Ścinanie w nowym Eurokodzie 2: gdzie wyniki naprawdę się zmieniają

Każdy inżynier, który sprawdzał belkę na ścinanie, zna procedurę z EN 1992-1-1 na pamięć: V_Rd,c z wzoru empirycznego, następnie strzemiona i krzyżulec ściskany z cot θ w przedziale od 1 do 2,5. FprEN 1992-1-1, końcowy projekt Eurokodu 2 drugiej generacji, zachowuje model kratownicowy, ale zmienia większość danych, które go zasilają. Najczęściej słyszymy proste pytanie: Czy wyniki sprawdzenia moich przekrojów ulegną zmianie?

Aby odpowiedzieć na nie liczbami, a nie wrażeniami, uruchomiliśmy obie normy równolegle w tym samym silniku obliczeniowym i uwzględniliśmy najważniejsze parametry: stopień zbrojenia, smukłość ścinania, wysokość elementu, siłę osiową, klasę betonu i kąt nachylenia krzyżulca. Dla domyślnego przypadku testowego obie normy dają wyniki różniące się o mniej niż jeden punkt procentowy. Wystarczy jednak zmienić jeden parametr, a różnica może sięgnąć 30 % lub więcej, w obu kierunkach.

Najważniejsze wnioski

• Bez zbrojenia na ścinanie nośność wg FprEN 1992-1-1 zależy od M_Ed/V_Ed. W badaniu wrażliwości stosunek FprEN/EN mieści się w przedziale od 0,86 do 1,20. Zyskują elementy o krótkiej rozpiętości ścinania oraz o bardzo małym lub bardzo dużym ρ_l. Smukłe elementy ze zwykłym zbrojeniem tracą nawet około 14%.
• Efekt skali przekroju jest w FprEN 1992-1-1 znacznie silniejszy. Przy d ≈ 2 m nominalna wytrzymałość na ścinanie jest o 32 % niższa niż wartość wg EN 1992-1-1. 
• Siła osiowa działa inaczej. FprEN 1992-1-1 jest znacznie łagodniejsza dla rozciągania i bardziej zachowawcza dla umiarkowanego ściskania.
• Strzemiona są liczone w obu normach tym samym wzorem. Wyniki różnią się wyłącznie przez dopuszczalny kąt nachylenia krzyżulca, który w FprEN 1992-1-1 zależy od siły osiowej i klasy ciągliwości.
• Najbardziej zmieniło się sprawdzenie krzyżulca ściskanego. Przy współczynniku ν zależnym od odkształcenia wartość V_Rd,max wg FprEN 1992-1-1 jest o około 30 % wyższa dla stromych krzyżulców i nawet o 58 % niższa dla krzyżulców płaskich.

Dwa modele jednego sprawdzenia

EN 1992-1-1 oblicza udział betonu za pomocą wyrażenia empirycznego (6.2.a). Wykorzystuje ono współczynnik skali k = 1 + √(200/d) ≤ 2, stopień zbrojenia ograniczony do 2 % oraz addytywny składnik naprężenia osiowego k₁σ_cp. Przekrój "widzi" wyłącznie V_Ed, nigdy towarzyszący mu moment.

FprEN 1992-1-1 operuje naprężeniem ścinającym τ_Ed = V_Ed/(b_w·z). Porównuje je z nośnością opartą na teorii krytycznej rysy ścinającej:

τRd,c = (0.66/γV)·(100·ρl·fck·ddg/d)1/3 ≥ τRd,c,min (8.27), (8.20)

Pojawiają się tu trzy nowe dane wejściowe. Chropowatość d_dg zależna od kruszywa zastępuje współczynnik skali. Smukłość ścinania a_cs = |M_Ed/V_Ed| ≥ d skraca wysokość użyteczną dla krótkich rozpiętości (8.29)–(8.30). Współczynnik k_vp (8.31) uwzględnia siłę osiową. W elementach ze strzemionami model kratownicowy pozostaje, ale współczynnik redukcji wytrzymałości ν może zależeć od odkształceń pasów (8.45), zamiast być stałą liczbą.

Przypadek testowy

Wszystkie wyniki pochodzą z dwóch skryptów do obliczeń ręcznych, po jednym dla każdej normy, napisanych w tej samej strukturze. Skrypt FprEN 1992-1-1 został porównany z IDEA StatiCa Section. Oba skrypty przeniesiono do interaktywnej przeglądarki, a przeniesienie odtwarza wyniki skryptów z dokładnością maszynową. Przekrój referencyjny to ten, który widać poniżej. Każde badanie zmienia jeden parametr, pozostałe pozostają stałe. Przypadek testowy to bardzo prosty przekrój prostokątny (przykład szkolny), który można łatwo obliczyć ręcznie, a obciążenie stanowi siła normalna + moment zginający w płaszczyźnie. Zasady konstruowania nie zostały dla tego przypadku sprawdzone.

