Jeder Ingenieur, der einen Träger auf Querkraft nachgewiesen hat, kennt den Ablauf nach EN 1992-1-1 auswendig: VRd,c aus der empirischen Formel, dann Bügel und die Druckstrebe mit cot θ zwischen 1 und 2,5. FprEN 1992-1-1, der finale Entwurf des Eurocode 2 der zweiten Generation, behält das Fachwerkmodell bei, ersetzt aber den Großteil seiner Eingangsgrößen. Die Frage, die wir am häufigsten hören, ist einfach: Fallen meine Querschnittsnachweise anders aus?
Um sie mit Zahlen statt mit Eindrücken zu beantworten, haben wir beide Normen nebeneinander durch dieselbe Berechnungsengine laufen lassen und die maßgebenden Parameter variiert: Bewehrungsgrad, Schubschlankheit, Bauteilhöhe, Normalkraft, Betonfestigkeitsklasse und Druckstrebenwinkel. Für den Standard-Testfall liegen die beiden Normen innerhalb von einem Prozentpunkt. Ändert man jedoch einen Parameter, kann die Abweichung in beide Richtungen 30 % oder mehr erreichen.
Wichtigste Erkenntnisse
- Ohne Querkraftbewehrung hängt der Widerstand nach FprEN 1992-1-1 von MEd/VEd ab. In der gesamten Sensitivitätsstudie liegt das Verhältnis FprEN/EN zwischen 0,86 und 1,20. Kurze Schubspannweiten sowie sehr niedrige oder sehr hohe ρl profitieren. Schlanke Bauteile mit üblicher Bewehrung verlieren bis zu etwa 14 %.
- Der Maßstabseffekt des Querschnitts ist in FprEN 1992-1-1 deutlich stärker. Bei d ≈ 2 m liegt die nominelle Querkrafttragfähigkeit 32 % unter dem Wert nach EN 1992-1-1.
- Die Normalkraft wirkt unterschiedlich. FprEN 1992-1-1 ist bei Zug deutlich großzügiger und bei mäßigem Druck konservativer.
- Bügel verwenden in beiden Normen dieselbe Formel. Die Ergebnisse unterscheiden sich nur durch den zulässigen Druckstrebenwinkel, der in FprEN 1992-1-1 von der Normalkraft und der Duktilitätsklasse abhängt.
- Der Druckstrebennachweis hat sich am stärksten verändert. Mit dem dehnungsabhängigen ν ist VRd,max nach FprEN 1992-1-1 bei steilen Druckstreben etwa 30 % höher und bei flachen Druckstreben bis zu 58 % niedriger.
Zwei Modelle für einen Nachweis
EN 1992-1-1 berechnet den Betonanteil mit dem empirischen Ausdruck (6.2.a). Dieser verwendet einen Maßstabsfaktor k = 1 + √(200/d) ≤ 2, den auf 2 % begrenzten Bewehrungsgrad und einen additiven Normalspannungsterm k1σcp. Der Querschnitt sieht nur VEd, nie das zugehörige Moment.
FprEN 1992-1-1 arbeitet mit der Schubspannung τEd = VEd/(bw·z). Diese wird mit einem Widerstand verglichen, der auf der Theorie des kritischen Schubrisses beruht:
τRd,c = (0.66/γV)·(100·ρl·fck·ddg/d)1/3 ≥ τRd,c,min (8.27), (8.20)
Hier kommen drei neue Eingangsgrößen hinzu. Die zuschlagabhängige Rauigkeit ddg ersetzt den Maßstabsfaktor. Die Schubschlankheit acs = |MEd/VEd| ≥ d verkürzt bei kurzen Spannweiten die effektive Nutzhöhe (8.29)–(8.30). Der Faktor kvp (8.31) berücksichtigt die Normalkraft. Bei Bauteilen mit Bügeln bleibt das Fachwerkmodell bestehen, aber der Abminderungsbeiwert ν kann den Gurtdehnungen folgen (8.45), anstatt ein fester Wert zu sein.
