6.1 Materialmodelle (AASHTO)

Beton – Festigkeit

Das für die Festigkeitsberechnungen in CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den Annahmen der AASHTO-LRFD-Festigkeitsbemessung hinsichtlich Gleichgewicht und Dehnungskompatibilität. Gemäß AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.6.2.1, wird die Zugfestigkeit des Betons vernachlässigt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Die Implementierung von CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt für Beton unter Druck kein explizites Versagenskriterium in Form von Dehnungen (d. h. nach Erreichen der Höchstspannung wird ein plastischer Ast mit ε_c0 bis zu einem Maximalwert von 5 % angesetzt, während AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.6.2.1, eine Bruchdehnung von weniger als 0,3 % annimmt). Aufgrund dieser Vereinfachung kann die Verformungsfähigkeit von Strukturen, die auf Druck versagen, nicht nachgewiesen werden. Die Festigkeit wird jedoch zutreffend vorhergesagt, wenn zusätzlich zum Faktor für gerissenen Beton (k_c2, definiert in (Fig. 57)) die mit steigender Festigkeit zunehmende Sprödigkeit des beton über den Abminderungsfaktor $\eta_{fc}$ berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

mit:

α₁ ist der Abminderungsfaktor der Betondruckfestigkeit gemäß AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.6.2.2. Bei Verwendung eines Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnung-Diagramms muss die maximale Druckspannung um diesen Faktor reduziert werden. Dadurch wird die Spannungsverteilung in der Druckzone so gemittelt, dass die resultierende Druckfestigkeit kleiner oder gleich der Druckfestigkeit ist, die mit einem Spannung-Dehnung-Diagramm mit abfallendem plastischem Ast berechnet wird.

Φ_c ist der Widerstandsbeiwert für Beton. Der Standardwert wird gemäß AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.5.4.2, festgelegt.

k_c2 ist der Abminderungsfaktor infolge von Querrissen.

f'_c ist die Zylinderdruckfestigkeit des Betons (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 ist ein Abminderungsfaktor, der auf denselben Annahmen beruht wie der Wirksamkeitsbeiwert des Betons ν in AASHTO LRFD (2024), 5.8.2.5.3a und Tabelle 5.8.2.5.3a-1. Der Unterschied besteht darin, dass in CSFM das Vorhandensein einer Hauptzugspannung senkrecht zur Hauptdruckspannung für jedes finite Element geprüft wird (nicht nur für die Knoten des Strebe-und-Zugband-Modells).

Beton – Gebrauchstauglichkeit

Die Analyse der Gebrauchstauglichkeit enthält gewisse Vereinfachungen der Materialgesetze, die für die Festigkeitsanalyse verwendet werden. Der plastische Ast der Spannung-Dehnung-Kurve von Beton unter Druck wird vernachlässigt, während der elastische Ast linear und unbegrenzt ist. Das Gesetz der Druckerweichung wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit und schränken die Allgemeingültigkeit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Spannungsgrenzen der Materialien im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit deutlich unterhalb ihrer Fließgrenzen liegen (entsprechend dem Ansatz des Gebrauchstauglichkeits-Grenzzustands nach AASHTO LRFD). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Langzeiteffekte

Das Langzeit-Materialgesetz (die rote Kurve in Fig. 59) wird für die Berechnung der Rissbreite, der gesamten Durchbiegung und für die Spannungsbegrenzung vorgespannter Bauteile verwendet, wenn in der oberen Multifunktionsleiste der Langzeiteffekt ausgewählt ist. In der IDEA StatiCa Detail-Anwendung wird für den Nachweis der Langzeiteffekte der effektive Elastizitätsmodul verwendet, wie in AASHTO LRFD (2024), C5.12.5.3.6-1, angegeben.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

mit:
E_c ist der Elastizitätsmodul gemäß AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.4.2.4
ψ ist die Kriechzahl gemäß AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.4.2.3.2

Die Kriechbeiwerte werden vom Benutzer in den Materialeigenschaften definiert.

Kurzzeiteffekte

Für die Kurzzeitnachweise wird eine weitere Berechnung durchgeführt, bei der alle Lasten ohne den Kriechbeiwert berechnet werden. Beide Berechnungen für die Lang- und Kurzzeitnachweise sind in Fig. 59 dargestellt.

Bewehrung

Für die nicht vorgespannte Bewehrung wird ein ideal elastisch-plastisches Spannung-Dehnung-Diagramm mit definierter Streckgrenze angesetzt, siehe AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.4.3. Für die Definition dieses Diagramms müssen nur die grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung bekannt sein – die Festigkeit und der Elastizitätsmodul.

Das Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrung kann auch vom Benutzer definiert werden. In diesem Fall kann jedoch der Effekt der Zugverfestigung nicht berücksichtigt werden (die Rissbreite kann nicht berechnet werden). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

mit:

Φ_s ist der Widerstandsbeiwert für die Bewehrung. Der Standardwert wird gemäß AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.5.4.2, festgelegt.

f_y ist die Streckgrenze der Bewehrung

E_s ist der Elastizitätsmodul der Bewehrung

Als Grenzdehnung, bei der die Berechnung abgebrochen wird, ist 10 % gewählt. Dies gilt auf Grundlage von ASTM A955/A955M-20c, Artikel 7, als sicher.

Die Zugverfestigung (Fig. 61)  wird automatisch berücksichtigt, indem die Eingabe-Spannung-Dehnung-Beziehung des blanken Bewehrungsstabs modifiziert wird, um die mittlere Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe zu erfassen (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$