Rys. 1 Przekrój referencyjny (u góry) oraz przeglądarka porównawcza użyta we wszystkich badaniach (na dole). Przeglądarka pokazuje wykresy stopnia wykorzystania dla każdego sprawdzenia, podsumowanie oraz wartości dla poszczególnych punktów normy.

Przypadek bazowy już sugeruje ogólną prawidłowość. Sprawdzenie betonu i strzemion daje zgodne wyniki. Krzyżulec ściskany już nie: f_cd spada z 16,67 do 14,17 MPa przy k_tc = 0,85, a ν maleje z 0,54 do 0,47 przy tym kącie nachylenia krzyżulca.

Elementy bez zbrojenia na ścinanie

Smukłość ścinania jest nowym parametrem pierwszego rzędu

W EN 1992-1-1 moment w przekroju nie ma wpływu na V_Rd,c. W FprEN 1992-1-1 ma. Przy ρ_l = 1 % norma EN 1992-1-1 daje 80,9 kN dla dowolnego momentu. Norma FprEN 1992-1-1 daje 83,2 kN dla a_cs = 1,5d, 73,7 kN dla 3d i 70,0 kN dla 6d. 

Ogólnie, im większy udział momentu, tym mniejsza nośność na ścinanie.

Rys. 2 V_Rd,c w zależności od stopnia zbrojenia podłużnego. EN 1992-1-1 to jedna krzywa; FprEN 1992-1-1 rozdziela się według smukłości ścinania. W EN 1992-1-1 nośność nie rośnie powyżej ρ_l = 2 %.

Mapa stosunków pokazuje, w których obszarach każda z norm jest korzystniejsza. Dla ρ_l = 0,25–2,5 % i a_cs/d = 1–8 stosunek nośności wg FprEN 1992-1-1 do nośności wg EN 1992-1-1 mieści się w przedziale od 0,86 do 1,20. Nowa norma premiuje krótkie rozpiętości ścinania (poniżej około 1,7d), bardzo małe zbrojenie, w którym decyduje wartość minimalna, oraz ρ_l powyżej 2 %. Dla typowej smukłej belki ze zwykłym zbrojeniem jest ona bardziej zachowawcza nawet o około 14 %.

Rys. 3 V_Rd,c(FprEN)/V_Rd,c(EN) w funkcji ρ_l i smukłości ścinania. Obszary pomarańczowe sprzyjają FprEN 1992-1-1, obszary niebieskie sprzyjają EN 1992-1-1. Przekrój bazowy, C25/30, D_lower = 16 mm.

Wysokie elementy: znacznie silniejszy efekt skali

Współczynnik k z EN 1992-1-1 szybko się wypłaszcza. Składnik (d_dg/d)^1/3 z FprEN 1992-1-1 stale maleje. Przy d = 204 mm różnica wynosi 6 %. Rośnie do 18 % przy d = 704 mm, 25 % przy 1204 mm i 32 % przy 1954 mm. Płyty przekazujące obciążenia, belki fundamentowe i ściany wysokie to elementy, w których nowa norma da się we znaki najwcześniej. Znaczenie ma teraz także wielkość kruszywa: grubsza mieszanka (D_lower = 32 mm) odzyskuje część utraconej nośności, a mieszanka 8 mm traci więcej.

Im wyższy przekrój, tym mniejsza nośność.

Rys. 4 Nominalna wytrzymałość na ścinanie V_Rd,c/(b_wd) w zależności od wysokości użytecznej, ρ_l = 1 %, a_cs = 4d.

Siła osiowa: obie normy działają w przeciwnych kierunkach

EN 1992-1-1 dodaje do nośności składnik 0,15·σ_cp, co czyni ją liniową względem naprężenia osiowego i bardzo niekorzystną przy rozciąganiu. FprEN 1992-1-1 skaluje wysokość użyteczną za pomocą k_vp, więc efekt zależy od stosunku N_Ed/V_Ed. Dla naszego przypadku (V_Ed = 100 kN, a_cs = 3d) i osiowego rozciągania −2 MPa norma FprEN 1992-1-1 daje 66,5 kN wobec 38,6 kN w EN 1992-1-1. To o 72 % więcej. Przy ściskaniu +3 MPa kolejność się odwraca: 92,3 kN wobec 140,8 kN, czyli o 34 % mniej. Bardzo duże ściskanie znów zbliża oba wyniki, ponieważ EN 1992-1-1 ogranicza σ_cp do 0,2f_cd.