Der Testfall
Alle Ergebnisse stammen aus zwei Handrechnungsskripten, eines pro Norm, mit identischem Aufbau. Das Skript für FprEN 1992-1-1 wurde mit IDEA StatiCa Section verglichen. Beide wurden in einen interaktiven Viewer übertragen, und die Übertragung reproduziert die Skripte mit Maschinengenauigkeit. Der Referenzquerschnitt ist der unten dargestellte. Jede Studie ändert einen Parameter und hält die übrigen konstant. Der Testfall ist ein sehr einfacher Rechteckquerschnitt, der sich leicht von Hand berechnen lässt, mit der Querschnittsbeanspruchung aus Normalkraft + Biegemoment in der Ebene. Die Konstruktionsregeln wurden für diesen Testfall nicht eingehalten.
Abb. 1 Referenzquerschnitt (oben) und der Vergleichs-Viewer, der für alle Studien verwendet wurde (unten). Der Viewer zeigt Ausnutzungsdiagramme je Nachweis, eine Zusammenfassung und die Werte je Abschnitt der Norm.
| Nachweis (VEd = 60 kN, MEd = 50 kNm, NEd = −10 kN, θ = 22°) | EN 1992-1-1 | FprEN 1992-1-1 |
| Ohne Querkraftbewehrung | 68,1 kN · 88,1 % | 67,4 kN · 89,1 % |
| Querkraftbewehrung | 221,0 kN · 27,1 % | 221,0 kN · 27,1 % |
| Druckstrebe | 384,7 kN · 15,6 % | 285,1 kN · 21,0 % |
Der Basisfall deutet das Muster bereits an. Der Betonnachweis und die Bügel stimmen überein. Die Druckstrebe nicht: fcd sinkt mit ktc = 0,85 von 16,67 auf 14,17 MPa, und ν fällt bei diesem Druckstrebenwinkel von 0,54 auf 0,47.
Bauteile ohne Querkraftbewehrung
Die Schubschlankheit ist der neue Parameter erster Ordnung
In EN 1992-1-1 hat das Moment am Querschnitt keinen Einfluss auf VRd,c. In FprEN 1992-1-1 hat es einen. Bei ρl = 1 % ergibt EN 1992-1-1 für jedes Moment 80,9 kN. FprEN 1992-1-1 ergibt 83,2 kN für acs = 1,5d, 73,7 kN für 3d und 70,0 kN für 6d.
Generell gilt: Je größer der Momentenanteil, desto geringer die Querkrafttragfähigkeit.
Abb. 2 VRd,c in Abhängigkeit vom Längsbewehrungsgrad. EN 1992-1-1 ist eine einzelne Kurve; FprEN 1992-1-1 unterscheidet nach Schubschlankheit. EN 1992-1-1 steigt oberhalb von ρl = 2 % nicht weiter an.
Die Verhältniskarte zeigt, wo die jeweilige Norm großzügiger ist. Über ρl = 0,25–2,5 % und acs/d = 1–8 liegt das Verhältnis der Widerstände nach FprEN 1992-1-1 zu EN 1992-1-1 zwischen 0,86 und 1,20. Die neue Norm begünstigt kurze Schubspannweiten (unter etwa 1,7d), sehr niedrige Bewehrung, bei der der Mindestwert maßgebend ist, und ρl über 2 %. Für den typischen schlanken Träger mit üblicher Bewehrung ist sie um bis zu etwa 14 % konservativer.
Abb. 3 VRd,c(FprEN)/VRd,c(EN) über ρl und Schubschlankheit. Orange Bereiche begünstigen FprEN 1992-1-1, blaue Bereiche begünstigen EN 1992-1-1. Basisquerschnitt, C25/30, Dlower = 16 mm.
