6.1 Modele materiałów (AASHTO)

Beton – wytrzymałość

Model betonu zaimplementowany do obliczeń wytrzymałościowych w CSFM opiera się na założeniach równowagi i zgodności odkształceń, przyjętych w projektowaniu wytrzymałościowym według AASHTO LRFD. Zgodnie z AASHTO LRFD (2024), art. 5.6.2.1, wytrzymałość betonu na rozciąganie jest pomijana.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia betonu ściskanego wyrażonego w odkształceniach (tzn. po osiągnięciu maksymalnego naprężenia przyjmowana jest gałąź plastyczna z ε_c0 o wartości maksymalnej 5%, podczas gdy AASHTO LRFD (2024), art. 5.6.2.1 zakłada odkształcenie graniczne mniejsze niż 0,3%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności do odkształceń konstrukcji ulegających zniszczeniu przez ściskanie. Wytrzymałość jest jednak prawidłowo przewidywana, gdy oprócz współczynnika dla betonu zarysowanego (k_c2 zdefiniowanego na (Fig. 57)) uwzględni się wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości za pomocą współczynnika redukcyjnego $\eta_{fc}$ zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

α₁ jest współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości betonu na ściskanie, zdefiniowanym w AASHTO LRFD (2024), art. 5.6.2.2. Przy stosowaniu wykresu naprężenie-odkształcenie typu parabola-prostokąt należy zmniejszyć maksymalne naprężenie ściskające o ten współczynnik. Uśrednia to rozkład naprężeń w strefie ściskanej w taki sposób, że wynikowa wytrzymałość na ściskanie jest mniejsza lub równa wytrzymałości na ściskanie obliczonej za pomocą wykresu naprężenie-odkształcenie z opadającą gałęzią plastyczną.

Φ_c jest współczynnikiem nośności dla betonu. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z AASHTO LRFD (2024), art. 5.5.4.2.

k_c2 jest współczynnikiem redukcyjnym uwzględniającym występowanie zarysowania poprzecznego.

f'_c jest wytrzymałością walcową betonu (w MPa dla definicji $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 jest współczynnikiem redukcyjnym opartym na tych samych założeniach co współczynnik efektywności betonu ν podany w AASHTO LRFD (2024), pkt 5.8.2.5.3a oraz w tabeli 5.8.2.5.3a-1, z tą różnicą, że w CSFM występowanie naprężenia głównego rozciągającego prostopadłego do naprężenia głównego ściskającego jest sprawdzane dla każdego elementu skończonego (a nie tylko dla węzłów modelu Strut and tie).

Beton – stany graniczne użytkowalności

Analiza stanu granicznego użytkowalności zawiera pewne uproszczenia modeli konstytutywnych stosowanych w analizie wytrzymałościowej. Gałąź plastyczna wykresu naprężenie-odkształcenie betonu ściskanego jest pomijana, a gałąź sprężysta jest liniowa i nieograniczona. Prawo compression softening nie jest uwzględniane. Uproszczenia te poprawiają stabilność numeryczną i szybkość obliczeń oraz nie ograniczają ogólności rozwiązania, o ile wynikowe naprężenia graniczne materiałów w stanie granicznym użytkowalności są wyraźnie poniżej ich granic plastyczności (zgodnie z podejściem AASHTO LRFD do stanu granicznego użytkowalności). Dlatego uproszczone modele stosowane w analizie użytkowalności są ważne tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie wymagania weryfikacyjne.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Efekty długotrwałe

Długotrwałe prawo konstytutywne (czerwona krzywa na Fig. 59) jest stosowane do obliczania szerokości rys, całkowitego ugięcia oraz ograniczenia naprężeń w elementach sprężonych, gdy w górnej wstążce wybrano efekt długotrwały. W aplikacji IDEA StatiCa Detail do weryfikacji efektów długotrwałych stosowany jest efektywny moduł sprężystości, zgodnie z AASHTO LRFD (2024), C5.12.5.3.6-1.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

gdzie:
E_c jest modułem sprężystości zdefiniowanym w AASHTO LRFD (2024), art. 5.4.2.4
ψ jest współczynnikiem pełzania zdefiniowanym w AASHTO LRFD (2024), art. 5.4.2.3.2

Współczynniki pełzania są definiowane przez użytkownika we właściwościach materiału.

Efekty krótkotrwałe

Aby przeprowadzić weryfikacje krótkotrwałe, wykonywane są kolejne obliczenia, w których wszystkie obciążenia są obliczane bez uwzględnienia współczynnika pełzania. Oba obliczenia, dla weryfikacji długotrwałych i krótkotrwałych, przedstawiono na Fig. 59.

Zbrojenie

Dla zbrojenia niesprężonego przyjmuje się idealnie sprężysto-plastyczny wykres naprężenie-odkształcenie ze zdefiniowaną granicą plastyczności, zobacz AASHTO LRFD (2024), art. 5.4.3. Definicja tego wykresu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia – wytrzymałości i modułu sprężystości.

Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia może być również zdefiniowany przez użytkownika, jednak w takim przypadku nie można uwzględnić efektu tension stiffening (nie można obliczyć szerokości rys). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

gdzie:

Φ_s jest współczynnikiem nośności dla zbrojenia. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z AASHTO LRFD (2024), art. 5.5.4.2.

f_y jest granicą plastyczności zbrojenia

E_s jest modułem sprężystości zbrojenia

Jako graniczne odkształcenie, przy którym obliczenia są zatrzymywane, przyjęto 10%. Jest to uznawane za bezpieczne na podstawie ASTM A955/A955M-20c, art. 7.

Tension stiffening (Fig. 61)  jest uwzględniany automatycznie poprzez modyfikację wejściowej zależności naprężenie-odkształcenie dla gołego pręta zbrojeniowego, aby oddać średnią sztywność prętów osadzonych w betonie (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$