung (das Quetschen) über dem Ankerkopf - Auszug - nachgewiesen wird. Während der Analyse wird die über den Kontakt zwischen Kopf und Beton übertragene Druckkraft überwacht und mit dem Grenzwert nach ACI 318-19, Abschnitt 17.6.3.2.2a (Auszugversagen von Kopfbefestigungen) verglichen.

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

mit:

• $\Phi$ ist der Abminderungsbeiwert - Tabelle 17.5.3(c)
• A_brg Netto-Auflagerfläche des Kopfes des Bolzens, der Ankerschraube oder des Betonrippenstahls mit Kopf (ohne die Schaftfläche). 
• f'_c ist die spezifizierte Druckfestigkeit des Betons
• $\Psi_{c,p}$ ist der Beiwert für die Rissbildung beim Auszug nach 17.6.3.3 und wird stets mit 1,0 angesetzt, d. h. mit dem Wert für gerissenen Beton. Dies entspricht dem in Detail verwendeten CSFM-Ansatz, bei dem die Zugfestigkeit des Betons vernachlässigt und der Beton auf Zug als gerissen angenommen wird.

Sobald die Kontaktkraft diesen normativen Grenzwert erreicht, wird das Abbruchkriterium ausgelöst und die Analyse wird beendet, bevor die Auszugtragfähigkeit überschritten wird.​ 

Verankerung -  Verbundspannung

Die Verbundschubspannung wird unabhängig als Verhältnis zwischen der mittels FE-Analyse berechneten Verbundspannung τ_b und der Verbundfestigkeit f_bu ermittelt.

Obwohl die Verbundfestigkeit in ACI 318-19 nicht explizit definiert ist, findet sich die Berechnung der Verankerungslänge in Abschnitt 25.4.2. Da die Verbundfestigkeit jedoch die Grundeingangsgröße zur Bestimmung der Verankerungslänge ist (siehe R25.4.1.1 und ACI Committee 408 1966), kann sie wie folgt berechnet werden:

Angenommen, ein Bewehrungsstab wird auf die Verankerungslänge l_d oder mehr in einen Betonblock eingebettet. Dann führt das Herausziehen der Bewehrung zum Bruch der Bewehrung und nicht zum Herausziehen aus dem Beton. Dies lässt sich mit der folgenden Formel ausdrücken.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

mit:

d_b ist der Durchmesser des Bewehrungsstabs, l_d ist die Verankerungslänge, f_bu ist die Verbundfestigkeit, f_y ist die Streckgrenze der Bewehrung und A_s ist die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs.

Daraus lässt sich die Formel zur Berechnung der Verbundfestigkeit leicht ableiten:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Die Verankerungslänge l_d wird dann nach ACI 318-19 Tabelle 25.4.2.3 wie folgt bestimmt:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

mit:

C = 25 (2,1 für metrisch) für Stäbe der Nr. 6 und kleiner sowie für Rippendrähte, C = 20 (1,7 für metrisch) für Stäbe der Nr. 7 und größer, λ = 1,0 für Normalbeton, ψ_t, ψ_e, ψ_g werden nach ACI 318-19 Tabelle 25.4.2.3 bestimmt. 

Es wird nur unbeschichtete oder verzinkte Bewehrung unterstützt, daher gilt ψ_e = 1,0. ψ_g wird automatisch aus der Festigkeitsklasse der Bewehrung bestimmt, und ψ_t wird automatisch aus der Lage der Bewehrung im Modell und aus der Betonierrichtung abgeleitet, die in der Anwendung für jedes Projektelement wie folgt eingestellt werden kann.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.1\qquad Direction of concreting}}}$$

Diese Nachweise werden im Hinblick auf die jeweils geeigneten Grenzwerte für die entsprechenden Teile der Struktur geführt (d. h., obwohl sowohl für den Beton als auch für den Bewehrungswerkstoff nur eine Festigkeitsklasse vorliegt, unterscheiden sich die endgültigen Spannung-Dehnung-Diagramme in jedem Teil der Struktur aufgrund der Effekte der Zugverfestigung und der Druckerweichung).

Verankerung -  Gesamtkraft

Gesamtkraft F_tot und Grenzkraft F_lim

Die Gesamtkraft F_tot ist ein Ergebnis der Finite-Elemente-Analyse und kann auf zwei Arten definiert werden.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

wobei A_s die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs und f_s die Spannung im Stab ist.

Oder als Summe aus der Verankerungskraft F_a und der Verbundkraft F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

wobei F_a die tatsächliche Kraft in der Verankerungsfeder und F_bond die Verbundkraft ist, die durch Integration der Verbundspannung τ_b über die Länge l des Bewehrungsstabs erhalten werden kann.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s ist der Umfang des Bewehrungsstabs.

Die Grenzkraft F_lim ist die maximale Kraft im Element des Bewehrungsstabs unter Berücksichtigung der Festigkeit des Stabs sowie der Verankerungsbedingungen (Verbund zwischen Beton und Bewehrung sowie Verankerungshaken, Schlaufen usw.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

wobei C_s der Umfang des Bewehrungsstabs und l die Länge vom Beginn des Bewehrungsstabs bis zum betrachteten Punkt ist.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.2\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

wobei F_lim,add die zusätzliche Kraft ist, die aus der Größe des Winkels zwischen benachbarten Elementen berechnet wird. F_lim,2 muss stets kleiner als F_u sein.

Die in CSFM verfügbaren Verankerungsarten umfassen einen geraden Stab (d. h. ohne Reduktion durch das Verankerungsende), einen 90-Grad-Haken, einen 180-Grad-Haken, vollkommenen Verbund und einen durchlaufenden Stab. Alle diese Arten sind zusammen mit den zugehörigen Verankerungsbeiwerten β in Abb. 5.3.3 für die Längsbewehrung dargestellt. Die Werte der angesetzten Verankerungsbeiwerte werden aus dem Vergleich der Gleichung aus ACI 318-19 Abschnitt 25.4.3.1 mit den Gleichungen aus ACI 318-19 Abschnitt 25.4.2.3 abgeleitet. Es ist zu beachten, dass CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Reduktion der Verankerungslänge, (ii) eine Reduktion der Verankerungslänge um 30 % im Fall einer normgemäßen Verankerung und (iii) vollkommener Verbund.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.3\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Der Verankerungsbeiwert für Bügel beträgt stets β = 1,0.

Um ACI einzuhalten, muss in der Berechnung die Verankerungsfeder verwendet werden. Die Verankerungsfeder wird durch den Beiwert β modifiziert, sodass der Benutzer bei der Definition der Anfangs- und Endbedingungen der Bewehrung eine der verfügbaren Verankerungsarten verwenden muss.