Hohe Bauteile: ein deutlich stärkerer Maßstabseffekt
Der Faktor k nach EN 1992-1-1 flacht schnell ab. Der Term (ddg/d)1/3 nach FprEN 1992-1-1 fällt weiter. Bei d = 204 mm beträgt die Differenz 6 %. Sie wächst auf 18 % bei d = 704 mm, 25 % bei 1204 mm und 32 % bei 1954 mm. Auf Fundamentbalken und wandartigen Trägern wirkt sich die neue Norm zuerst aus. Auch die Zuschlaggröße spielt nun eine Rolle: Eine gröbere Mischung (Dlower = 32 mm) gleicht einen Teil des Verlusts aus, während eine Mischung mit 8 mm mehr verliert.
Je höher der Querschnitt, desto geringer die Querkrafttragfähigkeit.
Abb. 4 Nominelle Querkrafttragfähigkeit VRd,c/(bwd) in Abhängigkeit von der Nutzhöhe, ρl = 1 %, acs = 4d.
Normalkraft: Die beiden Normen bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen
EN 1992-1-1 addiert 0,15·σcp zum Widerstand. Dadurch ist der Widerstand linear von der Normalspannung abhängig und bei Zug unnachgiebig. FprEN 1992-1-1 skaliert die Nutzhöhe mit kvp, sodass der Effekt vom Verhältnis NEd/VEd abhängt. Für unseren Fall (VEd = 100 kN, acs = 3d) und eine Normalzugspannung von −2 MPa ergibt FprEN 1992-1-1 66,5 kN gegenüber 38,6 kN nach EN 1992-1-1. Das sind 72 % mehr. Bei +3 MPa Druck kehrt sich die Reihenfolge um: 92,3 kN gegenüber 140,8 kN, also 34 % weniger. Sehr hoher Druck führt beide wieder zusammen, weil EN 1992-1-1 σcp auf 0,2fcd begrenzt.
** Zug hat ein negatives Vorzeichen, Druck ein positives Vorzeichen (Eurocode-Vorzeichenkonvention für σcp).
Abb. 5 VRd,c in Abhängigkeit von der mittleren Normalspannung. Zug links, Druck rechts.
Betonfestigkeitsklasse
Für C12/15 bis C60/75 ist VRd,c nach FprEN 1992-1-1 bei einem schlanken Bauteil durchgehend um etwa 13 % niedriger (C25/30: 70,1 gegenüber 80,9 kN). Oberhalb von C60 reduziert die Norm ddg, sodass die Kurve nach FprEN 1992-1-1 kaum noch ansteigt: Bei C90/105 liegt sie 20 % unter EN 1992-1-1.
Abb. 6 Links: VRd,c in Abhängigkeit von fck (ρl = 1 %, acs = 4d). Rechts: VRd,max bei θ = 45° mit dem ν1 nach EN 1992-1-1, dem variablen ν nach FprEN 1992-1-1 und dem konstanten ν = 0,5.
Bauteile mit Querkraftbewehrung
Bügel: gleiche Formel, unterschiedliche Winkel
Der Bügelwiderstand ist in beiden Normen derselbe Fachwerkausdruck, VRd,s = Asw/s·z·fywd·cot θ. Bei gleichem z und θ liefern beide Normen identische Werte, wie in unserem Basisfall. Der Unterschied liegt darin, welches θ Sie wählen dürfen. EN 1992-1-1 erlaubt 1 ≤ cot θ ≤ 2,5 unabhängig von der Belastung. FprEN 1992-1-1 erhöht die Grenze bei signifikantem Druck auf 3,0. Bei Zug wird sie abgesenkt (2,5 − 0,1·NEd/|VEd|), und bei Bewehrung der Duktilitätsklasse A wird sie um 20 % reduziert.
Abb. 7 Obere Grenze von cot θ in Abhängigkeit von der Normalkraft (VEd = 100 kN). Zwischen 2,5 und 3,0 erlaubt die Norm eine Interpolation; die lineare Interpolation über σcp ist die Auslegung unseres Skripts.
