6.1 Modèles de matériaux (AASHTO)

Béton - Résistance

Le modèle de béton implémenté pour les calculs de résistance dans la CSFM repose sur les hypothèses de calcul à la résistance de l'AASHTO LRFD, à savoir l'équilibre et la compatibilité des déformations. Conformément à l'article 5.6.2.1 de l'AASHTO LRFD (2024), la résistance à la traction du béton est négligée.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

L'implémentation de la CSFM dans IDEA StatiCa Detail ne considère pas de critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c'est-à-dire qu'après avoir atteint la contrainte maximale, elle considère une branche plastique avec ε_c0 d'une valeur maximale de 5 %, alors que l'article 5.6.2.1 de l'AASHTO LRFD (2024) suppose une déformation ultime inférieure à 0,3 %). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures qui atteignent la ruine en compression. Toutefois, la résistance est correctement prédite lorsque, en plus du facteur de béton fissuré (k_c2 défini à la (Fig. 57)), l'augmentation de la fragilité du béton avec l'accroissement de sa résistance est prise en compte au moyen du facteur de réduction $\eta_{fc}$ défini dans le fib Model Code 2010 comme suit :

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

où :

α₁ est le facteur de réduction de la résistance en compression du béton défini à l'article 5.6.2.2 de l'AASHTO LRFD (2024). Lorsqu'un diagramme contrainte-déformation parabole-rectangle est utilisé, il est nécessaire de réduire la contrainte maximale de compression par ce facteur. Cela permet de moyenner la distribution des contraintes dans la zone comprimée de telle sorte que la résistance en compression obtenue soit inférieure ou égale à la résistance en compression calculée à l'aide d'un diagramme contrainte-déformation avec une branche plastique décroissante.

Φ_c est le facteur de résistance du béton. La valeur par défaut est définie selon l'article 5.5.4.2 de l'AASHTO LRFD (2024).

k_c2 est le facteur de réduction dû à la présence de fissuration transversale.

f'_c est la résistance du béton sur éprouvette cylindrique (en MPa pour la définition de $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 est un facteur de réduction fondé sur les mêmes hypothèses que le facteur d'efficacité du béton ν donné à l'article 5.8.2.5.3a et dans le Tableau 5.8.2.5.3a-1 de l'AASHTO LRFD (2024), à ceci près que, dans la CSFM, la présence d'une contrainte principale de traction perpendiculaire à la contrainte principale de compression est vérifiée pour chaque élément fini (et pas seulement pour les nœuds du modèle Bielle et tirant).

Béton – Service

L'analyse de service comporte certaines simplifications des modèles constitutifs utilisés pour l'analyse de résistance. La branche plastique de la courbe contrainte-déformation du béton en compression est ignorée, tandis que la branche élastique est linéaire et illimitée. La loi d'adoucissement en compression n'est pas considérée. Ces simplifications améliorent la stabilité numérique et la vitesse de calcul, et ne réduisent pas la généralité de la solution tant que les limites de contrainte résultantes des matériaux à l'état de service restent nettement inférieures à leurs limites d'élasticité (conformément à l'approche de l'état limite de service de l'AASHTO LRFD). Par conséquent, les modèles simplifiés utilisés pour le service ne sont valables que si toutes les exigences de vérification sont satisfaites.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Effets à long terme

La loi constitutive à long terme (la courbe rouge de la Fig. 59) est utilisée pour le calcul de l'ouverture des fissures, de la flèche totale et de la limitation des contraintes des éléments précontraints lorsque l'effet à long terme est sélectionné dans le ruban supérieur. Dans l'application IDEA StatiCa Detail, le module d'élasticité effectif est utilisé pour la vérification des effets à long terme, comme mentionné dans l'AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

où :
E_c est le module d'élasticité défini à l'article 5.4.2.4 de l'AASHTO LRFD (2024)
ψ est le coefficient de fluage défini à l'article 5.4.2.3.2 de l'AASHTO LRFD (2024)

Les coefficients de fluage sont définis par l'utilisateur dans les propriétés du matériau.

Effets à court terme

Pour effectuer les vérifications à court terme, un autre calcul est réalisé dans lequel toutes les charges sont calculées sans le coefficient de fluage. Les deux calculs, pour les vérifications à long terme et à court terme, sont représentés à la Fig. 59.

Ferraillage

Un diagramme contrainte-déformation parfaitement élasto-plastique avec une limite d'élasticité définie est considéré pour le ferraillage non précontraint, voir l'article 5.4.3 de l'AASHTO LRFD (2024). La définition de ce diagramme nécessite uniquement de connaître les propriétés de base du ferraillage : la résistance et le module d'élasticité.

Le diagramme contrainte-déformation du ferraillage peut également être défini par l'utilisateur, mais dans ce cas, il est impossible de prendre en compte l'effet de raidissement en traction (il est impossible de calculer l'ouverture des fissures). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

où :

Φ_s est le facteur de résistance du ferraillage. La valeur par défaut est définie selon l'article 5.5.4.2 de l'AASHTO LRFD (2024).

f_y est la limite d'élasticité du ferraillage

E_s est le module d'élasticité du ferraillage

Une valeur de 10 % est retenue comme déformation limite à laquelle le calcul est arrêté. Cette valeur est considérée comme sûre d'après l'article 7 de l'ASTM A955/A955M-20c.

Le raidissement en traction (Fig. 61)  est pris en compte automatiquement en modifiant la relation contrainte-déformation d'entrée de l'armature nue afin de représenter la raideur moyenne des barres noyées dans le béton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$