** Rozciąganie ma znak ujemny, ściskanie ma znak dodatni (podejście Eurokodu do σ_cp).

Rys. 5 V_Rd,c w zależności od średniego naprężenia osiowego. Rozciąganie po lewej, ściskanie po prawej.

Klasa betonu

Dla klas od C12/15 do C60/75 wartość V_Rd,c smukłego elementu wg FprEN 1992-1-1 jest konsekwentnie niższa o około 13 % (C25/30: 70,1 wobec 80,9 kN). Powyżej C60 norma zmniejsza d_dg, więc krzywa FprEN 1992-1-1 prawie przestaje rosnąć: dla C90/105 jest o 20 % poniżej EN 1992-1-1.

Rys. 6 Po lewej: V_Rd,c w zależności od f_ck (ρ_l = 1 %, a_cs = 4d). Po prawej: V_Rd,max przy θ = 45° dla ν₁ wg EN 1992-1-1, zmiennego ν wg FprEN 1992-1-1 oraz stałego ν = 0,5.

Elementy ze zbrojeniem na ścinanie

Strzemiona: ten sam wzór, różne kąty

Nośność strzemion jest w obu normach opisana tym samym wyrażeniem modelu kratownicowego, V_Rd,s = A_sw/s·z·f_ywd·cot θ. Przy tych samych wartościach z i θ obie normy dają identyczne wyniki, jak w naszym przypadku bazowym. Różnica polega na tym, jaki kąt θ można przyjąć. EN 1992-1-1 dopuszcza 1 ≤ cot θ ≤ 2,5 niezależnie od obciążenia. FprEN 1992-1-1 podnosi tę granicę do 3,0 przy znacznym ściskaniu. Obniża ją przy rozciąganiu (2,5 − 0,1·N_Ed/|V_Ed|) i zmniejsza o 20 % dla zbrojenia klasy ciągliwości A.

Rys. 7 Górna granica cot θ w zależności od siły osiowej (V_Ed = 100 kN). Między 2,5 a 3,0 norma dopuszcza interpolację; interpolacja liniowa względem σ_cp jest interpretacją przyjętą w naszym skrypcie.

Krzyżulec ściskany: największa pojedyncza zmiana

Przy stałym ν = 0,5 krzyżulec ściskany wg FprEN 1992-1-1 jest w naszym przypadku równomiernie o około 22 % słabszy niż wg EN 1992-1-1, głównie za sprawą k_tc. Zmienne ν z (8.45) zmienia ten obraz. Współczynnik ν zależy od średniego odkształcenia pasa ε_x oraz od cot²θ, dlatego strome krzyżulce zyskują, a płaskie są niekorzystne. Przy cot θ = 1 wartość V_Rd,max wg FprEN 1992-1-1 wynosi 724,8 kN wobec 553,8 kN (+31 %). Przy cot θ = 2,5 jest to 279,9 kN wobec 381,9 kN (−27 %). Obie krzywe przecinają się w pobliżu θ = 30°.

Rys. 8 V_Rd,max i V_Rd,s w zależności od cot θ dla przekroju bazowego. Linie V_Rd,s obu norm pokrywają się.

Ponieważ ν zależy od odkształceń pasów, moment zginający wpływa teraz na krzyżulec ściskany. W EN 1992-1-1 moment nie odgrywa żadnej roli. W FprEN 1992-1-1 przy θ = 21,8° i V_Ed = 150 kN współczynnik ν zmienia się od 0,27 do 0,38, wobec wartości 0,54 wg EN 1992-1-1, więc V_Rd,max jest niższa o 40–58 %. Współczynnik ν jest najmniejszy na obu końcach zakresu momentów. Przy małych momentach siła w pasie wywołana ścinaniem powoduje rozciąganie pasa ściskanego. Przy dużych momentach rośnie odkształcenie pasa rozciąganego. Wynika z tego praktyczny wniosek: jeśli pas ściskany jest rozciągany, a przekrój nie ma zbrojenia górnego, ν spada do zera, więc należy zamodelować pręty górne.

Rys. 9 V_Rd,max (po lewej) i współczynnik redukcji wytrzymałości (po prawej) w zależności od M_Ed. Uwzględniono pręty górne 2Ø12.