Die Druckstrebe: die größte Einzeländerung
Bei konstantem ν = 0,5 ist die Druckstrebe nach FprEN 1992-1-1 in unserem Fall gleichmäßig um etwa 22 % schwächer als nach EN 1992-1-1, hauptsächlich aufgrund von ktc. Das variable ν nach (8.45) verändert das Bild. ν hängt von der mittleren Gurtdehnung εx und von cot²θ ab, sodass steile Druckstreben profitieren und flache benachteiligt werden. Bei cot θ = 1 beträgt VRd,max nach FprEN 1992-1-1 724,8 kN gegenüber 553,8 kN (+31 %). Bei cot θ = 2,5 sind es 279,9 kN gegenüber 381,9 kN (−27 %). Die beiden Kurven schneiden sich bei etwa θ = 30°.
Abb. 8 VRd,max und VRd,s in Abhängigkeit von cot θ für den Basisquerschnitt. Die VRd,s-Linien der beiden Normen fallen zusammen.
Da ν den Gurtdehnungen folgt, beeinflusst das Biegemoment nun die Druckstrebe. In EN 1992-1-1 spielt das Moment keine Rolle. In FprEN 1992-1-1 variiert ν bei θ = 21,8° und VEd = 150 kN zwischen 0,27 und 0,38, gegenüber dem Wert von 0,54 nach EN 1992-1-1. Dadurch ist VRd,max um 40–58 % niedriger. ν ist an beiden Enden des Momentenbereichs am niedrigsten. Bei kleinen Momenten versetzt die querkraftbedingte Gurtkraft den Druckgurt in Zug. Bei großen Momenten nimmt die Dehnung des Zuggurts zu. Eine praktische Konsequenz: Wird der Druckgurt auf Zug beansprucht und der Querschnitt hat keine obere Bewehrung, fällt ν auf null. Modellieren Sie daher die oberen Bewehrungsstäbe.
Abb. 9 VRd,max (links) und der Abminderungsbeiwert (rechts) in Abhängigkeit von MEd. Obere Bewehrungsstäbe 2Ø12 berücksichtigt.
Was das für den Bemessungswiderstand bedeutet
Planer weisen kein festes θ nach. Sie wählen den Winkel, der den höchsten Widerstand liefert. Für jeden Querkraftbewehrungsgrad haben wir daher das θ gewählt, das min(VRd,s; VRd,max) maximiert. Es zeigen sich drei Bereiche:
- Gering bewehrte Stege (ρw ≈ 0,08 %). Die beiden Normen stimmen innerhalb der Grenzen von cot θ überein (107 kN). FprEN 1992-1-1 gewinnt 21 % (129 kN) nur dann, wenn Sie die Option nach Abschnitt 8.2.3(7) nutzen, um cot θmin mit variablem ν zu überschreiten.
- Mäßig bewehrte Stege (ρw ≈ 0,4 %). FprEN 1992-1-1 liegt 14 % niedriger (379 gegenüber 439 kN), weil der optimale Winkel nun durch die schwächere flache Druckstrebe begrenzt wird.
- Stark bewehrte Stege (ρw ≥ 1 %). Die Druckstrebe ist bei θ = 45° maßgebend, wo FprEN 1992-1-1 10–15 % höher liegt (610–634 gegenüber 554 kN).
Abb. 10 Bemessungswiderstand für Querkraft mit optimalem Druckstrebenwinkel in Abhängigkeit von ρw. MEd = 150 kNm und VEd = 150 kN.
Abweichungsübersicht
| Nachweis | Einflussgröße | FprEN 1992-1-1 im Verhältnis zu EN 1992-1-1 |
| VRd,c | Schubschlankheit acs/d | 0,86 … 1,20 insgesamt · bis zu −14 % bei schlanken Bauteilen mit üblichem ρl |
| VRd,c | Nutzhöhe | −6 % bei 0,2 m … −32 % bei 2 m |
| VRd,c | Normalzug (−2 MPa) | +72 % |
| VRd,c | Normaldruck (+3 MPa) | −34 % |
| VRd,c | Betonfestigkeitsklasse C12–C60 / C90 | −13 % / −20 % |
| VRd,s | Gleiches θ | identisch |
| VRd,s | Zulässiges cot θ | 3,0 bei Druck · 2,5 ohne Normalkraft · 2,2 bei Zug · ×0,8 Klasse A |
| VRd,max | Steile Druckstrebe, cot θ = 1 | +31 % (variables ν) · −22 % (ν = 0,5) |
| VRd,max | Flache Druckstrebe, cot θ = 2,5 | −27 % … −58 % in Abhängigkeit von MEd |
| Bemessungswiderstand | ρw 0,4 % / ≥ 1 % | −14 % / +10 … 15 % |
Worauf es in der Praxis ankommt
- Übergeben Sie die Schnittgrößen, nicht nur die Querkraft. In FprEN 1992-1-1 verändern MEd und NEd am selben Querschnitt sowohl VRd,c als auch ν. Eine Tabelle, die nur VEd einliest, reicht nicht mehr aus.
- Prüfen Sie zuerst hohe Bauteile. Elemente mit d über etwa 700 mm und ohne Bügel erfahren die größten Reduktionen.
- Verwenden Sie nicht aus Gewohnheit einen flachen Winkel θ. cot θ = 2,5 war unter EN 1992-1-1 oft die wirtschaftliche Wahl. Mit variablem ν kann dann die Druckstrebe maßgebend werden, während ein steilerer Winkel eine höhere Gesamttragfähigkeit liefern kann.
- Geben Sie das Zuschlagkorn an. Dlower ist nun eine Bemessungseingangsgröße für die Querkraft.
- Modellieren Sie die Bewehrung des Druckgurts. Sie geht in εx ein, sobald der Gurt auf Zug beansprucht wird.
Annahmen und Grenzen
Rechteckiger Stahlbetonquerschnitt ohne Vorspannung. Empfohlene Werte aller national festzulegenden Parameter; Nationale Anhänge können CRd,c, vmin, k1, die Grenzen von cot θ, die γ-Beiwerte und ktc verändern. z = 0,9d; für FprEN 1992-1-1 gilt xc = 0,20d und die Bügelschenkel verlaufen parallel zur Querkraft. Für EN 1992-1-1 gilt ν1 = ν nach (6.6N) und αcw aus σcp (6.11.aN); die Alternativen ν1 = 0,6 und αcw = 1,0 stehen im Viewer zur Verfügung. Lasten in Auflagernähe, Plattenbalkenquerschnitte, Torsion und konstruktive Mindestwerte liegen außerhalb des Untersuchungsumfangs. Das Skript für EN 1992-1-1 wurde Abschnitt für Abschnitt gegen EN 1992-1-1 geprüft, aber noch nicht mit IDEA StatiCa Section verglichen. Die Prozentangaben beschreiben diese Querschnittsfamilie und sind keine allgemeingültigen Faktoren.
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IDEA StatiCa Section BETA bemisst Stahlbetonquerschnitte im Grenzzustand der Tragfähigkeit nach FprEN 1992-1-1. Laden Sie Ihre Querschnitte, vergleichen Sie die Ergebnisse mit Ihrer bisherigen Praxis und teilen Sie uns mit, wo Sie die neue Norm überrascht.
Lesen Sie mehr über den Übergang zur 2. Generation der Eurocodes →
Quellen
- EN 1992-1-1, Abschnitte 2.4.2.4, 3.1.6, 6.2.2, 6.2.3.
- FprEN 1992-1-1, Abschnitte 4.3, 5.1, 8.2.1–8.2.3.