Co to oznacza dla nośności obliczeniowej

Projektanci nie sprawdzają stałego kąta θ. Wybierają kąt, który daje największą nośność. Dla każdego stopnia zbrojenia na ścinanie przyjęliśmy zatem kąt θ, który maksymalizuje min(V_Rd,s; V_Rd,max). Pojawiają się trzy obszary:

• Słabo zbrojone środniki (ρ_w ≈ 0,08 %). Obie normy dają zgodne wyniki w granicach cot θ (107 kN). FprEN 1992-1-1 zyskuje 21 % (129 kN) tylko wtedy, gdy skorzysta się z opcji z punktu 8.2.3(7), pozwalającej przekroczyć cot θ_min przy zmiennym ν.
• Średnio zbrojone środniki (ρ_w ≈ 0,4 %). FprEN 1992-1-1 daje wynik o 14 % niższy (379 wobec 439 kN), ponieważ optymalny kąt jest teraz ograniczony przez słabszy płaski krzyżulec.
• Mocno zbrojone środniki (ρ_w ≥ 1 %). O nośności decyduje krzyżulec ściskany przy θ = 45°, gdzie FprEN 1992-1-1 daje wynik wyższy o 10–15 % (610–634 wobec 554 kN).

Rys. 10 Obliczeniowa nośność na ścinanie przy optymalnym kącie krzyżulca w zależności od ρ_w. M_Ed = 150 kNm i V_Ed = 150 kN.

Mapa odchyleń

Na co zwrócić uwagę w praktyce

• Przekazuj siły wewnętrzne, nie tylko ścinanie. W FprEN 1992-1-1 wartości M_Ed i N_Ed w tym samym przekroju wpływają zarówno na V_Rd,c, jak i na ν. Arkusz kalkulacyjny, który odczytuje tylko V_Ed, już nie wystarcza.
• Najpierw sprawdź elementy wysokie. Elementy o d powyżej około 700 mm i bez strzemion odnotują największe redukcje.
• Nie stosuj odruchowo płaskiego kąta θ. cot θ = 2,5 był często rozwiązaniem ekonomicznym wg EN 1992-1-1. Przy zmiennym ν może on sprawić, że o nośności zadecyduje krzyżulec ściskany, podczas gdy bardziej stromy kąt może dać większą nośność całkowitą.
• Określ kruszywo. D_lower jest teraz daną wejściową do obliczeń na ścinanie.
• Zamodeluj zbrojenie pasa ściskanego. Uwzględnia się je w ε_x zawsze wtedy, gdy pas jest rozciągany.

Założenia i ograniczenia

Prostokątny przekrój żelbetowy bez sprężenia. Zalecane wartości wszystkich parametrów ustalanych na poziomie krajowym; załączniki krajowe mogą zmieniać C_Rd,c, v_min, k₁, granice cot θ, współczynniki γ oraz k_tc. z = 0,9d; dla FprEN 1992-1-1 przyjęto x_c = 0,20d oraz ramiona strzemion równoległe do siły ścinającej. Dla EN 1992-1-1 przyjęto ν₁ = ν z (6.6N) oraz α_cw z σ_cp (6.11.aN); alternatywy ν₁ = 0,6 i α_cw = 1,0 są dostępne w przeglądarce. Obciążenia w pobliżu podpór, przekroje teowe, skręcanie oraz minimalne wymagania konstrukcyjne wykraczają poza zakres. Skrypt EN 1992-1-1 został sprawdzony punkt po punkcie względem EN 1992-1-1, ale nie został jeszcze porównany z IDEA StatiCa Section. Podane wartości procentowe opisują tę rodzinę przekrojów i nie są współczynnikami ogólnymi.

Wypróbuj nowy Eurokod na własnych przekrojach

IDEA StatiCa Section BETA wymiaruje przekroje żelbetowe w stanie granicznym nośności wg FprEN 1992-1-1. Wczytaj swoje przekroje, porównaj wyniki z dotychczasową praktyką i napisz nam, gdzie nowa norma Cię zaskakuje.

Przeczytaj o przejściu na drugą generację Eurokodów →

Źródła

• EN 1992-1-1, punkty 2.4.2.4, 3.1.6, 6.2.2, 6.2.3.
• FprEN 1992-1-1, punkty 4.3, 5.1, 8.2.1–8.2.3.
• Blog IDEA StatiCa: Ready to transition to the 2nd generation of Eurocodes? (22 kwietnia 2026)
• IDEA StatiCa Support Center: Shear (EN 1992-1-1)